2025屆河南省淮陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆河南省淮陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.33．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.4．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）是為雙曲線的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點(diǎn)距點(diǎn)最近的距離為；A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)5．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（）A. B.C. D.6．為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元7．下列命題錯(cuò)誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過(guò)拋物線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.39．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)10．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣212．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取___________件14．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為_(kāi)__.15．無(wú)窮數(shù)列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，，則__________，若數(shù)列前項(xiàng)和為，則__________.16．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線到圓心的距離為，且直線垂直于直線，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交與、兩點(diǎn)（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若，求以為直徑的圓方程；（3）當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)，并求對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程20．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請(qǐng)求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會(huì)，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.21．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度最小值.（不需證明）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).2、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.3、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以所以，所以，所?故選：D4、A【解析】利用方程表示雙曲線求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對(duì)于（1），若曲線為雙曲線，則，即，解得或，因?yàn)榛?，因此，是為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯(cuò)；對(duì)于（2），若，則或，（2）錯(cuò)；對(duì)于（3），，則，（3）對(duì)；對(duì)于（4），設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，（4）錯(cuò).故選：A.5、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切，所以.故選：D6、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項(xiàng)公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤(rùn)為故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進(jìn)貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解7、C【解析】根據(jù)題意，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有可能等于0，當(dāng)時(shí)，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.8、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時(shí)，即時(shí)，，即，故選：D9、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題10、C【解析】先舉例說(shuō)明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說(shuō)明C成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以D錯(cuò)；因?yàn)樗?，又，因此同向不等式相加得，即C對(duì)；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得.故選：A.12、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取個(gè)數(shù)為件.故答案為：.14、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.15、①.2②.7578【解析】根據(jù)前四項(xiàng)成等比數(shù)列及定義可求得，根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，，，，，…，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，故答案為：2，757816、【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由題意可得，設(shè)，有拋物線的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問(wèn)2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即18、（1）或（2）（3）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）對(duì)所求直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在所求直線斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證直線與圓相切；在所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，綜合可得出所求直線的方程；（2）分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得出所求圓的方程；（3）設(shè)直線的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以線段為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程，可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】解：易知圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，若所求直線的斜率不存在，則所求直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，合乎題意，若所求直線的斜率存在，設(shè)所求直線的方程為，即，由已知可得，解得，此時(shí)所求直線的方程為.綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：易知直線的方程為，、，若點(diǎn)在軸上方，則直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，此時(shí)，所求圓的方程為；若點(diǎn)在軸下方，同理可求得所求圓的方程為.綜上所述，以為直徑的圓方程為.【小問(wèn)3詳解】解：不妨設(shè)直線的方程為，其中，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)?，則直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，，所以，以線段為直徑的圓的方程為，即，由，解得，因此，當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn).19、（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由，變形為求解直線過(guò)的定點(diǎn)，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時(shí)求解.【小問(wèn)1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓可變形為，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d的最大值為，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號(hào)為a、b，將的樣本編號(hào)為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問(wèn)1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問(wèn)2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，