甘肅省武威市天祝藏族自治縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

甘肅省武威市天祝藏族自治縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點，為坐標原點，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.4．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．若直線經(jīng)過，,兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.6．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.7．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.28．如圖，在四面體中，，，，點為的中點，，則（）A. B.C. D.9．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.10．已知橢圓的右焦點為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.2111．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，12．已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，點為切點.若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點的對稱點為點，則___________.14．近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風景線．他們根據(jù)外賣平臺提供的信息到外賣店取單，某外賣小哥每天來往于r個外賣店（外賣店的編號分別為1，2，…，r，其中），約定：每天他首先從1號外賣店取單，稱為第1次取單，之后，他等可能的前往其余個外賣店中的任何一個店取單，稱為第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的個外賣店取單．設(shè)事件表示“第k次取單恰好是從1號店取單（）”，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則______，與的關(guān)系式為______15．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項公式__________16．從甲、乙、丙、丁4位同學中，選出2位同學分別擔任正、副班長的選法數(shù)可以用表示為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項.數(shù)列的前n項和為，滿足，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求的前2n項和.18．（12分）已知拋物線過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點.19．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點A到左焦點F的距離為1，橢圓M上一點B位于第一象限，點B與點C關(guān)于原點對稱，直線CF與橢圓M的另一交點為D（1）求橢圓M的標準方程；（2）設(shè)直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值21．（12分）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面積S的最大值.22．（10分）如圖，在直角梯形中，．直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面平面．M為線段的中點，P為線段上的動點（1）求證：；（2）當點P滿足時，求證：直線平面；（3）是否存在點P，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定P點的位置；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因為，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.2、B【解析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】因為，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.3、C【解析】不妨取點在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點的坐標，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點在第一象限，則的坐標為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：4、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.5、D【解析】應(yīng)用兩點式求直線斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D6、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)7、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A8、B【解析】利用插點的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運用.【詳解】.故選：B.9、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A10、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A11、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A12、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及弦長公式求出，進而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因為拋物線的性質(zhì)：在拋物線上任意一點處的切線方程為，設(shè)，所以在點處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，所以直線的方程為，即，點到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征求出點，再利用空間兩點間的距離公式即可求.【詳解】因為B與關(guān)于原點對稱，故，所以.故答案為：.14、①.②.【解析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，事件表示“第3次取單恰好是從1號店取單”，因此；同理故答案為：；.15、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】由題意知：從4為同學中選出2位進行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學選出2位同學，2、把所選出的2位同學任意安排為正、副班長，∴選法數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（）（2）【解析】（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；（2）數(shù)列根據(jù)的奇偶分段表示，奇數(shù)項通過乘公比錯位相減法克求得前項和，偶數(shù)項則是通過裂項求和.【小問1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當時，，當時，，經(jīng)檢驗，時，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問2詳解】由（1）可知，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因為直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側(cè)，所以，即過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系.根據(jù)條件容易求出如下各點坐標：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因為，，由，得.解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進行求解即可；（2）設(shè)出直線CF的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設(shè)，，則，CF：聯(lián)立∴，∴【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進而可得C的大?。唬?）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當且僅當時等號成立，∴△的面積S的最大值為.22、（1）見解析（2）見解析（3）存在點P，【解析】（1）建立空間坐標系求兩直線的方向向量，根據(jù)數(shù)量積為0可證的結(jié)論；（2）求得直線的方向向量和面的法向量，證得兩向量垂直即可；（3