第1章勾股定理單元復(fù)習(xí)提升（易錯與拓展）

第1章勾股定理單元復(fù)習(xí)提升（易錯與拓展）易錯點01勾股數(shù)【指點迷津】勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)．典例1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41【答案】D【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解析】A.不是勾股數(shù)，因為0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不符合題意；B.不是勾股數(shù)，因為不是正整數(shù)，不符合題意；C.不是勾股數(shù)，因為，不是正整數(shù)，不符合題意；D.是勾股數(shù)，9，40，41都是正整數(shù)，且，符合題意；故選D．【點睛】本題考查勾股數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的特點：三個數(shù)均為正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方．跟蹤訓(xùn)練1．下列各式中，屬于勾股數(shù)的一組是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股數(shù)的定義逐項分析即可解答．【解析】解：A、∵都不是正整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，滿足的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2．觀察下列幾組勾股數(shù)，①，，；②，，；③，，；④，，；并尋找規(guī)律，請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第組勾股數(shù)是．【答案】11，60，61，，【分析】根據(jù)所給的幾組勾股數(shù)可找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可求出第五組勾股數(shù)．【解析】解：①，，，②，，，③，，，，第組勾股數(shù)為：，，，第⑤組勾股數(shù)為，，，即11，60，61．故答案為：11，60，61；，，．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可解答．易錯點02用勾股定理理解三角形分類討論【指點迷津】用勾股定理解直角三角形時，先確定直角三角形，再確認(rèn)直角邊與斜邊，通過勾股定理a2+b2=c2解另一個直角邊或斜邊，也就是“知二求一”，注意分類討論．典例2．已知，直角三角形的兩邊分別為3和5，則第三邊的長為（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【分析】分5為直角邊和斜邊兩種情況進行討論求解即可．【解析】解：∵直角三角形的兩邊分別為3和5，，①當(dāng)5為直角邊時，第三邊為斜邊，由勾股定理，得：第三邊的長為；②當(dāng)5為斜邊時，第三邊為直角邊，由勾股定理，得：第三邊的長為；綜上：第三邊的長為4或；故選C．【點睛】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，注意分類討論．跟蹤訓(xùn)練1．已知三角形兩邊長為8和6，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（

）A．10 B． C．10或 D．10或24【答案】C【分析】分8為斜邊，6為直角邊和8和6都為直角邊兩種情況，結(jié)合勾股定理解答即可.【解析】解：若8為斜邊，6為直角邊，則第三邊為；若8和6都為直角邊，則斜邊為；故選：C.【點睛】本題考查了勾股定理，屬于常見題型，熟練掌握勾股定理、正確分類是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2．在中，已知兩邊長分別為1和3，則第三邊長為．【答案】或【分析】分兩種情況考慮：若3為直角邊，可得出1也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，即為第三邊；若3為斜邊，可得1和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．【解析】解：①若3為直角邊，可得1為直角邊，第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為；②若3為斜邊，1和第三邊都為直角邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為，則第三邊長為或.故答案為：或．【點睛】此題主要考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．易錯點03勾股定理的逆定理【指點迷津】①勾股定理的逆定理，由三角形的三邊滿足a2+b2=c2數(shù)量關(guān)系，得到三角形是直角三角形，如何構(gòu)建得到上述數(shù)量關(guān)系，方法有絕對值、平方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，等式變形，因式分解等等；②滿足（ka）2+（kb）2=（kc）2，也能得到三角形是直角三角形。典例3．若的三邊分別為，下列給出的條件不能使得構(gòu)成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，進行計算逐一判斷即可．【解析】解：A、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∴，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C符合題意；D、∵∴，∴能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．的三邊長a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．【解析】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．跟蹤訓(xùn)練2．若的三邊長a、b、c滿足，那么是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】先用完全平方公式進行因式分解求出a、b、c的值，再確定三角形的形狀即可．【解析】解：，移項得，，，，，，，，是直角三角形，故選：B．【點睛】本題考查了運用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過等式的變形，恰當(dāng)?shù)牟饠?shù)配成完全平方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求邊長．跟蹤訓(xùn)練3．下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．【解析】解：①∵，∴能成為直角三角形的三邊長；②∵，∴能成為直角三角形的三邊長；③，∴能成為直角三角形的三邊長；④∵，即，∴a，b，c不構(gòu)成三角形∴能構(gòu)成直角三角形的有3組，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．易錯點04網(wǎng)格問題【指點迷津】找出網(wǎng)格中滿足題意的直角三角形，用勾股定理解直角三角形典例4．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點A，B在格點上，且每個小正方形的邊長都是1，則線段的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】利用勾股定理即可計算．【解析】根據(jù)題意，利用勾股定理有，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的的知識，通過網(wǎng)格點找到合適的直角三角形并確定其邊長是解答本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖：網(wǎng)格中每個正方形邊長為1，表示長的線段是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出每條線段的長，再進行判斷即可．【解析】解：由勾股定理得，，，，表示應(yīng)為線段．故選：B．【點睛】本題考查在網(wǎng)格中表示無理數(shù)的長，掌握勾股定理求線段的長是解題關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點上，于點，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：如圖，

的面積，由勾股定理得，，則，解得，故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．如圖，在4×4的方格中，每個小正方形的邊長為1，若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，以A為圓心，為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點E，則點E所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出，即可得到，進而得到答案．【解析】解：∵，∴,∴點E所表示的數(shù)是，故選：C．【點睛】此題考查了網(wǎng)格與勾股定理，正確理解題意利用勾股定理求得是解題的關(guān)鍵．易錯點05勾股定理的應(yīng)用【指點迷津】立體圖形展開問題，注意化抽象為具體（可用實物圖展開方法等），其他實際應(yīng)用注意轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決（注意可以找多個直角三角形，多次使用勾股定理或逆定理）典例5．如圖，一圓柱高，底面周長是，為的中點，一只螞蟻從點沿圓柱外壁爬到點處吃食，要爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理解答．【解析】解：將圓柱沿點所在母線展開，連接，由兩點之間線段最短可知，最短路程是的長．∵底面圓周長為，∴底面半圓弧長為，∵，為的中點，∴根據(jù)勾股定理得：，故選：C．【點睛】此題考查的是平面展開最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，表示出各線段的長度，再利用勾股定理求解．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【答案】C【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫?，利用兩點間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：如圖，線段即為所需彩帶最短，由圖可知，，∴由勾股定理得，，

故選C．【點睛】本題考查兩點間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用．將曲面問題變?yōu)槠矫鎲栴}是解答本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，一根長的木條，斜靠在豎直的墻上，這時木條的底端距墻底端．如果將木條底端向左滑動，那么木條的頂端將向上滑動（

）

A． B．3cm C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出的長，進而求出的長即可得到答案．【解析】解：如圖，在中，，∴；在中，，∴，∴，故選：B．

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．如圖，在我軍某次海上演習(xí)中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口O同時出發(fā)，1號艦沿東偏南方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏西方向以節(jié)的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達A，B兩點，此時兩艦的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】D【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理計算求解．【解析】解：由題意可得：，∴，又∵（海里），（海里），在Rt中，（海里）∴此時兩艦的距離是海里．故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出是解題關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練4．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理得到方程，解方程即得答案.【解析】解：設(shè)，則，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即繩索的長是m；故選：A.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.拓展01勾股定理的證明拓展知識勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．典例1．勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具之一．下列圖形中可以證明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一個圖形的面積的不同表示方法進行驗證即可．【解析】解：①，，∴，整理得，故①滿足題意；④或，∴，∴，故④滿足題意；②沒有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長度，故②不符合題意；③無法證明直角三角三邊關(guān)系，故③不符合題意；故選：D【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，在四邊形中，，，點C是邊上一點，，．．下列結(jié)論；①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積可得出①②⑤正確．【解析】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；，，四邊形的面積是；故③錯誤；梯形的面積直角三角形的面積兩個直角三角形的面積，，，，故④錯誤，故⑤正確故①②⑤共3個正確，③④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．【解析】解：趙爽弦圖，是個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大正方形，直角三角形中較長的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長為，∴選項，是趙爽弦圖，符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查對趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【解析】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．拓展02勾股定理的折疊問題拓展知識一張直角三角形的紙片，如圖1所示折疊，使兩個銳角的頂點A、B重合，若∠B=30°，AC=，求DC的長。分析：圖11、標(biāo)已知，標(biāo)問題（邊長的問題一般有什么方法解決？），明確目標(biāo)在哪個直角三角形中，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x；圖12、利用折疊，找全等。（1）你能從中找到全等三角形嗎？（2）折疊后出現(xiàn)的相等的線段有哪些？（3）折疊后出現(xiàn)的相等的角有哪些？3、將已知邊和未知邊（用含x的代數(shù)式表示）轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。典例2．如圖，在中，，，，為的平分線，將沿向上翻折得到，使點在射線上，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得，進而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，可得，設(shè)，表示出，進而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解析】解：∵在中，，，，∴，∵將沿向上翻折得到，使點在射線上，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得：即的長為，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，在，，，沿過點A的直線折疊，使點B落在邊上的點D處，再次折疊，使點C與點D重合，折痕交于點E，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，，，可得，繼而設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點D處，∴，，∵折疊紙片，使點C與點D重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，即，故選：B【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，在中，，將沿著折疊以后點正好落在邊上的點處．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)，時，①求線段的長；②求線段的長．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）在中，利用互余得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，然后根據(jù)互余可計算出；（2）①在中，利用勾股定理即可得到的長；②設(shè)，則，依據(jù)勾股定理可得，中，再解方程即可得到的長．【解析】（1）解：在中，，，，沿著折疊以后點正好落在點處，，中，．（2）①在中，，，．②沿著折疊以后點正好落在點處，，，，設(shè)，則，中，，，解得．即的長為3．【點睛】本題考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，解題時常設(shè)要求的線段長為，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．一、單選題1．木工師傅想利用木條制作一個直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】解：A、∵32+42=52，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；B、∵62+82=102，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；C、∵52+122=132，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；D、∵72+152≠172，∴不能夠成直角三角形，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．理解判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個角是直角【答案】A【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得出答案．【解析】解：∵在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，∴．∴b、c是兩直角邊，a是斜邊，∴．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．3．下列四組線段中，不能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C． D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要判斷兩個較小的數(shù)的平方和是否等于最長邊的平方即可．【解析】A、∵，，，∴，，，不能滿足，∴A不能組成直角三角形.B、92+402=412，故能構(gòu)成直角三角形；C、設(shè)a=k，b=k，c=，∵k2+k2=，∴a2+b2=c2，故能構(gòu)成直角三角形；D、（）2+62=（）2，故能構(gòu)成直角三角形．故選A．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．4．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的長，最后根據(jù)AM=AC，可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=，∴AM=AC=，∴點M表示的數(shù)是，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸等知識，利用勾股定理求出AC的長是解題的關(guān)鍵．5．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為

A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.6．下列說法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，則△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，則a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C=90°；（4）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為．其中說法正確的有（）．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】在（1）（2）（3）中分別利用勾股定理及逆定理判斷，在（4）中，先利用勾股定理求出斜邊的長度，再利用直角三角形的面積公式（a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高）求出高即可．【解析】解：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，則也為直角三角形，故錯誤；（2）若是直角三角形，，利用勾股定理則a2+b2=c2，符合勾股定理，故正確；（3）在中，若a2+b2=c2，則，符合勾股定理的逆定理，故正確；（4）首先根據(jù)勾股定理計算其斜邊是，則斜邊上的高為，故正確．綜上所述，（2）（3）（4）正確．故選B．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，以及直角三角形面積求解公式，能夠熟練運用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長，由AB的長度可求出BE的長度．【解析】解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵將△ABC折疊，使點B與點A重合，故E為AB的中點，∴AE=BE=5，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積之和為7，2號、3號兩個正方形的面積之和為4，則a、b、c三個正方形的面積之和為（

）A．11 B．15 C．10 D．22【答案】B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：a的面積等于1號的面積加上2號的面積，b的面積等于2號的面積加上3號的面積，c的面積等于3號的面積加上4號的面積，據(jù)此可以求出三個的面積之和.【解析】利用勾股定理可得：，，∴故選B【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.9．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出AC的長，再利用平移的知識即可得出地毯的長度．【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長度＝AC+BC＝7米，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點D在AC上，且，點E是AB上的動點，連接DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)時，線段DE的長為（）．A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接DF，AF，EF，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進而求出AE，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解析】解：連接DF，AF，EF，在中，，，，點G是DE的中點，點F是BC的中點，，，，，，，，是直角三角形，且，，，在和中，，，，，在中，，故選：B．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．12．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長為4+2，斜邊AB的長為2，則Rt△ABC的面積為．【答案】1.【分析】設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設(shè)AC=a，BC=b，由題意得，∴，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.13．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．【答案】1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對直角邊為斜邊的一半，可設(shè)BC=x，則AB=2x，再利用勾股定理求AC的長即可得解.【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設(shè)BC=x，則AB=2x，∴AC==x，則BC∶AC∶AB=1∶∶2.故答案為1∶∶2.【點睛】本題主要考查了30度所對直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.14．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長都為1，則△ABC是三角形．【答案】直角【解析】因為AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，所以AC2+AB2=BC2，所以△ABC是直角三角形．故答案為直角.15．已知三角形三邊長為正整數(shù)，則此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．如果沒有這種關(guān)系，這個三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，====，∴，∴此三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，有一個圓柱形杯子，底面周長為12cm，高為8cm，A點在內(nèi)壁距杯口2cm處，在A點正對面的外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲，小蟲要到A處飽餐一頓至少要走cm．（杯子厚度忽略不計）【答案】10【分析】先把圓柱展開，得到其一半的一個矩形的形狀，A、B的最短距離就是線段AB的長，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】試題解析：將圓柱的側(cè)面展開成平面，其形狀是一個矩形，如圖是展開圖的一半，將A點對稱到A′點，線段A′B的長就是所求的最短距離，在Rt△A′BE中，BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，則AB==10cm，答：小蟲要到A處飽餐一頓至少要走10cm．【點睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，將側(cè)面展開利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵．17．如圖，于點B，于點A，點E是中點，若，，，則的長是．

【答案】24【分析】延長交于F，證明得到，，然后利用勾股定理求解即可．【解析】解：延長交于F，

∵，，∴，∴，∵點E是中點，∴，又，∴，∴，，∵，，∴，，在中，，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．18．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個判斷：①②；③若，則；④若點A是線段的中點，則，其中正確的序號是

【答案】①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，由正方形面積公式，勾股定理逐項進行判斷即可．【解析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴，，．∴．∴．故①正確；∵，∴．∴．∴．故②正確；∵，，∴．即．∴．∴．故③正確；∵點A是線段的中點，∴．即．∴．∴．∴．故④不正確；故答案是①②③．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，用表示出相關(guān)線段的長度，從而解決問題．三、解答題19．如圖，在Rt中，，，，于．求：（1）斜邊的長；（2）高的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用勾股定理計算出的長即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算出的長即可．【解析】解：（1）在中，，，，；（2），，解得．故高的長為．【點睛】本題主要考查了勾股定理，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．20．如圖，四邊形中，，，，．則的度數(shù)是多少度？說明理由．【答案】．理由見解析．【分析】連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理逆定理求出即可求解．【解析】解：，理由如下：連接，，，在中，在中，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理逆定理，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)進行推理證明和計算．21．如圖，，，，，．

(1)求的長度；(2)求陰影部分面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由勾股定理即可解答．（2）先證為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式計算即可解答．【解析】（1）在中，，．（2）∵，，∴，∴，為直角三角形，．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖2中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為；（3）在圖3中，畫一個鈍角三角形，使它的面積為4．【答案】（1）見解析；（2）見解析（3）見解析【分析】（1）畫一個三邊分別為3,4,5的直角三角形即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點以及勾股定理，分別找到邊長分別為的線段，通過平移的方法將三條線段首位相連即可；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點畫一個底為2高為4的鈍角三角形即可；【解析】（1）如圖所示，，則即為所求三角形；（2）如圖所示，，則即為所求三角形；（3）如圖所示，則即為所求三角形；【點睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理，根據(jù)勾股定理找到符合題意的線段是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，，邊上的中線，延長至點，使，連接．

(1)求證：．(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由證明，即可得到答案；（2）由（1）可得，由勾股定理的逆定理可得，再用勾股定理進行計算即可得到答案．【解析】（1）證明：是邊上的中線，，在和中，，，；（2）解：由（1）得，，，，，．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，是解題的關(guān)鍵．24．如圖，，，，，把沿折疊，點折疊到點，的延長線與射線交于點．（1）求的長；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)得出，進而利用直角三角形兩銳角互余得出，進而利用30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求解；（2）首先根據(jù)勾股定理得出EC的長度，進而求出EB的長度，最后利用求解即可．【解析】（1）∵把沿折疊，點折疊到點，∴，．，．，；（2），．，，．【點睛】本題主要考查折疊與勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容是關(guān)鍵．25．如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風(fēng)影響，則A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？【答案】(1)要，理由見解析(2)【分析】（1）由A點向作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得的長，與200比較即可得結(jié)論；（2）上分別取D、G，則是等腰三角形，由，則C是的中點，在中，解出的長，則可求長，在長的范圍內(nèi)都是受臺風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時間．【解析】（1）解：由A點向作垂線，垂足為C，在中，，，則，因為，所以A城要受臺風(fēng)影響；（2）設(shè)上點D，，則還有一點G，有．∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的垂直平分線，，在中，，，由勾股定理得，，則，遭受臺風(fēng)影響的時間是：（h）．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及點到直線的距離，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．26．一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．（1）若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間．（2）島在港的什么方向？【答案】（1）3小時；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的長度，則，然后在中，利用勾股定理來求的長度，再根據(jù)時間路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【解析】解：（1）由題意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小時），∴從島返回港所需的時間為3小時；（2），，，，，

島在港的北偏西．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，是基礎(chǔ)知識比較簡單．27．初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，求最短路程；②若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，求最短路程；③若圓柱體的底面圓的半徑為，高為，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，求最短路程．【答案】(1)3條，圖形見解析(2)①；②；③【分析】（1）共有3條路徑，第一條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面邊緣爬行；第二條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面直徑爬行；第三條沿圓柱體側(cè)面爬行，即可；（2）①連接，利用兩點之間，線段最短，在中，根據(jù)勾股定理，求出