高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)節(jié)直線與圓位置關(guān)系課件新人教版選修4 - 1fv

選修4-1幾何證明選講第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系考綱要求考情分析1.會(huì)證圓周角定理、圓的切線的判定定理、性質(zhì)定理．2.會(huì)證相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.1.從考查內(nèi)容看，高考對(duì)本節(jié)的考查主要為圓周角定理、弦切角定理、切線定理及其應(yīng)用，且常與相似三角形結(jié)合在一起命題，主要是解決線段成比例(相等)、角(線段)相等的問題．2.從考查形式看，多以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題.一、圓周角定理1．圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓

的角．2．圓周角定理：周圓角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的．3．圓周角定理的推論(1)同弧(或等弧)上的圓周角

；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧 ．(2)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是 ．相交一半相等相等直徑如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于該邊的一半，則這個(gè)三角形的形狀是怎樣的？提示：直角三角形．由題意知該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且圓的直徑為三角形的一邊，故第三個(gè)頂點(diǎn)所在的角為直角．二、直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系相交兩個(gè)

相切一個(gè)d＝r相離無

d<rd>r2.切線的性質(zhì)及判定(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過

的半徑．(2)判定定理過半徑外端且與這條半徑

的直線是圓的切線．3．切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長 ．切點(diǎn)垂直相等三、弦切角1．弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓

，另一邊與圓相交的角．2．弦切角定理及推論(1)定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的 ．(2)推論：同弧(或等弧)上的弦切角

，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角 ．相切一半相等相等四、圓中的成比例線段名稱內(nèi)容圖形相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等PA·PB＝PC·PD名稱內(nèi)容圖形割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等PA·PB＝PC·PD

名稱內(nèi)容圖形切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)PA·PB＝PC2五、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角 ．定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角

它的內(nèi)對(duì)角．2．圓內(nèi)接四邊形的判定定理：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角

，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓．推論1：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓．互補(bǔ)等于互補(bǔ)推論2：如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，這條邊所對(duì)的角相等，并且在公共邊同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓．答案：D2.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO等于(

)A．30°

B．35°C．40°

D．45°解析：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：C3．如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，AD為⊙O1的切線并交⊙O2于D，AC為⊙O2的切線并交⊙O1于C，則(

)A．AB·AD＝AC·BC

B．AB·BC＝AD·BDC．AB

2＝BC·BD

D．AC

2＝AB·AD答案：C∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18，由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14.答案：14答案：4,30°【考向探尋】1．運(yùn)用定理求角、線段長；2．解決與相似三角形有關(guān)的問題．【典例剖析】 (1)(2012·廣東高考)如圖所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P，則PA＝______.(2)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝______.(3)(2012·遼寧高考)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明：①AC·BD＝AD·AB；②AC＝AE.(1)利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形求解．(2)選AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．(3)利用弦切角定理，通過相似三角形求解．(1)圓周角定理體現(xiàn)了圓周角與圓心角之間的關(guān)系，并通過圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角、圓周角)、線段(弦、弦心距)、弧之間的相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法．(2)弦切角定理溝通了弦切角與圓周角之間的關(guān)系，進(jìn)一步完善了圓中的角、線段、弧之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，解題時(shí)常采取“由弧找角”的方法尋找相等的角．已知某直線是圓的切線時(shí)，常用的輔助線是連結(jié)圓心和切點(diǎn)，可得到垂直關(guān)系．【活學(xué)活用】1．(1)如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝______.(2)如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為______．解析：連接OC，OB，依題意得∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°.又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案：π【考向探尋】1．圓內(nèi)接四邊形的判定及性質(zhì)．2．與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的綜合問題．(2)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O相切，切點(diǎn)為A，∠MAB＝35°，則∠D＝______.(3)如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過點(diǎn)G作AB的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，過G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H.求證：①C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；②GH2＝GE·GF.題號(hào)分析(1)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形求解．(2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．(3)①證∠FDC、∠CEF互補(bǔ)；②運(yùn)用相似三角形及切割線定理證明答案：125°(3)證明：①如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓．②∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理，可通過證明四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，或外角與其內(nèi)對(duì)角相等來證明四點(diǎn)共圓．(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是圓中探求角相等或互補(bǔ)關(guān)系的重要方法，使用時(shí)要注意觀察圖形，弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是探求角的相等關(guān)系的重要依據(jù)，解題時(shí)要注意與圓周角定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及垂徑定理的聯(lián)系及綜合應(yīng)用．(1)證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)．∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB.∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，∴∠EDF＝∠CDF，∴AD的延長線平分∠CDE.【考向探尋】相交弦定理、切割線定理、割線定理及其應(yīng)用(2)(2012·湖南高考)如圖所示，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于______(3)如圖所示，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點(diǎn)D和E，求AD·AE的值．(1)運(yùn)用相交弦定理求出CF，再求BD，最后求CD.(2)利用割線定理求解．(3)由切割線定理知PA2＝PB·PC，可得直徑BC的長，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的長即可．(3)解：如圖所示，連接CE，∵PA是⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，∴BC＝PC－PB＝20－5＝15.∵PA切⊙O于A，(1)相交弦定理、切割線定理、割線定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分．在實(shí)際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到兩條割線就要想到割線定理；見到切線和割線時(shí)就要想到切割線定理．(2)在圓中通過連接圓上兩點(diǎn)、作圓的切線等方法可以創(chuàng)造使用圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理的條件，這是在圓的問題中解決角之間關(guān)系的常用方法．【活學(xué)活用】3．(1)如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB＝90°，D為OB的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，則線段DE的長為______．(2)如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長為______．答案：6.4 (10分)(2012·新課標(biāo)全國高考)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.(1)證四邊形BCFD和ADFC為平行四邊形，利用等量代換證明即可．(2)證∠BGD＝∠BDG和∠DGB＝∠DBC即可．證明：(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.2分而CF∥AD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.4分因?yàn)镃F∥AB，所以BC