人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課第二十一章一元二次方程(知識(shí)清單)【原卷版+解析】

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想。

2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。

3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識(shí)和能力。重點(diǎn)：

1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3.利用一元二次方程解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

1.理解用根的判別式判別根的情況。

2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。

3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

二、學(xué)習(xí)過程章節(jié)介紹解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實(shí)際問題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實(shí)際問題難點(diǎn)在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！知識(shí)梳理1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式為___________________________________。3.一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：4.一般地，對(duì)于方程x2＝p①，1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)____________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根_____________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。5.將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：6.通過配方法解一元二次方程的步驟:1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的_____________，常數(shù)項(xiàng)移到方程的______________；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以______________________；3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；4）將原方程變成_______________________的形式；5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若p_________0，可以利用直接開方法求解；若p________0，原方程無實(shí)數(shù)根。【注意】配方的關(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是_________.7.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________9.當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為_____________的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接________________，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。10.公式法解一元二次方程的步驟:1）將原方程化為_______________，確定______________的值【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為________________，方便計(jì)算。2）求出_______________的值，根據(jù)_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果______________________,將a、b、c的值代入求根公式?！疽族e(cuò)點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時(shí)易遺漏________________。4）最后求出原方程的解。11.先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為____________________的形式，從而實(shí)現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。12.通過因式分解法解一元二次方程的步驟:1.移項(xiàng)：使一元二次方程等式右邊為_______；2.分解：把左邊運(yùn)用因式分解法化為_________________的形式；3.賦值：令每個(gè)因式等于0，得到_________________；4.求解：_________________________，最后得到方程的解。歸納：__________________________________________。13.解一元二次方程的方法解一元二次方程的基本思路是：14.當(dāng)Δ

≥0時(shí)，兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數(shù)的關(guān)系為:人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”?！疽族e(cuò)點(diǎn)】使用韋達(dá)定理的前提條件：15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x21）平方和x12）倒數(shù)和1x1+13）差的絕對(duì)值|x1-x2|=4)x1516.利用一元二次方程解決實(shí)際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數(shù)為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為____________，第二次增長后的數(shù)量為____________．②如果下降率問題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為__________，第二次下降后的數(shù)量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關(guān)系。②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。4)數(shù)字問題：①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為____________.百位數(shù)字表示_____________.②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。7）動(dòng)點(diǎn)問題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路。考點(diǎn)解讀考查題型一一元二次方程的定義1．（2022秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值．2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，求的值．3．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．考查題型二一元二次方程的解1．（2022秋·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．2．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值．考查題型三選用合適的方法求解一元二次方程1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)(2)(3)2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)考查題型四根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2022秋·河南洛陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．(1)是方程的根嗎？請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？2．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)校考期中）已知方程：(1)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(3)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．考查題型五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，求的值及方程的另一個(gè)根．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值．4．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)已知該方程的兩個(gè)根為，，且滿足，求的值．5．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求實(shí)數(shù)k的值．考查題型六利用一元二次方程解決實(shí)際問題1．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種病毒傳播非常快，如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有64個(gè)人被感染．(1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人；(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過500人．2．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長為多少米？(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出的長；若不能，請(qǐng)說明理由．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考期末）已知三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為194，求這三個(gè)正整數(shù)．5．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求銷售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說明理由．6．（2022秋·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)的面積能否等于？請(qǐng)說明理由．(2)幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫出過程．7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形．8．（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想。

2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。

3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識(shí)和能力。重點(diǎn)：

1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3.利用一元二次方程解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：

1.理解用根的判別式判別根的情況。

2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。

3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

二、學(xué)習(xí)過程章節(jié)介紹解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實(shí)際問題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實(shí)際問題難點(diǎn)在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！知識(shí)梳理1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式為___________________________________。3.一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：4.一般地，對(duì)于方程x2＝p①，1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)____________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根_____________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。5.將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：6.通過配方法解一元二次方程的步驟:1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的_____________，常數(shù)項(xiàng)移到方程的______________；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以______________________；3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；4）將原方程變成_______________________的形式；5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若p_________0，可以利用直接開方法求解；若p________0，原方程無實(shí)數(shù)根。【注意】配方的關(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是_________.7.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________9.當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為_____________的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接________________，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。10.公式法解一元二次方程的步驟:1）將原方程化為_______________，確定______________的值【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為________________，方便計(jì)算。2）求出_______________的值，根據(jù)_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果______________________,將a、b、c的值代入求根公式?！疽族e(cuò)點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時(shí)易遺漏________________。4）最后求出原方程的解。11.先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為____________________的形式，從而實(shí)現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。12.通過因式分解法解一元二次方程的步驟:1.移項(xiàng)：使一元二次方程等式右邊為_______；2.分解：把左邊運(yùn)用因式分解法化為_________________的形式；3.賦值：令每個(gè)因式等于0，得到_________________；4.求解：_________________________，最后得到方程的解。歸納：__________________________________________。13.解一元二次方程的方法解一元二次方程的基本思路是：14.當(dāng)Δ

≥0時(shí)，兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數(shù)的關(guān)系為:人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”。【易錯(cuò)點(diǎn)】使用韋達(dá)定理的前提條件：15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x21）平方和x12）倒數(shù)和1x1+13）差的絕對(duì)值|x1-x2|=4)x1516.利用一元二次方程解決實(shí)際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數(shù)為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為____________，第二次增長后的數(shù)量為____________．②如果下降率問題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為__________，第二次下降后的數(shù)量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關(guān)系。②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。4)數(shù)字問題：①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為____________.百位數(shù)字表示_____________.②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。7）動(dòng)點(diǎn)問題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路?？键c(diǎn)解讀考查題型一一元二次方程的定義1．（2022秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值．【詳解】解：由題意得，，由①得，，由②得，，所以，m的值為．2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，求的值．【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元二次方程，∴，解得．3．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【詳解】解：由關(guān)于x的方程可知：，∵，∴，∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．考查題型二一元二次方程的解1．（2022秋·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【詳解】解：由m是方程的一個(gè)根可得，即，將代入，可得原式2．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【詳解】解：．∵是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，∴．∴．∴原式．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值．【詳解】解：原式====∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，∴a2+4a=21，即a（a+4）=21，原式=．考查題型三選用合適的方法求解一元二次方程1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)(2)(3)【詳解】（1）解：，，，，或，∴，；（2），，，，∴，；（3），，或，∴，．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【詳解】（1）解：∴，．（2）解：∴，．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)【詳解】（1）解：，∴，∴，∴或，解得：，；（2），∴，，，∴，∴，解得：，．考查題型四根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2022秋·河南洛陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．(1)是方程的根嗎？請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？【詳解】（1）解：將代入方程，得：，化簡得：等式不成立，故不是方程的根.（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根.，解得，當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；2．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．【詳解】（1）解：證明：．，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解方程，可得，解得，，若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，則，故，正整數(shù)．3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┮阎匠蹋?1)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(3)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？【詳解】（1）解：當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：，解得：；∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：，解得：；又∵，∴當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，由（1）（2）可知：當(dāng)且是，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋海獾茫匠逃袑?shí)數(shù)根；綜上，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．【詳解】（1）解：依題意，得∵∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：方程由（1）得∴，∴，，∵方程的一根大于2，一根小于1，∴∴．∴m的取值范圍是．考查題型五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，，，，，把代入得：，解得：．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，求的值及方程的另一個(gè)根．【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，∴，，則，，故，方程的另一根為．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值．【詳解】（1）解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，解得；（2）當(dāng)時(shí)，方程為，，，．4．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)已知該方程的兩個(gè)根為，，且滿足，求的值．【詳解】（1）解：由題意知，

，

不論取何值，，

方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由題意知，，

又，

，

解得．5．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求實(shí)數(shù)k的值．【詳解】（1）由題意得：，解得；（2）根據(jù)題意得，，∵，∴，即，則，整理得，解得，，又，故考查題型六利用一元二次方程解決實(shí)際問題1．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種病毒傳播非?？欤绻粋€(gè)人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有64個(gè)人被感染．(1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人；(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過500人．【詳解】（1）解：設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，依題意，得：1+x+x（1+x）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染7個(gè)人．（2）64×（1+7）=512（人），512＞500．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過500人．2．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．【詳解】解：(1)第七天的營業(yè)額是450×12%=54(萬元)，故這七天的總營業(yè)額是450+450×12%=504(萬元)．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．(2)設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長為多少米？(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出的長；若不能，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）設(shè)的長為米，則，根據(jù)題意，得，整理，得，解得，，∵墻的最大可用長度為米，∴，∴，∴，即的長為米；（2）不能圍成面積為平方米的花圃．理由如下：根據(jù)題意，得，整理，得．∵，∴該方程無實(shí)數(shù)根，∴不能圍成面積為平方米的花圃．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┮阎齻€(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為194，求這三個(gè)正整數(shù)．【詳解】解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)正整數(shù)依次為，，，其