2024-2025學(xué)年滬教版初中數(shù)學(xué)九年級（上）教案 第23章 解直角三角形23.2解直角三角形及其應(yīng)用（第4課時）

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應(yīng)用第4課時坡角、坡度問題教學(xué)目標1.了解測量中坡度、坡角的概念.2.掌握坡度與坡角的關(guān)系，能利用解直角三角形的知識，解決與坡度有關(guān)的實際問題.教學(xué)重難點重點：能利用解直角三角形的知識，解決與坡度有關(guān)的實際問題.難點：能利用解直角三角形的知識，解決與坡度有關(guān)的實際問題.教學(xué)過程舊知回顧1.什么是坡度？如何表示？答：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度，坡度i＝eq\f(h,l).2.什么叫坡角？坡角與坡度有什么關(guān)系？答：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.坡度i＝tanα＝eq\f(h,l).3.小剛沿斜坡AB每走10eq\r(2)米，他的高度就上升10米，則該斜坡AB的坡角α為45°.新知講解在現(xiàn)實生活中，測量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如圖所示，兩位同學(xué)分別選取不同的點進行測量.從F處進行測量和從A處進行測量的數(shù)據(jù)如圖所示.你能否通過所學(xué)知識求得該坡面的鉛直高度？典型例題一、簡單的坡度坡角問題例1一輛汽車從坡底走到坡頂共用30s，車速是2m/s，汽車行駛的水平距離是40m，則這個斜坡的坡度是________.（教師請學(xué)生代表回答，然后集體訂正）.解：坡面距離為30×2＝60（m），水平距離為40m，∴鉛直高度為eq\r(,602－402)＝20eq\r(,5)(m)，∴坡度i＝20eq\r(,5)∶40＝eq\r(,5)∶2.學(xué)生歸納解題方法，教師補充完善：根據(jù)坡度的定義i＝eq\f(h,l)，解題時需先求得水平距離l和垂直高度h.二、復(fù)雜的坡度、坡角問題例2水利部門為加強防汛工作，決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD.如圖所示，已知迎水坡面AB的長為16米，∠B＝60°，背水坡面CD的長為16eq\r(3)米，加固后大壩的橫截面為梯形ABED，CE的長為8米.(1)已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大壩背水坡面DE的坡度.解：(1)如圖，分別過點A，D作BC的垂線，垂足分別為F，G.在Rt△ABF中，AB＝16米，∠B＝60°，∴AF＝16×sin60°＝8eq\r(3)（米），∴DG＝米.又∵CE＝8米，∴S△DCE＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)＝32eq\r(3)（平方米）.∴需要填土石方32eq\r(3)×150＝4800eq\r(3)(立方米).(2)在Rt△DGC中，CG＝eq\r(DC2－DG2)＝eq\r(（16\r(3)）2－（8\r(3)）2)＝24（米），∴GE＝24+8＝32（米）.在Rt△DGE中，tan∠DEG＝eq\f(DG,GE)＝eq\f(8\r(3),32)＝eq\f(\r(3),4)＝i.課堂練習(xí)1.如圖，某鐵路路基的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，已知路基高AE為5m，左側(cè)坡面AB長10m，則左側(cè)坡面AB的坡度為()A.1∶2B.1∶eq\f(1,2)C.1∶eq\r(3)D.1∶eq\f(\r(3),3)2.如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為5米，那么這兩棵樹在坡面上的距離AB為()A.5cosα米B.米C.5sinα米D.米3某公園有一滑梯，橫截面如圖所示，AB表示樓梯，BC表示平臺，CD表示滑道.若點E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝eq\f(2,3)，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米.求：(1)∠D的度數(shù)；(2)線段AD的長.4.水庫大壩的橫斷面是四邊形ABCD，BC∥AD，壩頂寬為6m，壩高為23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5.求：(1)斜坡CD的坡角α的值(精確到1°)；(2)壩底寬AD與斜坡AB的值(精確到0.1m).參考答案1.C2.B3.解：(1)∵四邊形BCEF是矩形，∴∠BFE＝∠CEF＝90°，∴∠BFA＝∠CED＝90°，CE＝BF＝3米.∵CD＝6米，∴sin∠CDE＝eq\f(1,2)，∴∠D＝30°.(2)∵sin∠BAF＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(2,3).∵BF＝3米，∴AB＝eq\f(9,2)米，∴AF＝＝eq\f(3\r(5),2)（米）.∵CD＝6米，∠CED＝90°，∠D＝30°，∴cos30°＝eq\f(DE,CD)，∴DE＝3eq\r(3)米，∴AD＝AF＋FE＋ED＝米.4.解：（1）斜坡CD的坡度i′＝tanα＝1∶2.5＝0.4，由計算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α的值為22°.（2）如圖，分別過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn).由題意可知BE＝CF＝23m，EF＝BC＝6m.在Rt△ABE中，∵i＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69（m），AB＝≈72.7（m）.在Rt△CFD中，∵i′＝，∴FD＝0.25CF＝0.25×23＝5.75（m）.∴AD＝69+6+5.75≈80.8（m）.課堂小結(jié)一、坡度