專題5.2二次函數(shù)的幾何變換（壓軸題專項(xiàng)講練）（蘇科版）

專題5.2二次函數(shù)的幾何變換【典例1】已知拋物線C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）（1）當(dāng)a＝1時(shí)，①拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，則拋物線C2的解析式為．（2）無論a為何值，直線y＝m與拋物線C1相交所得的線段EF（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)）的長(zhǎng)度都不變，求m的值和EF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，將拋物線C1沿直線y＝m翻折，得到拋物線C3，拋物線C1，C3的頂點(diǎn)分別記為P，Q，是否存在實(shí)數(shù)a，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出a的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）①由題意可得拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可求解；②設(shè)拋物線C2上任意一點(diǎn)（x，y），則點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（x，﹣y），將點(diǎn)（x，﹣y）代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解；（2）由拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（2，﹣3），可得當(dāng)m＝﹣3時(shí)，EF的長(zhǎng)度不變；（3）設(shè)拋物線拋物線C3上任意一點(diǎn)（x，y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于y＝﹣3的對(duì)稱點(diǎn)為（x，﹣6﹣y），將點(diǎn)（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可求拋物線C3的解析式為y＝﹣ax2+2ax﹣3，分別求出Q（1，a﹣3），P（1，﹣a﹣3），再由EF⊥PQ，EP＝PF，可得EF＝2＝PQ，求出a的值即可．【解題過程】解：（1）①∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），故答案為：（1，﹣4）；②設(shè)拋物線C2上任意一點(diǎn)（x，y），則點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，∴拋物線C2的解析式為y＝﹣x2+2x+3，故答案為：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，∴拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（2，﹣3），∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，EF的長(zhǎng)度不變，當(dāng)y＝﹣3時(shí)，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，解得x＝0或x＝2，∴E（0，﹣3），F(xiàn)（2，﹣3），∴EF＝2；（3）存在實(shí)數(shù)a，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：設(shè)拋物線拋物線C3上任意一點(diǎn)（x，y），∴點(diǎn)（x，y）關(guān)于y＝﹣3的對(duì)稱點(diǎn)為（x，﹣6﹣y），∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，∴拋物線C3的解析式為y＝﹣ax2+2ax﹣3，∴Q（1，a﹣3），∵y＝ax2﹣2ax﹣3，∴P（1，﹣a﹣3），∵EF⊥PQ，∴EF與PQ為正方形的對(duì)角線，∵E、F關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴EP＝PF，∴EF＝2＝PQ，∴2＝|2a|，∴a＝±1．1．（2021秋?武昌區(qū)校級(jí)期末）將拋物線y＝x2向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位得到解析式y(tǒng)＝x2﹣4x+2，則a、b的值是（）A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解題過程】解：將拋物線y＝x2向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，∴2a＝4，a2+b＝2．∴a＝2，b＝﹣2．故選：C．2．（2022?嶗山區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸方程為x＝﹣1，圖象與x軸相交于點(diǎn)（1，0），則方程cx2+bx+a＝0的根為（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2=?13 D．x1＝﹣1，x【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）且對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），從得出答案．【解題過程】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），且對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（1x）+c（1x）設(shè)1x=t，可得ct2+bt+∴t1＝1，t2=?1由上可得，方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根為x1＝1，x2=?1故選：C．3．（2022?萊蕪區(qū)一模）將拋物線y＝﹣（x+1）2的圖象位于直線y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如圖所示的圖象，若直線y＝x+m與圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜54 C．﹣1＜m＜54【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：①直線經(jīng)過點(diǎn)A（即左邊的對(duì)折點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；②若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式Δ＝0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．【解題過程】解：令y＝﹣4，則﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．①當(dāng)直線位于l1時(shí)，此時(shí)l1過點(diǎn)A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②當(dāng)直線位于l2時(shí)，此時(shí)l2與函數(shù)y＝﹣（x+1）2的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m=5由①②知若直線y＝﹣x+m與新圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，m的取值范圍為﹣1＜m＜5故選：C．4．（2022?福州模擬）將拋物線y＝x2沿直線y＝3x方向移動(dòng)10個(gè)單位長(zhǎng)度，若移動(dòng)后拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，則移動(dòng)后拋物線的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【思路點(diǎn)撥】設(shè)移動(dòng)后的拋物線解析式為y＝（x﹣h）2+k，再根據(jù)移動(dòng)的距離和勾股定理列出方程可得答案．【解題過程】解：設(shè)移動(dòng)后的拋物線解析式為y＝（x﹣h）2+k，∵移動(dòng)距離是10，移動(dòng)后拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，∴k＝3h，∴h2+（3h）2＝（10）2，解得h＝1，k＝3h＝3，∴移動(dòng)后的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+3，故答案為：y＝（x﹣1）2+3．5．（2021秋?余姚市期末）平移二次函數(shù)的圖象，如果有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的函數(shù)圖象上，又在平移后的函數(shù)圖象上，我們把這個(gè)點(diǎn)叫做“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．現(xiàn)將二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）的圖象向右平移得到新的拋物線，若“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為（1，2），則新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣3）2﹣2．【思路點(diǎn)撥】將（1，2）代入y＝x2+2x+c，解得c＝﹣1，設(shè)將拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m個(gè)單位，則平移后的拋物線解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，然后將（1，2）代入得到關(guān)于m的方程，通過解方程求得m的值即可．【解題過程】解：將（1，2）代入y＝x2+2x+c，得12+2×1+c＝2，解得c＝﹣1．設(shè)將拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m個(gè)單位，則平移后的拋物線解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，將（1，2）代入，得（1+1﹣m）2﹣2＝2．整理，得2﹣m＝±2．解得m1＝0（舍去），m2＝4．故新拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣3）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣2．6．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y＝﹣x2+6的部分圖象與其關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱圖形組成．點(diǎn)A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B是其對(duì)稱點(diǎn)．若AB=42，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，2）或（1，5）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱性，表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，代入求值即可．【解題過程】解：因?yàn)锳、B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以設(shè)A（a，b），則B（b，a），∵AB=(∴42（42）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，32＝2（b﹣a）2，（b﹣a）2＝16，b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），∴b＝a+4，又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，∴b＝﹣a2+6，即a+4＝﹣a2+6，整理得，a2+a﹣2＝0，解得，a1＝﹣2，a2＝1，∴當(dāng)a1＝﹣2時(shí)，b＝a+4＝﹣2+4＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，2）；當(dāng)a2＝1時(shí)，b＝a+4＝1+4＝5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，5）．故答案為：（﹣2，2）或（1，5）．7．（2022?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點(diǎn)始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）由對(duì)稱軸?b2=1，求出b的值，再將點(diǎn)（3，0）代入y＝x2+bx（2）由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合函數(shù)圖像可知當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y有最大值21；（3）設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，設(shè)平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h?16）2【解題過程】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴?b∴b＝﹣2，∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y有最大值21；（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，其頂點(diǎn)始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，∴．設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，設(shè)平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h?16）2∴當(dāng)h=16時(shí)，平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為8．（2021?渭南模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)M（0，﹣8），與x軸交于A、B（4，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若將該拋物線的圖象沿著x軸向左平移4個(gè)單位，新拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與x軸交于A1，B1兩點(diǎn)（點(diǎn)B1在A1的左邊）若點(diǎn)Q是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q，D，A1構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】（1）由頂點(diǎn)和B的坐標(biāo)利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可得出答案；（2）先求出平移后的圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出A1的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解題過程】解：（1）∵該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（0，﹣8），∴可設(shè)y＝ax2﹣8，代入B（4，0），得0＝16a﹣8，解得a=1∴y=1（2）將該拋物線的圖象沿著x軸向左平移4個(gè)單位后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣4，﹣8），由（1）知A（﹣4，0），∴A1（﹣8，0），∴A1設(shè)Q（0，m），則A1Q=8若A1D＝QD，則45=42+(m+8此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣16）或（0，0），若A1D＝A1Q，則45=82+此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4），若QD＝A1D，則82+m此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（0，﹣16）或（0，0）或（0，﹣4）或（0，4）或（0，﹣1）．9．（2021秋?梅河口市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+2x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，把該拋物線在x軸及其下方的部分記作C1，將C1繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到C2，C2與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求拋物線C2的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）將C2繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到C3，連結(jié)C1與C3的最低點(diǎn)，則陰影部分圖形的面積為4．【思路點(diǎn)撥】（1）利用配方法求得拋物線y＝x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中心對(duì)稱的性質(zhì)解答即可；（2）過點(diǎn)G作GH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FK⊥BD于點(diǎn)K，過點(diǎn)E作EM⊥OB于點(diǎn)M，由于旋轉(zhuǎn)不變性可知：拋物線C2的x軸上方部分與矩形GHKG的兩個(gè)空白部分的面積，由面積割補(bǔ)法可得：S陰影部分＝S矩形GHKF，計(jì)算矩形的面積即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）設(shè)拋物線y＝x2+2x的頂點(diǎn)為G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1）．∵將C1繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到C2，∴點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴E（1，1）．（2）設(shè)C3的最低點(diǎn)為F，令y＝0，則x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．由題意：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴B（2，0）．∵將C2繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到C3，∴點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴F（3，﹣1）．過點(diǎn)G作GH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FK⊥BD于點(diǎn)K，過點(diǎn)E作EM⊥OB于點(diǎn)M，如圖，∵G（﹣1，﹣1），F(xiàn)（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1．∵GH⊥OA，F(xiàn)K⊥BD，∴四邊形GHKF為矩形．∵G（﹣1，﹣1），F(xiàn)（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4．根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可得：S陰影部分＝S矩形GHKF．∴S陰影部分＝HK?HG＝4×1＝4．故答案為：4．10．（2021秋?西崗區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，當(dāng)x＝0和（1）則二次函數(shù)的解析式為：y=?12x2+x+（2）若一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，m），求m和k的值；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B、C間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)C）向左平移n（n＞0）個(gè)單位后得到的圖象記為G，同時(shí)將（2）中得到的直線y＝kx+6向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，再由對(duì)稱軸的解析式即可求a的值；（2）先將點(diǎn)A代入拋物線解析式求出m的值，再將確定的A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求k的值即可；（3）求出平移后的A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線經(jīng)過A、B點(diǎn)時(shí)n的值，此時(shí)是直線與圖象G有交點(diǎn)的臨界值，由此可確定n的取值范圍．【解題過程】解：（1）∵二次函數(shù)y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，當(dāng)x＝0和∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴?2(a+2)∴a=?3∴y=?12x2+x故答案為：y=?12x2+x（2）∵點(diǎn)A（﹣3，m）在函數(shù)圖象y=?12x2+x∴m=?12×∴A（﹣3，﹣6），將A（﹣3，﹣6）代入y＝kx+6，∴﹣6＝﹣3k+6，∴k＝4；（3）∵令y＝0，則?12x2+x∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），由題意可知平移后A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1﹣n，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣n，0），直線y＝4x+6向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y＝4x+6+n，平移后直線與x軸的交點(diǎn)為（?6+n當(dāng)直線y＝4x+6+n經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，?6+n4=?解得n=2當(dāng)直線y＝4x+6+n經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，?6+n4=解得n＝6；∴當(dāng)23≤n≤6時(shí)，直線y＝4x+6+n與圖象11．（2022?西峽縣一模）如圖，直線y＝﹣2x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝ax2+4x+2a+1經(jīng)過點(diǎn)（1，8），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（B在A的左側(cè)），過點(diǎn)B作BC垂直x軸交直線于C．（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F．將拋物線y＝ax2+4x+2a+1沿x軸向右平移使它過點(diǎn)F，求平移后所得拋物線的解析式．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求得a值，令y＝0，解一元二次方程即可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（2）利用旋轉(zhuǎn)不變性，求得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論．【解題過程】解：（1）令y＝0，則﹣2x﹣4＝0．解得：x＝﹣2．∴A（﹣2，0）．∵拋物線y＝ax2+4x+2a+1經(jīng)過點(diǎn)（1，8），∴a+4+2a+1＝8．∴a＝1．∴拋物線的解析式為y＝x2+4x+3．令y＝0，則x2+4x+3＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∵B在A的左側(cè)，∴B（﹣3，0）．（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2，∴C（﹣3，2）．∵A（﹣2，0），B（﹣3，0），∴AB＝1．∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，∴AE＝AB＝1，EF＝BC＝2．∴E（﹣2，1），F(xiàn)（0，1）．∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴設(shè)沿x軸向右平移過點(diǎn)F的拋物線的解析式為y＝（x+2﹣m）2﹣1，∴（2﹣m）2﹣1＝1．∴m＝2±2．∴平移后所得拋物線的解析式為y=(x?2)2?即y＝x2﹣22x+1或y＝x2+22x+1．12．（2021?永城市二模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣3），且OA＝3OC．點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．（1）若PQ＝5，求拋物線的解析式以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P沿拋物線向上移動(dòng)，使得對(duì)應(yīng)的9≤PQ≤10，求移動(dòng)過程中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知條件求出點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；設(shè)點(diǎn)P（x1，n），Q（x2，n），利用點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，PQ＝5，得到x2﹣x1＝5，利用拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，得到x1+x22=1，聯(lián)立即可求得（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，yP），Q（x2，yP），利用點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，得到PQ＝x2﹣x1，利用拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，得到x1+x22=1，則x2＝2﹣x1，可得PQ＝2﹣2【解題過程】解：（1）∵A（0，﹣3），∴OA＝3．∵OA＝3OC，∴OC＝1．∴C（﹣1，0）．∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣3），∴c=?31?b+c=0解得：b=?2c=?3∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．∵PQ∥x軸，∴設(shè)點(diǎn)P（x1，n），Q（x2，n），∵點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，PQ＝5，∴x2﹣x1＝5．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．∴x1∴x2解得：x1當(dāng)x=72時(shí)，n=(72)∴Q（72，9（2）∵PQ∥x軸，∴設(shè)點(diǎn)P（x1，yP），Q（x2，yP），∵點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，∴PQ＝x2﹣x1．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．∴x1∴x2＝2﹣x1．∴PQ＝2﹣2x1．∵9≤PQ≤10，∴9≤2﹣2x1≤10．解得：﹣4≤x1≤?7當(dāng)x1＝﹣4時(shí)，yP＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣3＝21，當(dāng)x1=?72時(shí)，yP=(?72)∴移動(dòng)過程中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp的取值范圍為：654≤y13．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P為直線AC上方且拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，求PD+PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）把拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移32個(gè)單位，再向上平移516個(gè)單位得新拋物線，在新拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，在新拋物線上找一點(diǎn)N，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)【思路點(diǎn)撥】（1）先設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式為y＝a（x+4）（x﹣1），然后將點(diǎn)C代入函數(shù)解析式求得a的值，即可得到函數(shù)的解析式；（2）先求得直線AC的解析式，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到點(diǎn)D和點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而得到PD和PH的長(zhǎng)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得PD+PH的最大值，即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求得平移后的拋物線解析式，然后得到新的對(duì)稱軸，設(shè)M和N的坐標(biāo)，進(jìn)而利用平行四邊形的中心對(duì)稱性分情況列出方程，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解題過程】解：（1）由題意可設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式為y＝a（x+4）（x﹣1），將點(diǎn)C（0，3）代入函數(shù)解析式，得﹣4a＝3，∴a=?3∴二次函數(shù)的解析式為y=?34（x+4）（x﹣1）=?34x（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則?4k+b=0b=3，解得：k=∴直線AC的解析式為y=34設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，?34x2?94x+3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3﹣x，?34x2?94x∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH=?34x2?94x+3﹣（34x+3）=?∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（?34x2﹣3x）=?34x2﹣5x﹣3=?34（∴當(dāng)x=?103時(shí)，PD+PH有最大值此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?103，（3）∵拋物線向右平移32個(gè)單位，再向上平移5∴平移后的拋物線解析式為y=?34（x?32）2?94（x∴新的對(duì)稱軸為直線x＝0，設(shè)M（0，y），N（m，?34m以AC為對(duì)角線時(shí)，m=?4y+(?34∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，10）；以AM為對(duì)角線時(shí)，m=?4y=3+(?34∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣4）；以AN為對(duì)角線時(shí)，m?4=0y+3=?34∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣10）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，10）或（0，﹣4）或（0，﹣10）．14．（2022?德城區(qū)一模）已知：拋物線C1：y1＝﹣x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，將C1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)N．（1）求C2的解析式；（2）求證：無論x取何值恒y1≤y2；（3）當(dāng)﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c時(shí)，求m和n的值．（4）直線l：y＝kx﹣2經(jīng)過點(diǎn)N，D是拋物線C2上第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)D的橫坐標(biāo)為q，作直線AD交拋物線C1于點(diǎn)M，交直線l于點(diǎn)E，若DM＝2ED，求q值．【思路點(diǎn)撥】（1）先求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，以及C的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求得點(diǎn)N的坐標(biāo)和C2頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可：（2）作差法證明即可；（3）設(shè)y＝mx+n，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，y，y1，y2關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)圖象可知，y＝mx+n經(jīng)過A點(diǎn)，且與y1，y2相切于點(diǎn)A，即y1，y2有唯一交點(diǎn)A，據(jù)此代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，聯(lián)立y，y1或（y，y2）根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；（4）先求得直線l的解析式為：y＝﹣2x﹣2，直線AD的解析式為：y＝（q+1）x﹣（q+1），進(jìn)而可表達(dá)點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)y1，y2關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，可得AD＝AM，由DM＝2ED，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【解題過程】（1）解：∵拋物線C1：y1＝﹣x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴令y1＝0，即x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∵y1＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，設(shè)C1的頂點(diǎn)為P，∴P（2，1）．將C1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)N，則N（﹣1，0）．設(shè)C2的頂點(diǎn)為P′，∴P′（0，﹣1）．∴C2的解析式為y2＝ax2﹣1，將N（﹣1，0）代入得a＝1，∴y2＝x2﹣1；（2）證明：∵y1＝﹣x2+4x﹣3，y2＝x2﹣1，∴y1﹣y2＝﹣x2+4x﹣3﹣（x2﹣1）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2≤0，∴無論x取何值恒y1≤y2；（3）解：設(shè)y＝mx+n，當(dāng)﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c時(shí)，即y1≤y≤y2，∴y＝mx+n過點(diǎn)A（1，0），則m+n＝0，∴n＝﹣m，令mx﹣m＝x2﹣1，得x2﹣mx+m﹣1＝0，∴Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2＝0，解得m＝2，∴n＝﹣2．（4）∵直線l：y＝kx﹣2經(jīng)過點(diǎn)N，D，將N（﹣1，0）代入y＝kx﹣2，∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2．∴l(xiāng)：y＝﹣2x﹣2．∵D是拋物線C2上第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)D的橫坐標(biāo)為q，∴D（q，q2﹣1）且q＜0，設(shè)直線AD為y＝k1x+b，∵A（1，0），∴k1+b=0q∴直線AD的解析式為：y＝（q+1）x﹣q﹣1，令﹣2x﹣2＝（q+1）x﹣q﹣1，解得x=q?1∴E（q?1q+3，?4q?4∵y1，y2關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，∴AD＝AM=12∵DM＝2ED，∴AD＝ED，即點(diǎn)D為AE的中點(diǎn)，∵A（1，0），D（q，q2﹣1），E（q?1q+3，?4q?4∴q?1q+3解得q＝﹣1+2（舍）或q＝﹣1?2或∴q＝﹣1?215．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣6），頂點(diǎn)為D（﹣2，2）．（1）求拋物線W1的表達(dá)式；（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點(diǎn)為D′，在拋物線W2上是否存在點(diǎn)M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；（2）由題意求得拋物線W2的頂點(diǎn)坐標(biāo)和解析式，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，利用S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′求出三角形DD′A的面積；過點(diǎn)D′作x軸的平行線EF，過點(diǎn)D作DE⊥EF于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MF⊥EF于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，利用D，D′的坐標(biāo)表示出線段DG，OG，DE，D′E的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)M（m，2m2﹣8m+6），則MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m，MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2，利用S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DED′﹣S△MD′F，用m的代數(shù)式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結(jié)論．【解題過程】解：（1）設(shè)拋物線W1的解析式為：y＝ax2+bx+c，拋物線W1經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣6），頂點(diǎn)坐標(biāo)D（﹣2，2），∴c=?6?解得：a=?2b=?8∴拋物線W1的表達(dá)式為：y＝﹣2x2﹣8x﹣6；（2）在拋物線W2上存在點(diǎn)M，使S△DAD′＝S△DD′M．理由：∵將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點(diǎn)為D′，∴D′（2，﹣2）．∴拋物線W2的解析式為y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6．如圖，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，由題意得：DD′經(jīng)過點(diǎn)O，則S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′．過點(diǎn)D′作x軸的平行線EF，過點(diǎn)D作DE⊥EF于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MF⊥EF于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，∵D（﹣2，2），D′（2，﹣2），∴DG＝OG＝2，DE＝4，D′E＝4，F(xiàn)H＝2．令y＝0，則﹣2x2﹣8x﹣6＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）．∴OA＝3．∴S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′=12×設(shè)點(diǎn)M（m，2m2﹣8m+6），則MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m．∴MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2．∵S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DD′E﹣S△MD′F，∴S△DD′M=12（DE+MF）?EF?12DE?D′E?1=12（4+2m2﹣8m+8）（m+2）?12×4×4?12（2＝4m2﹣14m+12．∵S△DD′M＝S△DD′A，∴4m2﹣14m+12＝6．解得：m＝3或12當(dāng)m＝3時(shí)，2m2﹣8m+6＝0，當(dāng)m=12時(shí)，2m2﹣8m+6∴M（3，0）或（12，5∴在拋物線W2上存在點(diǎn)M，使S△D′AD＝S△D′DM.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（12，516．（2022?吳興區(qū)一模）如圖已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣1），點(diǎn)C（0，﹣4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象于點(diǎn)B，連接BC．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)：（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）若E為y軸上且位于點(diǎn)C下方的一點(diǎn)，P為直線AC上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A（3，﹣1），點(diǎn)C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)（1，m﹣5），再求出直線AC的解析式y(tǒng)＝x﹣4，當(dāng)頂點(diǎn)在直線AC上時(shí)，m＝2，當(dāng)M點(diǎn)在AB上時(shí)，m＝4，則2＜m＜4；（3）設(shè)E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），分三種情況討論：當(dāng)CE為菱形對(duì)角線時(shí)，CP＝CQ，p=?qt=q2?3q?42q2=q2+q2(q?2)2，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，CE＝CQ，【解題過程】解：（1）將點(diǎn)A（3，﹣1），點(diǎn)C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，∴c=?49+3b+c=?1解得b=?2c=?4∴y＝x2﹣2x﹣4，∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，∴頂點(diǎn)M（1，﹣5）；（2）由題可得平移后的函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）2﹣5+m，∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，m﹣5），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴b=?43k+b=?1解得k=1b=?4∴y＝x﹣4，當(dāng)頂點(diǎn)在直線AC上時(shí)，m﹣5＝﹣3，∴m＝2，∵AB∥x軸，∴B（﹣1，﹣1），當(dāng)M點(diǎn)在AB上時(shí)，m﹣5＝﹣1，∴m＝4，∴2＜m＜4；（3）存在一點(diǎn)Q，使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：設(shè)E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），∵點(diǎn)E在點(diǎn)C下方，∴t＜﹣4，∵Q點(diǎn)在第四象限，∴0＜q＜5①當(dāng)CE為菱形對(duì)角線時(shí)，CP＝CQ，∴p=?qt=解得q=3p=?3t=?4（舍）或∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，CE＝CQ，∴p=qp?8=t+解得q=2p=2∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；③當(dāng)CQ為菱形對(duì)角線時(shí)，CE＝CP，∴p=qq解得p=3+2q=3+2∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為3?2綜上所述：Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為1或2或3?217．（2022?湖口縣二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點(diǎn)Q為“瀟灑點(diǎn)”，如點(diǎn)（1，﹣1），（﹣5，5）都是“瀟灑點(diǎn)”．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)“瀟灑點(diǎn)”（2，﹣2）．（1）小敏認(rèn)為所有的瀟灑點(diǎn)都在同一條直線l上，請(qǐng)直接寫出直線l的解析式．（2）求a，b的值，及二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）將y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線l2，若l2上有兩個(gè)“瀟灑點(diǎn)”分別是M（x1，y1），N（x2，y2），且MN＝22，求當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，l2中y的最大值和最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用待定系數(shù)法和一元二次方程根的判別式解答即可求得a，b的值，利用配方法即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用拋物線平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法以及兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得m值，進(jìn)而求M，N坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得結(jié)論．【解題過程】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+n，將（1，﹣1），（﹣5，5）代入得：k+n=?1?5k+n=5解得：k=?1n=0∴直線l的解析式為y＝﹣x；（2）∵（2，﹣2）點(diǎn)在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，∴4a+2b﹣4＝﹣2，∴2a+b＝1．∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)“瀟灑點(diǎn)”（2，﹣2），∴方程組y=ax即方程ax2+bx﹣4＝﹣x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝0．∴2a+b=1(b+1解得：a=?1b=3∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+3x﹣4．∵y＝﹣x2+3x﹣4=?(x?3∴二次函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（32，?（3）將拋物線上移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線l2的解析式為y＝﹣x2+3x﹣4+m，∵l2上有兩個(gè)“瀟灑點(diǎn)”分別是M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1，x2是方程﹣x2+3x﹣4+m＝﹣x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x2﹣4x+4﹣m＝0．∴x1+x2＝4，x1?x2＝4﹣m．∵M(jìn)（x1，y1），N（x2，y2）是兩個(gè)“瀟灑點(diǎn)”，∴y1＝﹣x1，y2＝﹣x2．∵M(jìn)N＝22，∴(x1?∴2(x1?∴2[(x1+∴42﹣4（4﹣m）＝4．解得：m＝1．∴x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或3，∴M（1，﹣1），N（3，﹣3）．∴1≤x≤3．∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x﹣3．∵y＝﹣x2+3x﹣3=?(x?3∴當(dāng)x=32時(shí)，y有最大值為∵1＜3∴l(xiāng)2中y的最大值為?3當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣3，綜上，當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，l2中y的最大值為?318．（2022?如東縣一模）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)P中心對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)P（m，3）互為“伴隨函數(shù)”．若當(dāng)m＜x＜7時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合新定義利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合圖象，利用新定義的規(guī)定解得即可；（3）利用分類討論的方法分三種情況解答：①當(dāng)“伴隨函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時(shí)，求得函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；②當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時(shí)，利用兩函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當(dāng)“伴隨函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，將坐標(biāo)代入函數(shù)N的解析式即可確定a的取值范圍．【解題過程】解：（1）∵兩個(gè)函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”，∴兩個(gè)函數(shù)的點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，設(shè)函數(shù)y＝x+1上的任一點(diǎn)為（x，y），則它的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣x，﹣y），將（﹣x，﹣y）代入函數(shù)y＝x+1得：﹣y＝﹣x+1，∴y＝x﹣1．函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1；同理可得，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）如圖，當(dāng)m＜x＜7時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，∵“伴隨函數(shù)”的開口方向向下，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨自變量x的增大而增大，∴m＜7，同時(shí)“伴隨函數(shù)”的對(duì)稱軸應(yīng)與直線x＝7重合或在直線x＝7的左側(cè)，∴m≥1+7∴m≥4，綜上，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，m的取值范圍為4≤m＜7；（3）a的取值范圍為a=14或a=36①當(dāng)“伴隨函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵點(diǎn)C（2，0）為對(duì)稱中心，∴函數(shù)N的對(duì)稱軸為直線x＝3，∴函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），∵（3，1）關(guān)于點(diǎn)C（2，0）對(duì)稱的點(diǎn)為（1，﹣1），∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a=1②當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）和（3，0），∵點(diǎn)C（2，0）為對(duì)稱中心，∴函數(shù)N與x軸的交點(diǎn)為（5，0）和（1，0），∴函數(shù)N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，當(dāng)y＝1時(shí)，ax解得：a=3③當(dāng)“伴隨函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖，∵點(diǎn)B（4，1），∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a=1綜上，圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍為a=14或a=3619．（2021秋?越秀區(qū)期末）已知拋物線y=?12x2+mx+m+12與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)P為拋物線在直線AC上方圖象上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求△PAC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線y=?12x2+mx+m+12在點(diǎn)A、B之間的部分（含點(diǎn)A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個(gè)交點(diǎn)，求圖象【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=?12x?52，如圖1，設(shè)P（t，?12t2﹣3t?52），過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AC于點(diǎn)H，則PH=?12t2?52t，利用S△PAC＝S△PAH（3）運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)可得圖象G的函數(shù)解析式為：y=12（x+3）2﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），進(jìn)而根據(jù)平移規(guī)律可得：圖象M的函數(shù)解析式為：y=12（x﹣n）2?12n?72，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，?12n?72），當(dāng)圖象M經(jīng)過點(diǎn)C（0，?52）時(shí)，可求得：n＝﹣1或n＝2，當(dāng)圖象M的端點(diǎn)B在PC上時(shí)，可求得：n【解題過程】解：（1）∵拋物線y=?12x2+mx+m+12與y軸交于點(diǎn)∴m+1解得：m＝﹣3，∴該拋物線的解析式為：y=?12x2