高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)專題8.2空間幾何體的表面積和體積專題練習（學生版+解析）

專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎練基礎1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2021·寧夏大學附屬中學高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．66.（2018·全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．2.（2021·河北巨鹿中學高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個點、、、，滿足為正三棱錐，是的中點，且，側棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點，則（）A．圓臺的母線長為B．當圓錐的圓錐的體積相等時，C．圓臺的體積為D．當圓臺上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為4．（2020·全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于______；外接球表面積等于______.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．7.（廣東省汕尾市2020-2021學年高一下學期期末數(shù)學試題）已知某圓柱的軸截面是一個正方形，且該圓柱表面積（底面和側面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.8．（2021·重慶市楊家坪中學高一月考）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為______.（取，，精確到0.1）.9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南北各地的節(jié)令食品，因各地風俗不同，粽子的形狀和食材也會不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個.10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2020·天津高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3.（2021·全國高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．4.（2020·全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A． B． C． D．5.（2018·全國高考真題（文））設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．6.（2019·全國高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎練基礎1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】結合展開圖求出圓柱的底面半徑與高，進而結合體積公式即可求出結果.【詳解】設底面半徑為，高為，根據(jù)展開圖得，則，所以圓柱的體積為，故選：D.2.（2021·寧夏大學附屬中學高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的軸截面面積求出圓柱的底面半徑和母線長，利用圓柱的表面積公式，即可求解.【詳解】設圓柱的軸截面的邊長為，因為過直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，所以，解得，即圓柱的底面半徑為，母線長，所以圓柱的表面積為.故選：B.3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的體積．【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為底面為直角梯形，高為1的四棱錐體；如圖所示：所以：．故選：D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由球的截面性質求得球半徑后可得體積．【詳解】由題意截面圓半徑為，所以球半徑為，體積為．故選：B．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個側面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A6.（2018·全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】40.【解析】如圖所示,在棱長為4的正方體中,三視圖對應的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,幾何體的體積.10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．【答案】共26個面.棱長為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側為兩個全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結果.【詳解】按照圖中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為、，直三棱柱的高為，所以，直三棱柱的體積為.兩側為兩個全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積為，四棱錐的高為，所以，兩個四棱錐的體積之和為，因此，該“羨除”的體積為.故選：A.2.（2021·河北巨鹿中學高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個點、、、，滿足為正三棱錐，是的中點，且，側棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，為中點易得，再應用余弦定理、勾股定理求得，即為直三棱錐，即可求外接球半徑，進而求表面積.【詳解】如下圖，若為中點，則，又，∴，又為正三棱錐且側棱，∴，若，則，，在中，，即，可得，，∴，即為直三棱錐，易得外接球半徑，∴該蹴鞠的表面積為.故選：A3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點，則（）A．圓臺的母線長為B．當圓錐的圓錐的體積相等時，C．圓臺的體積為D．當圓臺上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為【答案】BCD【解析】轉化求解圓臺的母線長判斷Q；利用比例關系判斷B；求解體積判斷C；取得球的表面積判斷D．【詳解】解：圓臺上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點，，母線，與圓臺的母線長為6矛盾，所以A錯誤；，，B正確；，C正確；設球心到上底面的距離為，則，解得，，，D正確；故選：BCD．4．（2020·全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于______；外接球表面積等于______.【答案】3【解析】如圖，底面，底面為長方形，且，，所以.最長棱為:3.該幾何體可以通過補體得長方體,所以其外接球的半徑為.則其外接球的表面積為，故答案為：3；.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】6【解析】設直線與平面所成的角為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，如圖所示，則，所以，則的最小值為，的最小值是，即點到的距離為，所以．因為，所以，所以，所以，所以．取的外接圓的圓心為，則圓的半徑．連接，作于點，則點為的中點，所以，故三棱錐的外接球的表面積．故答案為：6；.7.（廣東省汕尾市2020-2021學年高一下學期期末數(shù)學試題）已知某圓柱的軸截面是一個正方形，且該圓柱表面積（底面和側面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.【答案】【解析】設圓柱的底面半徑為，高為，則，上下底面圓圓心連線的中點即為該圓柱外接球的球心，可得外接球的半徑，再由圓柱的表面積公式和球的表面積公式分別計算、即可得比值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，因為圓柱的軸截面是一個正方形，所以，所以圓柱表面積，其外接球的球心在上下底面圓圓心連線的中點位置，可知球心到上底面圓的距離為，由勾股定理可得：外接球的半徑，所以外接球的表面積，所以該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值，故答案為：.8．（2021·重慶市楊家坪中學高一月考）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為______.（取，，精確到0.1）.【答案】【解析】由正三棱柱的性質，結合已知求其底面面積，再由棱柱的體積公式求其體積，并求圓柱的體積為，則模型體積為，即可求制作該模型所需原料的質量.【詳解】由題意，正三棱柱底面(等邊三角形)如上圖有且，，，∴，則，故底面面積，∴正三棱柱的體積.而圓柱的體積為，∴制作該模型所需原料的質量為克.故答案為：9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南北各地的節(jié)令食品，因各地風俗不同，粽子的形狀和食材也會不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個.【答案】16572【解析】根據(jù)題意，利用棱錐的體積公式求得正四面體粽子的體積，進而求得答案.【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，設底面正三角形的中心為，連接，則平面，連接，則，所以，所以一個粽子的體積為：，由，又由所以1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個.故答案為：.10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．【答案】【解析】根據(jù)題意可以將此四面體放入一個長方體中，則易求四面體高與底面長的關系，再根據(jù)體積公式寫出其體積表達式，最后利用基本不等式即可.【詳解】如圖所示，不妨將四面體放入下圖中的長方體中，則長方體的寬為，設長方體的長為，高為.因為四面體的外接球半徑為，所以此長方體外接球半徑為，則，解得，所以四面體的體積，當且僅當時等號成立，所以四面體的體積最大值為.故答案為:練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.2.（2020·天津高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】