專題三三角形形狀的判定問題(原卷版+解析)

專題三三角形形狀的判定問題【方法總結(jié)】利用正、余弦定理判斷三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁，無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．特別地，在△ABC中，c是最大的邊，若c2<a2＋b2，則△ABC是銳角三角形；若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，則△ABC是鈍角三角形．【例題選講】[例1](1)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴eq\f(1＋cosB,2)＝eq\f(a＋c,2c)，即1＋cosB＝eq\f(a＋c,c)．由余弦定理得1＋eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a＋c,c)．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC為直角三角形．(2)在△ABC中，若tanAtanB>1，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定答案A解析因為A和B都為三角形中的內(nèi)角，由tanAtanB>1，得1－tanAtanB<0，且tanA>0，tanB>0，即A，B為銳角，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0，則A＋B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，即C為銳角，所以△ABC是銳角三角形．(3)若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC()A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形答案C解析根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，又sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，設(shè)a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25t2＋121t2－169t2,2×5t×11t)＝－eq\f(23,110)<0，∴角C為鈍角．故選C．(4)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形答案D解析法一：由余弦定理及已知得a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC為直角三角形．法二：由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c，即sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，即sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化簡得cosA(sinB＋sinC)＝0，在△ABC中，sinB＋sinC≠0，則cosA＝0，所以△ABC為直角三角形．(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案C解析∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二由正弦定理、余弦定理得：a2beq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若tanA∶tanB＝a2∶b2，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案C解析因為eq\f(sinA,cosA)∶eq\f(sinB,cosB)＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，所以eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)，整理得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案D解析法一：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，則條件化為：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．法二：將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即b2＋c2－b2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq\f(4a4,4a2)＝a2，∴A＝90°，∴△ABC為直角三角形．(8)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b)，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)．又由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以eq\f(c,2b)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．又因為(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2．所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC為等邊三角形．法二：因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因為2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0．又因為A與B均為△ABC的內(nèi)角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC為等邊三角形．(9)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，則△ABC為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．銳角非等邊三角形D．鈍角三角形答案B解析由2acosB＝c?2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c?a2＝b2，所以a＝b．因為sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2eq\f(C,2)＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因為cosC≠2，所以sinAsinB＝eq\f(1,2)，因為a＝b，所以sin2A＝eq\f(1,2)，所以A＝B＝eq\f(π,4)，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B．(10)已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊．下列四個命題：①若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；②若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；④若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是等邊三角形．其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號)答案①③④解析命題①：∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均為銳角，∴①正確；命題②：由acosA＝bcosB，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，∴②錯；命題③：可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴③正確；命題④：由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴④正確．【對點訓練】1．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，則△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無法確定3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形4．在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2sinAcosB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形7．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形８．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，則△ABC是()A．等邊三角形B．有一內(nèi)角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角是30°的等腰三角形9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知三個向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共線，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形10．(2013·陜西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定11．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若直線bx＋ycosA＋cosB＝0與ax＋ycosB＋cosA＝0平行，則△ABC一定是()A．銳角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或者直角三角形14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形15．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形16．在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，則△ABC為()A．銳角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或者直角三角形17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝eq\r(3)cosC，則下列結(jié)論中正確的是()A．A＝eq\f(π,6)B．c＝2aC．C＝eq\f(π,2)D．△ABC是等邊三角形18．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\r(2)，則該三角形的形狀是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形19．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其對邊為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．鈍角三角形20．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形專題三三角形形狀的判定問題【方法總結(jié)】利用正、余弦定理判斷三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁，無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．特別地，在△ABC中，c是最大的邊，若c2<a2＋b2，則△ABC是銳角三角形；若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，則△ABC是鈍角三角形．【例題選講】[例1](1)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴eq\f(1＋cosB,2)＝eq\f(a＋c,2c)，即1＋cosB＝eq\f(a＋c,c)．由余弦定理得1＋eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a＋c,c)．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC為直角三角形．(2)在△ABC中，若tanAtanB>1，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定答案A解析因為A和B都為三角形中的內(nèi)角，由tanAtanB>1，得1－tanAtanB<0，且tanA>0，tanB>0，即A，B為銳角，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0，則A＋B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，即C為銳角，所以△ABC是銳角三角形．(3)若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC()A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形答案C解析根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，又sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，設(shè)a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25t2＋121t2－169t2,2×5t×11t)＝－eq\f(23,110)<0，∴角C為鈍角．故選C．(4)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形答案D解析法一：由余弦定理及已知得a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC為直角三角形．法二：由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c，即sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，即sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化簡得cosA(sinB＋sinC)＝0，在△ABC中，sinB＋sinC≠0，則cosA＝0，所以△ABC為直角三角形．(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案C解析∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二由正弦定理、余弦定理得：a2beq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若tanA∶tanB＝a2∶b2，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案C解析因為eq\f(sinA,cosA)∶eq\f(sinB,cosB)＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，所以eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)，整理得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形答案D解析法一：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，則條件化為：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．法二：將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即b2＋c2－b2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq\f(4a4,4a2)＝a2，∴A＝90°，∴△ABC為直角三角形．(8)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b)，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)．又由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以eq\f(c,2b)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．又因為(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2．所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC為等邊三角形．法二：因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因為2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0．又因為A與B均為△ABC的內(nèi)角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC為等邊三角形．(9)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，則△ABC為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．銳角非等邊三角形D．鈍角三角形答案B解析由2acosB＝c?2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c?a2＝b2，所以a＝b．因為sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2eq\f(C,2)＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因為cosC≠2，所以sinAsinB＝eq\f(1,2)，因為a＝b，所以sin2A＝eq\f(1,2)，所以A＝B＝eq\f(π,4)，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B．(10)已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊．下列四個命題：①若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；②若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；④若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是等邊三角形．其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號)答案①③④解析命題①：∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C均為銳角，∴①正確；命題②：由acosA＝bcosB，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，∴②錯；命題③：可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴③正確；命題④：由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴④正確．【對點訓練】1．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形1．答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理．∴△ABC為直角三角形．2．在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，則△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無法確定2．答案A解析由已知得cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，∴2cos2eq\f(A,2)－1＝cosB，∴cosA＝cosB，又0<A，B<π，∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形3．答案A解析根據(jù)正弦定理得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)<cosA，即sinC<sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0，又三角形中sinA>0，∴cosB<0，eq\f(π,2)<B<π．∴△ABC為鈍角三角形．4．在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形4．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形．5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2sinAcosB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．答案B解析∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0．又A，B為△ABC的內(nèi)角．∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形6．答案A解析因為a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c最大，cosC＝eq\f(2k2＋4k2－5k2,2×2k×4k)<0，所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形．7．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．答案C解析由已知條件，得lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B．∴sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理可得c2＝a2＋b2．故三角形為直角三角形．８．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，則△ABC是()A．等邊三角形B．有一內(nèi)角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角是30°的等腰三角形８．答案C解析∵eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA．又2RsinA≠0，∴cosB＝sinB，∴B＝45°．同理C＝45°，故A＝90°．故選C．9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知三個向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共線，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．答案A解析∵向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))共線，∴acoseq\f(B,2)＝bcoseq\f(A,2)．由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A,2)．∴2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)coseq\f(A,2)，∴sineq\f(A,2)＝sineq\f(B,2)．∵0<eq\f(A,2)<eq\f(π,2)，0<eq\f(B,2)<eq\f(π,2)，∴eq\f(A,2)＝eq\f(B,2)，∴A＝B．同理可得B＝C，∴△ABC為等邊三角形．故選A．10．(2013·陜西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定10．答案B解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0<A<π，得A＝eq\f(π,2)，所以△ABC為直角三角形．11．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形11．答案C解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形．12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形12．答案A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形．13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若直線bx＋ycosA＋cosB＝0與ax＋ycosB＋cosA＝0平行，則△ABC一定是()A．銳角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或者直角三角形13．答案C解析由兩直線平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即eq\f(1,2)sin2A＝eq\f(1,2)sin2B，又A，B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)．若A＝B，則a＝b，cosA＝cosB，此時兩直線重合，不符合題意，舍去，故A＋B＝eq\f(π,2)，則△ABC是直角三角形．故選C．14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形14．答案C解析因為eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c．又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)．因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形．15．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形15．答案D解析由正弦定理，得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))2，即a2＝b2＋c2，故A＝90°，∴C＝90°－B，cosC＝sinB．∴2sinB·cosC＝2sin2B＝sinA＝1．∴sinB＝eq\f(\r(2),2)．∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°>180°，故舍去)，∴△ABC是等腰直角三角形．16．在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccos