湖北省襄陽市東風中學2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題含解析

湖北省襄陽市東風中學2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)對于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.2．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.3．拋物線的準線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.4．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.5．數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.36．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A. B.C. D.7．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為8．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直9．已知點是橢圓上的任意點，是橢圓的左焦點，是的中點，則的周長為（）A. B.C. D.10．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A.B.C.D.11．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.14．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數(shù)為__________.15．在等比數(shù)列中，若，是方程兩根，則________.16．如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個表面積為的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為______cm；②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點個數(shù).19．（12分）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求的值21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22．（10分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標記在長方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C2、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因為是的中點，是的中點，，故選：B3、C【解析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標準方程為，準線方程為，又準線方程是，所以，所以.故選：C4、A【解析】建立空間直角坐標系，得到相關(guān)點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)三棱柱的棱長為2，則，∴設(shè)為平面的一個法向量，由故令，得設(shè)直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，得到相關(guān)點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯誤5、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.6、B【解析】由空間向量的線性運算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B7、D【解析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D8、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.9、A【解析】設(shè)橢圓另一個焦點為，連接，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，，如圖，設(shè)橢圓的另一個焦點為，連接，因為、分別為、的中點，則，則的周長為，故選：A.10、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：D【點睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系．在討論函數(shù)的性質(zhì)時，必須堅持定義域優(yōu)先的原則．對于函數(shù)實際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響11、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.12、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】相關(guān)點法求解軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，則，即，因為，代入可得，即的軌跡方程為.故答案為：14、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個數(shù)，第行有個數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個數(shù)，第行從左向右的最后一個數(shù)是，所以第行從左向右的第個數(shù)為.故答案為：15、.【解析】由題意求得，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，，是方程的兩根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進而得，，故最小距離為；進而建立坐標系，得拋物線方程為，當杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進而只需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因為杯口放一個表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因為杯口寬cm，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因為杯深8cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學建模能力，運算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因為，.所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標系，以三條互相垂直的垂線的交點為原點；2、設(shè)：設(shè)所需點的坐標，并得出所需向量的坐標；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、取：根據(jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.18、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當時，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當時，，所以，故，，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，設(shè)，此時，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當，即時，有唯一零點在區(qū)間上，當，即時，在上無零點；故當時，在上有1個零點；當時，在上無零點.19、（1），曲線是一個雙曲線，除去左右頂點（2）【解析】（1）設(shè)，則的斜率分別為，，根據(jù)題意列出方程，化簡后即得C的方程，根據(jù)方程可以判定曲線類型，注意特殊點的去除；（2）聯(lián)立方程，利用韋達定理和弦長公式計算可得.【小問1詳解】解：設(shè)，則的斜率分別為，，由已知得，化簡得，即曲線C的方程為，曲線一個雙曲線，除去左右頂點.【小問2詳解】解：聯(lián)立消去整理得，設(shè)，，則，.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當時，”探求相鄰兩項的關(guān)系計算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求出，即可作答.【小問1詳解】依題意，，，則當時，，于是得：，即，而當時，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，從而有，所以.21、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用得的值；（2）討論和分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)求解最值即可求解【詳解】解：（1），又由題意有（2）由（1）知，此時，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和要恒成立，即①當時，，則要恒成立，令，再令，所以在內(nèi)遞減，所