安徽省舒城縣龍河中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省舒城縣龍河中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)與的圖象在上的交點(diǎn)有（）A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)2．函數(shù)的定義域是（）A.（-1，1） B.C.（0，1） D.3．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為A.1 B.2C.3 D.44．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則A. B.C. D.5．若，則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限6．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A B.C. D.7．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.3，則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8．學(xué)校操場(chǎng)上的鉛球投鄭落球區(qū)是一個(gè)半徑為米的扇形，并且沿著扇形的弧是長(zhǎng)度為約米的防護(hù)欄，則扇形弧所對(duì)的圓心角的大小約為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實(shí)數(shù)a的取值屬于以下哪個(gè)范圍()A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9) D.(9，10)10．下列說(shuō)法中，正確的是（）A.銳角是第一象限的角 B.終邊相同的角必相等C.小于的角一定為銳角 D.第二象限的角必大于第一象限的角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．定義為中的最大值，函數(shù)的最小值為，如果函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_________12．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為，則該正四棱錐的側(cè)面積等于________cm213．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中有正品和次品，其中正品重/個(gè)，次品重/個(gè).現(xiàn)有10袋產(chǎn)品（每袋裝100個(gè)），其中1袋裝的全為次品，其余9袋裝的全為正品.將這10袋產(chǎn)品從1～10編號(hào)，從第i號(hào)袋中取出i個(gè)產(chǎn)品，則共抽出______個(gè)產(chǎn)品；將取出的產(chǎn)品一起稱重，稱出其重量，則次品袋的編號(hào)為_(kāi)_____.14．已知，且，則的值為_(kāi)_____15．已知冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么________16．函數(shù)最小值為_(kāi)_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，，分別為邊和上的點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為2.（1）求證：；（2）求面積的最小值.18．已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，且（1）求的解析式；（2）用定義證明：在上增函數(shù).19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為k），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積y（單位：）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并說(shuō)明理由，求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：）20．已知函數(shù)的圖象在直線的下方且無(wú)限接近直線.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性（寫出判斷說(shuō)明即可，無(wú)需證明），并求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；（3）求函數(shù)的值域.21．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間(單位：小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間約達(dá)幾小時(shí)？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，3小時(shí)后再噴灑2個(gè)單位的凈化劑，設(shè)第二次噴灑小時(shí)后空氣中凈化劑濃度為(毫克/立方米)，其中①求的表達(dá)式；②求第二次噴灑后的3小時(shí)內(nèi)空氣中凈化劑濃度的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】在上解出方程，得出方程解的個(gè)數(shù)即可.詳解】當(dāng)時(shí)，解方程，得，整理得，得或.解方程，解得、、、或.解方程，解得、、.因此，方程在上的解有個(gè).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)與正弦函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以利用圖形法解決，也轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、B【解析】根據(jù)函數(shù)的特征，建立不等式求解即可.【詳解】要使有意義，則，所以函數(shù)的定義域是.故選：B3、B【解析】由題意可得，故中元素的個(gè)數(shù)為2，所以選B.【名師點(diǎn)睛】集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖4、C【解析】由圖可以得到周期，然后利用周期公式求，再將特殊點(diǎn)代入即可求得的表達(dá)式，結(jié)合的范圍即可確定的值.【詳解】由圖可知，，則，所以，則.將點(diǎn)代入得，即，解得，因?yàn)?，所?答案為C.【點(diǎn)睛】已知圖像求函數(shù)解析式的問(wèn)題：（1）：一般由圖像求出周期，然后利用公式求解.（2）：一般根據(jù)圖像的最大值或者最小值即可求得.（3）：一般將已知點(diǎn)代入即可求得.5、A【解析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限【詳解】因?yàn)?，，所以，故在第二象限，即，故，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的象限角，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】解：由題意知：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故.故選：A.7、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出大小關(guān)系【詳解】∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.3∈（0，1），則a，b，c三者的大小關(guān)系是b＞c＞a.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】直接由弧長(zhǎng)半徑圓心角的公式求解即可.【詳解】根據(jù)條件得：扇形半徑為10，弧長(zhǎng)為6，所以圓心角為：.故選：A.9、A【解析】根復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值f(x)min＝8，構(gòu)造新函數(shù)g(a)＝a＋log2a－8，利用零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，根復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上遞減，所以函數(shù)f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以實(shí)數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6)【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及零點(diǎn)的存在定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，構(gòu)造新函數(shù)，利用零點(diǎn)的存在定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.10、A【解析】根據(jù)銳角的定義，可判定A正確；利用反例可分別判定B、C、D錯(cuò)誤，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對(duì)于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對(duì)于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時(shí)，所以D不正確.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)題意，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得的值，進(jìn)而可得，由減函數(shù)的定義可得，解得的范圍，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，則，根據(jù)單調(diào)性可得先減后增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2，則有，則，因?yàn)闉闇p函數(shù)，必有，解可得：，即m的取值范圍為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值的計(jì)算，關(guān)鍵是求出c的值．12、32【解析】在正四棱錐的高和斜高所在的直角三角形中計(jì)算出斜高后，根據(jù)三角形的面積公式即可求出側(cè)面積.【詳解】因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為，所以斜高為cm，所以該正四棱錐的側(cè)面積等于cm2故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了求正四棱錐的側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題.13、①.55②.8【解析】將這10袋產(chǎn)品從編號(hào)，從第號(hào)袋中取出個(gè)產(chǎn)品，2，，，則共抽出個(gè)產(chǎn)品；將取出的產(chǎn)品一起稱重，稱出其重量，得到取出的次品的個(gè)數(shù)為8個(gè)，進(jìn)而能求出次品袋的編號(hào)【詳解】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中有正品和次品，其中正品重個(gè)，次品重個(gè)現(xiàn)有10袋產(chǎn)品（每袋裝100個(gè)），其中1袋裝的全為次品，其余9袋裝的全為正品將這10袋產(chǎn)品從編號(hào)，從第號(hào)袋中取出個(gè)產(chǎn)品，2，，，則共抽出個(gè)產(chǎn)品；將取出的產(chǎn)品一起稱重，稱出其重量，取出的次品的個(gè)數(shù)為8個(gè)，則次品袋的編號(hào)為8故答案為：55；814、【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用結(jié)合兩角和的余弦公式即可求出【詳解】，，，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值，角的變換是解題的關(guān)鍵15、【解析】首先代入函數(shù)解析式求出，即可得到函數(shù)解析式，再代入求出函數(shù)值即可；【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)（是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，所以；故答案：16、【解析】根據(jù)，并結(jié)合基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故函數(shù)的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）補(bǔ)形得證明其與全等，從而得證.（2）引進(jìn)參數(shù)，由已知建立參數(shù)變量之間的等量關(guān)系，再用方程根的判別式獲得變量最值，進(jìn)一步得到所求面積最值.【詳解】（1）如圖：延長(zhǎng)至，使，連接，則.故，，.又.，即.（2）設(shè)，，，則，，，于是，整理得：，.即.又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立.此時(shí)，因此當(dāng)，時(shí)，取最小值.的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：引進(jìn)參數(shù)建立參變量方程，再變換主次元，利用方程根的判別式，確定參數(shù)取值范圍是求最值的方法之一.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用奇函數(shù)可求，然后利用可求，從而可得解析式；（2）先設(shè)量，作差，變形，然后判定符號(hào)，可得單調(diào)性.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即；因?yàn)?，所以，即；所?為奇函數(shù)綜上，（2）證明：任取，設(shè)，；因?yàn)?，，所以，，所以，故在上是增函?shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解和單調(diào)性的證明，明確函數(shù)單調(diào)性的證明步驟是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).19、（1）理由見(jiàn)解析，函數(shù)模型為；（2）六月份.【解析】（1）由鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，故選符合要求，根據(jù)數(shù)據(jù)時(shí)，時(shí)代入即可得解；（2）首先求時(shí)，可得元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，解不等式即可得解.【詳解】（1）兩個(gè)函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，指數(shù)型函數(shù)的值增加速度越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加越來(lái)越慢，由鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，故選符合要求；由時(shí)，由時(shí)，可得，解得，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，元放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，由，得所以，由，所以.所以鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.20、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，（2）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性情況直接判斷；（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷；（3）由奇偶性直接判斷值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡S著增大，減小，即增大，故隨增大而增大，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由的圖象在直線下方，且無(wú)限接近直線，得，所以函數(shù)的解析式.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，整理得，函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù).小問(wèn)3詳解】方法一：由（1）知，由（2）知，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故，所以函數(shù)的值域?yàn)?方法二：由，得，得，得，得，得，所以函數(shù)的值域?yàn)?21、（1），（2）①（），②28毫克/立方米【解析】（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，濃度，分類討論解出即可（2）①由題意可得（），②由于可化為，然后利用基本不等式可求出其最小值【詳解】解：（1）根據(jù)已知可得