新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第1講軌跡問(wèn)題(原卷版+解析)

第1講軌跡問(wèn)題一．選擇題（共12小題）1．方程所表示的曲線是A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓2．方程表示的曲線為A．兩個(gè)半圓 B．一個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)圓3．在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線：．關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)2；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5．其中正確的結(jié)論有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③4．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線、已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有①雙紐線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；③；④雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)．A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④5．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有①雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②；③雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；④的最大值為．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③6．如圖，設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，則點(diǎn)的軌跡方程為A．（原點(diǎn)除外） B．（原點(diǎn)除外） C．（原點(diǎn)除外） D．（原點(diǎn)除外）7．如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為A． B．3 C． D．48．由曲線圍成的圖形面積為A． B． C． D．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是A． B． C． D．10．已知點(diǎn)集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是A．1 B． C． D．11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④12．曲線為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（1）曲線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（2）曲線關(guān)于軸、軸對(duì)稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共2小題）13．?dāng)?shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號(hào)，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”．若點(diǎn)，是軌跡上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有A．曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 B．的取值范圍是， C．曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足 D．的最大值為14．在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點(diǎn)，則A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點(diǎn)的最近距離為三．填空題（共6小題）15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)．③曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．17．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線．給出下列結(jié)論：①曲線經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2；③曲線圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線在第二象限和第四象限．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．18．曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．則曲線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)，為常數(shù)），那么的最小值（a）．19．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)的軌跡方程為．20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足（如圖所示）．則得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程為；四．解答題（共5小題）21．如圖，直線和相交于點(diǎn)，，點(diǎn)．以，為端點(diǎn)的曲線段上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離相等．若為銳角三角形，，，且．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的方程．22．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，，，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程．23．設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓心的軌跡的方程．24．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足．點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且滿足，．（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明；（Ⅱ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅲ）試問(wèn)：在點(diǎn)的軌跡上，是否存在點(diǎn)，使△的面積，求的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第1講軌跡問(wèn)題一．選擇題（共12小題）1．方程所表示的曲線是A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓【解答】解：將方程化簡(jiǎn)，得，其中，．因此方程表示以為圓心，半徑的圓．故選：．2．方程表示的曲線為A．兩個(gè)半圓 B．一個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)圓【解答】解：兩邊平方整理得：，化簡(jiǎn)得，由得，即或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的右半圓；當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的左半圓綜上所述，得方程表示的曲線為兩個(gè)半圓故選：．3．在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線：．關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)2；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5．其中正確的結(jié)論有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【解答】解：①曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)有，，，，，，，，，恰有9個(gè)點(diǎn)，即①正確；②點(diǎn)和均在曲線上，而這兩點(diǎn)間的距離為，即②錯(cuò)誤；③由于圖形是對(duì)稱的，所以只需考慮第一象限內(nèi)的部分即可．此時(shí)有，，整理得，，是以為圓心，為半徑的圓，作出曲線在第一象限的圖形如圖所示，面積，故曲線的面積為，即③正確．故選：．4．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線、已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有①雙紐線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；③；④雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)．A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④【解答】解；根據(jù)雙紐線的定義可得，，將，代入，符合方程，所以①正確；用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，②正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，，即，亦即，③正確；若雙紐線上點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，④錯(cuò)誤．故選：．5．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有①雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②；③雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；④的最大值為．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③【解答】解：根據(jù)雙紐線的定義可得，，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，①正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，，即，亦即，②正確；若雙紐線上點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，③錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以由余弦定理可得，，所以的最大值為，④正確．故選：．6．如圖，設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，則點(diǎn)的軌跡方程為A．（原點(diǎn)除外） B．（原點(diǎn)除外） C．（原點(diǎn)除外） D．（原點(diǎn)除外）【解答】解：設(shè)，直線的方程為，由得，聯(lián)立和消去得，所以，所以，由得，所以，所以，所以，把代入得，故選：．7．如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為A． B．3 C． D．4【解答】解：曲線圍成的平面區(qū)域，關(guān)于，軸對(duì)稱，設(shè)曲線上的點(diǎn)，可得．所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為：3．故選：．8．由曲線圍成的圖形面積為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)對(duì)稱性，曲線圍成的圖形面積等于在第一象限圍成面積的4倍，當(dāng)且時(shí)等價(jià)為，即，即，圓心，半徑，則的面積，的面積，在第一象限部分的面積，則四個(gè)象限的面積為，故選：．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是A． B． C． D．【解答】解：如圖曲線表示折線段的一部分和雙曲線，選項(xiàng)等價(jià)于或，表示折線的全部和雙曲線，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)等價(jià)于，或，表示折線的全部，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)等價(jià)于或，表示折線在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，表示雙曲線，符合題中圖象，故正確；選項(xiàng)等價(jià)于或，表示表示折線在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，表示雙曲線在軸下方的一部分，故錯(cuò)誤．故選：．10．已知點(diǎn)集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是A．1 B． C． D．【解答】解：當(dāng)時(shí)，只需要滿足，即可；當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式兩邊平方整理得到，所以區(qū)域如下圖．易知其面積為．故選：．11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【解答】解：四葉草曲線方程為，將換為，不變，可得方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；將換為，不變，可得方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱；曲線有四條對(duì)稱軸，故①正確；由與聯(lián)立，可得或，即有曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故②錯(cuò)誤；設(shè)曲線第一象限上任意一點(diǎn)為，，可得圍成的矩形面積為，由，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值，故③正確；易得四葉草曲線在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，故四葉草面積小于，則④正確．故選：．12．曲線為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（1）曲線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（2）曲線關(guān)于軸、軸對(duì)稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：設(shè)，則，對(duì)于（1），原點(diǎn)代入方程，得，即方程不成立，則曲線一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，命題錯(cuò)誤；對(duì)于（2），以代替，代替，方程成立，方程也成立，即曲線關(guān)于、軸對(duì)稱，命題正確；對(duì)于（3），，，的最大面積為，命題正確；對(duì)于（4），令，可得，根據(jù)距離乘積為16可以得出的取值只可能在到之間；同理的取值只可能在到之間；所以曲線在一個(gè)面積為的矩形范圍內(nèi)，命題錯(cuò)誤．綜上，正確的命題有（2）（3），共2個(gè)．故選：．二．多選題（共2小題）13．?dāng)?shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號(hào)，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”．若點(diǎn)，是軌跡上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有A．曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 B．的取值范圍是， C．曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足 D．的最大值為【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”．故點(diǎn)，滿足，點(diǎn)，代入，得到，故正確；對(duì)于：設(shè)軸上范圍的最大值為，所以，解得，故的范圍為．故錯(cuò)誤；對(duì)于：若，則點(diǎn)在的垂直平分線上，即，設(shè)點(diǎn)，所以，所以，即僅原點(diǎn)滿足，故正確；對(duì)于，化簡(jiǎn)得，根據(jù)，，得到，所以的最大值為，的最大值為，故錯(cuò)誤．故選：．14．在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點(diǎn)，則A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點(diǎn)的最近距離為【解答】解：當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得，將的中心平移到位于第一象限的部分，因?yàn)辄c(diǎn)，，都在曲線上，所以曲線的圖象關(guān)于軸、軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，作出圖象如圖所示，由圖可知曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；令中的，解得，向右平移一個(gè)單位可得到橫坐標(biāo)為3，根據(jù)對(duì)稱性可知，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；令中的，解得，向上平移個(gè)單位可得縱坐標(biāo)的最大值為，曲線第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于，故選項(xiàng)正確；令中的，可得，所以到點(diǎn)的最近距離為，故選項(xiàng)正確．故選：．三．填空題（共6小題）15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)．③曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②．【解答】解：①令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)；令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)；令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)．由此可得：曲線恰好經(jīng)過(guò)8個(gè)整點(diǎn)，因此不正確．②，方程化為：，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，可知正確．③由四個(gè)點(diǎn)作為正方形的頂點(diǎn)，可得正方形的面積為4，曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積大于4．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②．故答案為：②．16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②．【解答】解：根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，即為，，可得，所以曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，故曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，由上可知，當(dāng)時(shí)，，即曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，②正確；對(duì)于③，因?yàn)樵谳S上方，圖形面積大于四點(diǎn)，，，圍成的矩形面積，在軸下方，圖形面積大于三點(diǎn)，，圍成的等腰直角三角形的面積，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，③錯(cuò)誤．故答案為：①②．17．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線．給出下列結(jié)論：①曲線經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2；③曲線圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線在第二象限和第四象限．其中正確結(jié)論的序號(hào)是②④．【解答】解：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線相切于點(diǎn)，，，，則①和③都錯(cuò)誤；由，得方程表示的曲線在第二象限和第四象限，故④正確．故答案為：②④．18．曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．則曲線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)，為常數(shù)），那么的最小值（a）．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得，①當(dāng)時(shí)，，無(wú)軌跡；②當(dāng)時(shí)，化為，化為，與軸無(wú)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，化為，化為，．令，解得．綜上①②③可知：曲線與軸的交點(diǎn)為；（2）由（1）可知：．如圖所示，令，則，或，解得或1．①當(dāng)或時(shí)，，（a）；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與相交時(shí)的交點(diǎn)滿足取得最小值，此拋物線的準(zhǔn)線為，直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，此時(shí)（a）；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與相交時(shí)的交點(diǎn)滿足取得最小值，此拋物線的準(zhǔn)線為，直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，此時(shí)（a）．綜上可知：（a）19．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)的軌跡方程為．【解答】解：由，，則，，所以，而在三角形中，所以可得，而，所以可得，所以為定值且大于，所以可得的軌跡為橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓，即，，所以，所以的軌跡方程為：，故答案為：．20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足（如圖所示）．則得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程為；【解答】解：顯然直線的斜率存在，記為，的方程記為：，，，，，，將直線方程代入得：，則有：△①，②，③，又，；，，得：且，，代入①驗(yàn)證，滿足；故；設(shè)的重心為，則④，⑤，由④⑤兩式消去參數(shù)得：的軌跡方程為．故答案為：．四．解答題（共5小題）21．如圖，直線和相交于點(diǎn)，，點(diǎn)．以，為端點(diǎn)的曲線段上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離相等．若為銳角三角形，，，且．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的方程．【解答】解：法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為軸，的垂直平分線為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．依題意知：曲線段是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線