2025屆福建省云霄立人學(xué)校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆福建省云霄立人學(xué)校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．近年來(lái)，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門(mén).某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途，隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①可以估計(jì)使用主要聽(tīng)音樂(lè)的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲；③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過(guò)總數(shù)的.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．24．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．5．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．46．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．7．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12808．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．10．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．11．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．12．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則______，______.14．正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.15．設(shè)、滿足約束條件，若的最小值是，則的值為_(kāi)_________.16．邊長(zhǎng)為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)F,若,則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）已知（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）記，若存在實(shí)數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)，求證：．19．（12分）已知，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.20．（12分）如圖，正方形所在平面外一點(diǎn)滿足，其中分別是與的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求線段的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù)（）（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)利用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，，故超過(guò)的大學(xué)生使用主要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)?，所以③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.4、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.5、B【解析】

因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！驹斀狻?，故奇函數(shù)，四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí)，，，排除C、D當(dāng)時(shí)，，，排除A。故選B。【點(diǎn)睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。7、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).8、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.9、B【解析】

求出的表達(dá)式，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過(guò)，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時(shí)，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．10、C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.11、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．12、B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平?在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為，用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．14、【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙?duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于計(jì)算解題.15、【解析】

畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由得，顯然直線過(guò)時(shí)，最小，代入求出的值即可．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，則點(diǎn).由得，顯然當(dāng)直線過(guò)時(shí)，該直線軸上的截距最小，此時(shí)最小，，解得.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．16、【解析】

取基向量，，然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將，表示為基向量后再相乘可得．【詳解】如圖：設(shè)，又，且存在實(shí)數(shù)使得，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）最小值為，此時(shí)【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標(biāo)方程是（2）設(shè)，的最小值就是點(diǎn)到直線的最小距離.設(shè)在時(shí)，，是最小值，此時(shí)，所以，所求最小值為，此時(shí)【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬于中檔題.18、（1）沒(méi)有極值點(diǎn)；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).（2）由題,,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問(wèn)題,考查運(yùn)算能力與推理論證能力.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）令，求導(dǎo)，可知單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點(diǎn)，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.（2）根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線的方程①，再設(shè)直線與相切于點(diǎn)，有，即，再求得在點(diǎn)處的切線直線的方程為②由①②可得，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，，令，轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn)，則只需，求解.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而的最小值為.所以，即.（2），故，故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點(diǎn)，注意到，從而切線斜率為，因此，而，從而直線的方程也為②由①②可知，故，由為正整數(shù)可知，，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，從而在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使得在上存在零點(diǎn)，則只需，，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，，所以；因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，因此；因?yàn)闉檎麛?shù)，且，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據(jù)二面角的余弦值，可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計(jì)算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連結(jié).則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應(yīng)用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)