2021年甘肅省武威市數(shù)學中考試題含解析

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷主標題

姓名：__________班級：__________考號：__________一、選擇題（共10題）1、3的倒數(shù)是（

）A．B．C．D．2、2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，勉勵全國各族人民在新的一年發(fā)揚“為民服務孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛，艱苦奮斗老黃?！本?，某社區(qū)也開展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．3、下列運算正確的是（）A．B．C．D．4、中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”!中國外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國已無償向80個國家和3個國際組織提供疫苗援助．預計2022年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢獻．數(shù)據(jù)“50億”用科學記數(shù)法表示為（

）A．B．C．D．5、將直線向下平移2個單位長度，所得直線的表達式為（

）A．B．C．D．6、如圖，直線的頂點在上，若，則（）A．B．C．D．7、如圖，點在上，，則（）A．B．C．D．8、我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少?設共有人，輛車，則可列方程組為（）A．B．C．D．9、對于任意的有理數(shù)，如果滿足，那么我們稱這一對數(shù)為“相隨數(shù)對”，記為．若是“相隨數(shù)對”，則（）A．B．C．2D．310、如圖1，在中，于點．動點從點出發(fā)，沿折線方向運動，運動到點停止．設點的運動路程為的面積為與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（）A．3B．6C．8D．9二、解答題（共10題）1、計算：．2、先化簡，再求值：，其中．3、在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知是弦上一點，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段的垂直平分線，分別交于點于點，連接；②以點為圓心，長為半徑作弧，交于點（兩點不重合），連接．（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系．4、如圖1是平?jīng)鍪械貥私ㄖ按竺鲗毸?，始建于明嘉靖十四年?535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應，被譽為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設計：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數(shù)（在同一條直線上）．數(shù)據(jù)收集：通過實地測量：地面上兩點的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．5、一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）．6、為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了以“學習百年黨史，匯聚團結(jié)偉力”為主題的知識競賽，競賽結(jié)束后隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計，按成績分成五個等級，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，解答下列問題：等級成績（1）本次調(diào)查一共隨機抽取了_________名學生的成績，頻數(shù)分布直方圖中__________；（2）補全學生成績頻數(shù)分布直方圖；（3）所抽取學生成績的中位數(shù)落在________等級；（4）若成績在80分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學生，估計成績優(yōu)秀的學生有多少人?7、如圖1，小剛家，學校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速從學校到圖書館，到達圖書館還完書后，再以相同的速度原路返回家中（上、下車時間忽略不計）．小剛離家的距離與他所用的時間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．（1）小剛家與學校的距離為___________，小剛騎自行車的速度為________；（2）求小剛從圖書館返回家的過程中，與的函數(shù)表達式；（3）小剛出發(fā)35分鐘時，他離家有多遠?8、如圖，內(nèi)接于是的直徑的延長線上一點，．過圓心作的平行線交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑及的值；9、問題解決：如圖1，在矩形中，點分別在邊上，于點．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點分別在邊上，與相交于點，，求的長．10、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與坐標軸交于兩點，直線交軸于點．點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸的垂線，垂足為分別交直線于點．（1）求拋物線的表達式；（2）當，連接，求的面積；（3）①是軸上一點，當四邊形是矩形時，求點的坐標；②在①的條件下，第一象限有一動點，滿足，求周長的最小值．三、填空題（共8題）1、因式分解：___________．2、關(guān)于的不等式的解集是___________．3、已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是_____.．4、開學前，根據(jù)學校防疫要求，小蕓同學連續(xù)14天進行了體溫測量，結(jié)果統(tǒng)計如下表：體溫（）36.336.436.536.636.736.8天數(shù)（天）233411這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是____________．5、如圖，在矩形中，是邊上一點，是邊的中點，，則________．6、若點在反比例函數(shù)的圖象上，則____（填“>”或“<”或“=”）7、如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為_____．8、一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：，…，則第個式子是___________．============參考答案============一、選擇題1、C【詳解】根據(jù)倒數(shù)的定義可知．解：3的倒數(shù)是．主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握．需要注意的是：倒數(shù)的性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù)．倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．2、B【分析】結(jié)合軸對稱圖形的定義即可求解．【詳解】解：A：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意；B：符合軸對稱圖形的定義，符合題意；C：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意；D：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意；故答案是：B．【點睛】本題考察軸對稱圖形的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義，即當一個平面圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形．3、C【分析】直接根據(jù)二次根式的運算法則計算即可得到答案．【詳解】，故A錯；，故B錯；，C正確；，故D錯．故選：C．【點睛】此題考查的是二次根式的運算和化簡，掌握其運算法則是解決此題關(guān)鍵．4、B【分析】結(jié)合科學計數(shù)法的表示方法即可求解．【詳解】解：50億即5000000000，故用科學計數(shù)法表示為，故答案是：B．【點睛】本題考察科學計數(shù)法的表示方法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵即掌握科學計數(shù)法的表示方法，科學計數(shù)法的表示形式為，其中，n為整數(shù)．此外熟記常用的數(shù)量單位，如萬即是，億即是等．5、A【分析】只向下平移，讓比例系數(shù)不變，常數(shù)項減去平移的單位即可．【詳解】解：直線向下平移2個單位后所得直線的解析式為故選:A【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)上下平移的規(guī)則“上加下減”在常數(shù)項．函數(shù)左右平移的規(guī)則“左加右減”在自變量，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平移的規(guī)則求出平移后的函數(shù)解析式是關(guān)鍵．6、A【分析】先求出的余角∠ABF，利用平行線性質(zhì)可求∠ADE．【詳解】解：∵，∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，∵，∴∠ADE=∠ABF=70°．故選擇A．【點睛】本題考查余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)，掌握余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7、D【分析】先證明再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案．【詳解】解：點在上，，故選：【點睛】本題考查的兩條弧，兩個圓心角，兩條弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同弧或等弧的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】設共有人，輛車，由每3人坐一輛車，有2輛空車，可得由每2人坐一輛車，有9人需要步行，可得：從而可得答案．【詳解】解：設共有人，輛車，則故選：【點睛】本題考查的是二元一次方程組的實際應用，確定相等關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．9、A【分析】先根據(jù)新定義，可得9m+4n=0，將整式去括號合并同類項化簡得，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵是“相隨數(shù)對”，∴，整理得9m+4n=0，．故選擇A．【點睛】本題考查新定義相隨數(shù)對，找出數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計算求值，掌握新定義相隨數(shù)對，找出數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計算求值是解題關(guān)鍵．10、B【分析】從圖象可知，，點M運動到點B位置時，的面積達到最大值y=3，結(jié)合等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)、三角形的面積公式和勾股定理可求得AC的長．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，點M的運動路程，點M運動到點B的位置時，的面積y達到最大值3，即的面積為3．∵∴∴．∴，即：，，即：．∵，∴．兩式相加，得，2AD=6．∴AC=2AD=6．故選：B【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等式的性質(zhì)與恒等變形、函數(shù)圖象等知識點，從函數(shù)圖象中獲取相應的信息，利用勾股定理和三角形的面積公式，進行等式的恒等變形是解題的關(guān)鍵．二、解答題1、【分析】先進行零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，余弦函數(shù)值計算，再計算二次根式的乘法，合并同類項即可．【詳解】解：，，．【點睛】本題主要考查零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2、【分析】小括號內(nèi)先通分計算，將除法變成乘法并因式分解，根據(jù)乘法法則即可化簡，再代值計算即可．【詳解】解：原式當時，原式．【點睛】本題考察分式的化簡求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型．解題的關(guān)鍵在于熟悉運算法則和因式分解．3、（1）①見解析；②見解析；（2）【分析】（1）①分別為圓心，大于為半徑畫弧，得到兩弧的交點，過兩弧的交點作直線即可得到答案，②按照語句依次作圖即可；（2）由作圖可得：再證明再證明從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）作出線段的垂直平分線，連接；以為圓心，長為半徑作弧，交于點，連接，如圖示：（2）結(jié)論：．理由如下：由作圖可得：是的垂直平分線，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運用基礎(chǔ)知識解題是關(guān)鍵．4、【分析】設，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設，在中，，在中，，，解得，．答：寶塔的高度約為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5、（1）1個；（2）【分析】（1）先利用頻率估計概率，得到摸到紅球的概率為0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；（2）利用列表或畫樹狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可得到答案．【詳解】解：（1）∵通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，∴估計摸到紅球的概率為0.75，設白球有個，依題意得解得，．經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，所以箱子里可能有1個白球；（2）列表如下：紅紅紅白紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）白（白，紅）（白，紅）（白，紅）（白，白）或畫樹狀圖如下：∵一共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：（紅，白）、（紅，白）、（紅，白）、（白，紅）、（白，紅）、（白，紅）共6種．∴兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率．【點睛】本題考查的是利用頻率估計概率，利用列表法或畫樹狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實驗次數(shù)足夠多的情況下，頻率會穩(wěn)定在某個數(shù)值附近，這個常數(shù)視為概率，以及掌握列表與畫樹狀圖的方法是解題的關(guān)鍵．6、（1）200，16；（2）見解析；（3）；（4）940人【分析】（1）B等級人數(shù)40人÷B等級的百分比為20%，利用抽查人數(shù)-其它各組人數(shù)即可；（2）C等級200×25%=50人，m=16即可補全頻率分布直方圖：（3）根據(jù)中位數(shù)定義即可求即；（4）成績80分以上的在D、E兩等級中人數(shù)占抽樣的百分比47%乘以學生總數(shù)即可．【詳解】解：（1）B等級人數(shù)40人，由扇形圖可知B等級的百分比為20%，∴本次調(diào)查一共隨機抽取了40÷20%=200名學生的成績，C等級200×25%=50人∴m=200-40-50-70-24=16故答案為：200，16；（2）C等級200×25%=50人，m=16,補全頻率分布直方圖如圖所示：（3）頻率分布直方圖已將數(shù)據(jù)從小到大排序，一共抽查200個數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)定義中位數(shù)位于第100，101兩位置上成績的平均數(shù)，16+40=56100，16+40+50=106101,∴中位數(shù)在等級內(nèi)；故答案為：C（4）成績80分以上的在D、E兩等級中人數(shù)為：70+24=94人，占抽樣的百分比為94÷200×100%=47%，全校共有2000名學生，成績優(yōu)秀的學生有（人）．答：全校2000名學生中，估計成績優(yōu)秀的學生有940人．【點睛】本題考查頻率分布直方圖和扇形圖獲取信息，樣本容量，補畫頻率分布直方圖，中位數(shù)，用樣本的百分比含量估計總體中的數(shù)目等知識，熟練掌握上述知識是關(guān)鍵．7、（1）3000，200；（2）；（3）【分析】（1）從起點處為學校出發(fā)去處為圖書館，可求小剛家與學校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車的速度即可；（2）求出從圖書館出發(fā)時的時間與路程和回到家是的時間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當時，函數(shù)值即可．【詳解】解：（1）小剛騎自行車勻速從學校到圖書館，從起點3000m處為學校出發(fā)去5000m處為圖書館，∴小剛家與學校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m，行駛的路程為5000-3000=2000m，騎自行車的速度為2000÷10=200m/min，故答案為：3000，200；（2）小剛從圖書館返回家的時間：．總時間：．設返回時與的函數(shù)表達式為，把代入得：，解得，，．（3）小剛出發(fā)35分鐘，即當時，，答：此時他離家．【點睛】本題考查從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時解析式，用行駛的具體時間確定函數(shù)值解決問題，掌握從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時解析式，用行駛的具體時間確定函數(shù)值解決問題是解題關(guān)鍵．8、（1）見解析；（2）半徑為3，【分析】（1）證明是的半徑，即證明，結(jié)合直徑所對圓周角是、等腰△OAC和已知即可求解；（2）由（1）中結(jié)論和可知，，再由CD、CE和平行線分線段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用三邊的勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，，，，是的直徑，，，，即，，又是的半徑，是的切線．（2），即，∴設，則，，解得，，．即的半徑為3，，在中，，．【點睛】本題考查圓切線的證明、平行線分線段成比例、勾股定理和銳角三角函數(shù)，屬于中檔幾何綜合題，解題的關(guān)鍵在于直徑所對圓周角是直角和方程思想．9、問題解決：（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8【分析】問題解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可．結(jié)合和可知，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明，即，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知，再結(jié)合已知，即可證明，從而求得是等腰三角形；類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長到點，使得，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，再結(jié)合已知可得等邊，最后利用線段BF長度即可求解．【詳解】解：問題解決：（1）證明：如圖1，∵四邊形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．類比遷移：如圖2，延長到點，使得，連接．∵四邊形是菱形，．．．又．是等邊三角形，，．【點睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題，屬于中檔難度的幾何綜合題．理解題意并靈活運用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．10、（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出答案．（2）由題意可求出，．利用三角函數(shù)可知在和中，，由此即可求出，從而可求出．即可求出D點坐標，繼而求出．再根據(jù)，即可求出FD的長，最后利用三角形面積公式即可求出最后答案．（3）①連接，交于點．根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，．由可推出．由，可推出．再根據(jù)直線BC的解析式可求出C點坐標，即可得出OC的長，由此可求出AC的長，即可求出CH的長，最后即得出OH的長，即可得出H點坐標．②在中，利用勾股定理可求出的長，再根據(jù)結(jié)合可推出，即要使最小，就要最小，由題意可知當點在上時，為最?。辞蟪鯞C長即可．在中，利用勾股定理求出的長，即得出周長的最小值為．【詳解】解：（1）∵拋物線過兩點，，解得，，．（2）．同理，．又軸，軸，∴在和中，，即，．當時，，，即．，．（3）①如圖，連接，交于點．∵四邊形是矩形，．又，∴，．∵四邊形是矩形，．，∵當x=0時，，∴，，，，．②在中，，．∴要使最小，就要最?。?，∴當點在上時，為最?。谥?，．周長的最小值是．

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題．考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形三邊關(guān)系以及勾股定理等知識，綜合性強，較難．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的