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第1章勾股定理單元復(fù)習(xí)提升(易錯(cuò)與拓展)易錯(cuò)點(diǎn)01勾股數(shù)【指點(diǎn)迷津】勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).典例1.下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的是(
)A.0.3,0.4,0.5 B.3,,4 C.,6, D.9,40,41【答案】D【分析】三個(gè)正整數(shù),其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方,則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù),據(jù)此判斷即可.【解析】A.不是勾股數(shù),因?yàn)?.3,0.4,0.5不是正整數(shù),不符合題意;B.不是勾股數(shù),因?yàn)椴皇钦麛?shù),不符合題意;C.不是勾股數(shù),因?yàn)?,不是正整?shù),不符合題意;D.是勾股數(shù),9,40,41都是正整數(shù),且,符合題意;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的概念,解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的特點(diǎn):三個(gè)數(shù)均為正整數(shù),其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方.跟蹤訓(xùn)練1.下列各式中,屬于勾股數(shù)的一組是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用勾股數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可解答.【解析】解:A、∵都不是正整數(shù),∴不是勾股數(shù),不符合題意;B、∵,∴不是勾股數(shù),不符合題意;C、∵,∴不是勾股數(shù),不符合題意;D、∵,∴是勾股數(shù),符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義,滿足的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).跟蹤訓(xùn)練2.觀察下列幾組勾股數(shù),①,,;②,,;③,,;④,,;并尋找規(guī)律,請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù):,第組勾股數(shù)是.【答案】11,60,61,,【分析】根據(jù)所給的幾組勾股數(shù)可找出規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律即可求出第五組勾股數(shù).【解析】解:①,,,②,,,③,,,,第組勾股數(shù)為:,,,第⑤組勾股數(shù)為,,,即11,60,61.故答案為:11,60,61;,,.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù),此題屬規(guī)律性題目,解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律,按照此規(guī)律即可解答.易錯(cuò)點(diǎn)02用勾股定理理解三角形分類討論【指點(diǎn)迷津】用勾股定理解直角三角形時(shí),先確定直角三角形,再確認(rèn)直角邊與斜邊,通過勾股定理a2+b2=c2解另一個(gè)直角邊或斜邊,也就是“知二求一”,注意分類討論.典例2.已知,直角三角形的兩邊分別為3和5,則第三邊的長為(
)A.4 B. C.4或 D.或【答案】C【分析】分5為直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論求解即可.【解析】解:∵直角三角形的兩邊分別為3和5,,①當(dāng)5為直角邊時(shí),第三邊為斜邊,由勾股定理,得:第三邊的長為;②當(dāng)5為斜邊時(shí),第三邊為直角邊,由勾股定理,得:第三邊的長為;綜上:第三邊的長為4或;故選C.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理,注意分類討論.跟蹤訓(xùn)練1.已知三角形兩邊長為8和6,要使這個(gè)三角形為直角三角形,則第三邊的長為(
)A.10 B. C.10或 D.10或24【答案】C【分析】分8為斜邊,6為直角邊和8和6都為直角邊兩種情況,結(jié)合勾股定理解答即可.【解析】解:若8為斜邊,6為直角邊,則第三邊為;若8和6都為直角邊,則斜邊為;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,屬于常見題型,熟練掌握勾股定理、正確分類是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2.在中,已知兩邊長分別為1和3,則第三邊長為.【答案】或【分析】分兩種情況考慮:若3為直角邊,可得出1也為直角邊,第三邊為斜邊,利用勾股定理求出斜邊,即為第三邊;若3為斜邊,可得1和第三邊都為直角邊,利用勾股定理即可求出第三邊.【解析】解:①若3為直角邊,可得1為直角邊,第三邊為斜邊,根據(jù)勾股定理得第三邊為;②若3為斜邊,1和第三邊都為直角邊,根據(jù)勾股定理得第三邊為,則第三邊長為或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理,利用了分類討論的思想,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.易錯(cuò)點(diǎn)03勾股定理的逆定理【指點(diǎn)迷津】①勾股定理的逆定理,由三角形的三邊滿足a2+b2=c2數(shù)量關(guān)系,得到三角形是直角三角形,如何構(gòu)建得到上述數(shù)量關(guān)系,方法有絕對(duì)值、平方、算術(shù)平方根的非負(fù)性,等式變形,因式分解等等;②滿足(ka)2+(kb)2=(kc)2,也能得到三角形是直角三角形。典例3.若的三邊分別為,下列給出的條件不能使得構(gòu)成直角三角形的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理,三角形的內(nèi)角和定理,進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可.【解析】解:A、∵,∴能構(gòu)成直角三角形,故A不符合題意;B、∵,∴能構(gòu)成直角三角形,故B不符合題意;C、∵,∴,∴不能構(gòu)成直角三角形,故C符合題意;D、∵∴,∴能構(gòu)成直角三角形,故D不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理,三角形的內(nèi)角和定理,熟練掌握勾股定理的逆定理,三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.的三邊長a,b,c滿足,則是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式,從而分別計(jì)算得到a、b、c的值,再由的關(guān)系,可推導(dǎo)得到為直角三角形.【解析】解∵又∵∴,∴解得,∴,且,∴為等腰直角三角形,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí),求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0,每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0,和勾股定理逆定理.跟蹤訓(xùn)練2.若的三邊長a、b、c滿足,那么是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【分析】先用完全平方公式進(jìn)行因式分解求出a、b、c的值,再確定三角形的形狀即可.【解析】解:,移項(xiàng)得,,,,,,,,是直角三角形,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用完全平方公式因式分解,勾股定理逆定理,非負(fù)數(shù)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是通過等式的變形,恰當(dāng)?shù)牟饠?shù)配成完全平方,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求邊長.跟蹤訓(xùn)練3.下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形:①,,,②,,,③,,,④,其中能構(gòu)成直角三角形的有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊,就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方,將題目中的各題一一做出判斷即可.【解析】解:①∵,∴能成為直角三角形的三邊長;②∵,∴能成為直角三角形的三邊長;③,∴能成為直角三角形的三邊長;④∵,即,∴a,b,c不構(gòu)成三角形∴能構(gòu)成直角三角形的有3組,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用,在應(yīng)用時(shí)注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方.易錯(cuò)點(diǎn)04網(wǎng)格問題【指點(diǎn)迷津】找出網(wǎng)格中滿足題意的直角三角形,用勾股定理解直角三角形典例4.如圖,在的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上,且每個(gè)小正方形的邊長都是1,則線段的長為(
)
A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【分析】利用勾股定理即可計(jì)算.【解析】根據(jù)題意,利用勾股定理有,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的的知識(shí),通過網(wǎng)格點(diǎn)找到合適的直角三角形并確定其邊長是解答本題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.如圖:網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長為1,表示長的線段是(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】利用勾股定理求出每條線段的長,再進(jìn)行判斷即可.【解析】解:由勾股定理得,,,,表示應(yīng)為線段.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中表示無理數(shù)的長,掌握勾股定理求線段的長是解題關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2.如圖,的頂點(diǎn)、、在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,于點(diǎn),則的長為(
)
A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積,根據(jù)勾股定理求出,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.【解析】解:如圖,
的面積,由勾股定理得,,則,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用,掌握在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練3.如圖,在4×4的方格中,每個(gè)小正方形的邊長為1,若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是,以A為圓心,為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E所表示的數(shù)是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出,即可得到,進(jìn)而得到答案.【解析】解:∵,∴,∴點(diǎn)E所表示的數(shù)是,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查了網(wǎng)格與勾股定理,正確理解題意利用勾股定理求得是解題的關(guān)鍵.易錯(cuò)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用【指點(diǎn)迷津】立體圖形展開問題,注意化抽象為具體(可用實(shí)物圖展開方法等),其他實(shí)際應(yīng)用注意轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決(注意可以找多個(gè)直角三角形,多次使用勾股定理或逆定理)典例5.如圖,一圓柱高,底面周長是,為的中點(diǎn),一只螞蟻從點(diǎn)沿圓柱外壁爬到點(diǎn)處吃食,要爬行的最短路程是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】將圓柱展開,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,利用勾股定理解答.【解析】解:將圓柱沿點(diǎn)所在母線展開,連接,由兩點(diǎn)之間線段最短可知,最短路程是的長.∵底面圓周長為,∴底面半圓弧長為,∵,為的中點(diǎn),∴根據(jù)勾股定理得:,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查的是平面展開最短路徑問題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖,表示出各線段的長度,再利用勾股定理求解.跟蹤訓(xùn)練1.如圖,小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈,正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn),已知知圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是()m.
A.8 B.5 C.20 D.10【答案】C【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫?,利用兩點(diǎn)間線段最短,再根據(jù)勾股定理即可求解.【解析】解:如圖,線段即為所需彩帶最短,由圖可知,,∴由勾股定理得,,
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用.將曲面問題變?yōu)槠矫鎲栴}是解答本題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2.如圖,一根長的木條,斜靠在豎直的墻上,這時(shí)木條的底端距墻底端.如果將木條底端向左滑動(dòng),那么木條的頂端將向上滑動(dòng)(
)
A. B.3cm C. D.【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出的長,進(jìn)而求出的長即可得到答案.【解析】解:如圖,在中,,∴;在中,,∴,∴,故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練3.如圖,在我軍某次海上演習(xí)中,兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O同時(shí)出發(fā),1號(hào)艦沿東偏南方向以9節(jié)(1節(jié)=1海里/小時(shí))的速度航行,2號(hào)艦沿南偏西方向以節(jié)的速度航行,離開港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A,B兩點(diǎn),此時(shí)兩艦的距離是(
)A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】D【分析】由,,求得,,再利用勾股定理的逆定理計(jì)算求解.【解析】解:由題意可得:,∴,又∵(海里),(海里),在Rt中,(海里)∴此時(shí)兩艦的距離是海里.故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角,正確得出是解題關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練4.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠,是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一,如圖,秋千靜止時(shí),踏板離地的垂直高度m,將它往前推6m至C處時(shí)(即水平距離m),踏板離地的垂直高度m,它的繩索始終拉直,則繩索的長是()
A.m B.m C.6m D.m【答案】A【分析】設(shè),則,然后根據(jù)勾股定理得到方程,解方程即得答案.【解析】解:設(shè),則,,在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可得:,即,解得:,即繩索的長是m;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.拓展01勾股定理的證明拓展知識(shí)勾股定理的證明方法一:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.圖(1)中,所以.方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形.圖(2)中,所以.方法三:如圖(3)所示,將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.,所以.典例1.勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一,也是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具之一.下列圖形中可以證明勾股定理的有(
)
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】D【分析】利用同一個(gè)圖形的面積的不同表示方法進(jìn)行驗(yàn)證即可.【解析】解:①,,∴,整理得,故①滿足題意;④或,∴,∴,故④滿足題意;②沒有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長度,故②不符合題意;③無法證明直角三角三邊關(guān)系,故③不符合題意;故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理,熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在四邊形中,,,點(diǎn)C是邊上一點(diǎn),,..下列結(jié)論;①;②;③四邊形的面積是;④;⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()
A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【分析】證明,由全等三角形的性質(zhì)可得出,.再由圖形的面積可得出①②⑤正確.【解析】解:,,,.在和中,,,,.,.,,故①②正確;,,四邊形的面積是;故③錯(cuò)誤;梯形的面積直角三角形的面積兩個(gè)直角三角形的面積,,,,故④錯(cuò)誤,故⑤正確故①②⑤共3個(gè)正確,③④錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的證明,垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2.勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等,是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,大約有五百多種證明方法,我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理,以下四個(gè)圖形,哪一個(gè)是趙爽弦圖(
)A.B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解.【解析】解:趙爽弦圖,是個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形,直角三角形中較長的直角邊為,較短的直角邊為,中間小正方形的邊長為,∴選項(xiàng),是趙爽弦圖,符合題意;選項(xiàng),不是趙爽弦圖,不符合題意;選項(xiàng),不是趙爽弦圖,不符合題意;選項(xiàng),不是趙爽弦圖,不符合題意;故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)趙爽弦圖的理解,掌握勾股定理的證明方法,趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練3.勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載,我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1),后人稱之為“趙爽弦圖”,流傳至今.(1)①勾股定理的證明,人們已經(jīng)找到了400多種方法,請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件);②如圖1,大正方形的面積是17,小正方形的面積是5,如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放,求圖2中最大的正方形的面積.(2)如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑,分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形,這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè);(3)如圖7所示,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓,設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為、,直角三角形面積為,請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______.【答案】(1)①見解析;②(2)(3)【分析】(1)①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來,再利用面積相等列等式證明即可;②圖1中:,,即可得,圖2中大正方形的面積為:,據(jù)此即可作答;(2)根據(jù)題意得:,再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積,即可完成求解;(3)結(jié)合題意,首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積,根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出(+),結(jié)合勾股定理,即可得到答案.【解析】(1)①證明:在圖1中,大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.即,化簡(jiǎn)得.在圖2中,大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.即,化簡(jiǎn)得.在圖3中,梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和.即,化簡(jiǎn)得.②在圖1中:,,圖2中大正方形的面積為:,∵,,∴,,∴,∴圖2中大正方形的面積為29.(2)根據(jù)題意得:,如圖4:即有:,,,∴;如圖5:,,,∵,∴;如圖6:下面推導(dǎo)正三角形的面積公式:正的邊長為u,過頂點(diǎn)x作,V為垂足,如圖,在正中,有,,∵,∴,,∴在中,有,∴正的面積為:,∴,,∵∴;∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為:3;(3)關(guān)系:,理由如下:以a為直徑的半圓面積為:,以b為直徑的半圓面積為:,以c為直徑的半圓面積為:,三角形的面積為:,∴,即:,結(jié)合(1)的結(jié)論:∴.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì),從而完成求解.拓展02勾股定理的折疊問題拓展知識(shí)一張直角三角形的紙片,如圖1所示折疊,使兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)A、B重合,若∠B=30°,AC=,求DC的長。分析:圖11、標(biāo)已知,標(biāo)問題(邊長的問題一般有什么方法解決?),明確目標(biāo)在哪個(gè)直角三角形中,設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x;圖12、利用折疊,找全等。(1)你能從中找到全等三角形嗎?(2)折疊后出現(xiàn)的相等的線段有哪些?(3)折疊后出現(xiàn)的相等的角有哪些?3、將已知邊和未知邊(用含x的代數(shù)式表示)轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理,列方程,解方程,得解。典例2.如圖,在中,,,,為的平分線,將沿向上翻折得到,使點(diǎn)在射線上,則的長為(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得,進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,可得,設(shè),表示出,進(jìn)而在中,勾股定理列出方程,解方程即可求解.【解析】解:∵在中,,,,∴,∵將沿向上翻折得到,使點(diǎn)在射線上,∴,設(shè),則,,在中,,即,解得:即的長為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在,,,沿過點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處,再次折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,折痕交于點(diǎn)E,則的長度為(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意可得,,,,可得,繼而設(shè),則,根據(jù)勾股定理即可求解.【解析】解:∵沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊,使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處,∴,,∵折疊紙片,使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,∴,∵,∴,∴,∴,∴,設(shè),則,∴,解得,即,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),勾股定理,掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2.如圖,在中,,將沿著折疊以后點(diǎn)正好落在邊上的點(diǎn)處.(1)當(dāng)時(shí),求的度數(shù);(2)當(dāng),時(shí),①求線段的長;②求線段的長.【答案】(1)(2)①;②【分析】(1)在中,利用互余得到,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得,然后根據(jù)互余可計(jì)算出;(2)①在中,利用勾股定理即可得到的長;②設(shè),則,依據(jù)勾股定理可得,中,再解方程即可得到的長.【解析】(1)解:在中,,,,沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處,,中,.(2)①在中,,,.②沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處,,,,設(shè),則,中,,,解得.即的長為3.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題,折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,解題時(shí)常設(shè)要求的線段長為,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度,選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?,運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.一、單選題1.木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形,那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是(
)A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.7,15,17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理,只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.【解析】解:A、∵32+42=52,∴能夠成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、∵62+82=102,∴能夠成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、∵52+122=132,∴能夠成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、∵72+152≠172,∴不能夠成直角三角形,故本選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用.理解判斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長,只要利用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.2.在中,,,的對(duì)邊分別是a,b,c,且,則(
)A. B. C. D.不確定哪個(gè)角是直角【答案】A【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得出答案.【解析】解:∵在中,,,的對(duì)邊分別是a,b,c,且,∴.∴b、c是兩直角邊,a是斜邊,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理.注意掌握如果三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.3.下列四組線段中,不能組成直角三角形的是(
)A.,, B.,,C. D.,,【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理,只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最長邊的平方即可.【解析】A、∵,,,∴,,,不能滿足,∴A不能組成直角三角形.B、92+402=412,故能構(gòu)成直角三角形;C、設(shè)a=k,b=k,c=,∵k2+k2=,∴a2+b2=c2,故能構(gòu)成直角三角形;D、()2+62=()2,故能構(gòu)成直角三角形.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長,只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.4.如圖,在矩形中,在數(shù)軸上,若以點(diǎn)A為圓心,對(duì)角線的長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1,再由勾股定理求出AC的長,最后根據(jù)AM=AC,可得答案.【解析】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,∠ABC=90°在Rt△ABC中,AC=,∴AM=AC=,∴點(diǎn)M表示的數(shù)是,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí),利用勾股定理求出AC的長是解題的關(guān)鍵.5.如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為米,頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距離地面米,則小巷的寬度為
A.米 B.米 C.2米 D.米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得:,在中,,米,,,,,,小巷的寬度為(米).故選.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用,在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法,關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫出準(zhǔn)確的示意圖.6.下列說法:(1)在△ABC中,若a2+b2≠c2,則△ABC不是直角三角形;(2)若△ABC是直角三角形,∠C=90°,則a2+b2=c2;(3)在△ABC中,若a2+b2=c2,則∠C=90°;(4)直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12,則斜邊上的高為.其中說法正確的有().A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【分析】在(1)(2)(3)中分別利用勾股定理及逆定理判斷,在(4)中,先利用勾股定理求出斜邊的長度,再利用直角三角形的面積公式(a、b為兩直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高)求出高即可.【解析】解:(1)根據(jù)勾股定理的逆定理,若a2+c2=b2,則也為直角三角形,故錯(cuò)誤;(2)若是直角三角形,,利用勾股定理則a2+b2=c2,符合勾股定理,故正確;(3)在中,若a2+b2=c2,則,符合勾股定理的逆定理,故正確;(4)首先根據(jù)勾股定理計(jì)算其斜邊是,則斜邊上的高為,故正確.綜上所述,(2)(3)(4)正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理,以及直角三角形面積求解公式,能夠熟練運(yùn)用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此題的關(guān)鍵.7.如圖是一張直角三角形的紙片,兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則BE的長為(
)A.4cm B.4.75cm C.6cm D.5cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長,由AB的長度可求出BE的長度.【解析】解:∵AC=6cm、BC=8cm,在△ABC中,由勾股定理可知:=10,∵將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,故E為AB的中點(diǎn),∴AE=BE=5,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用,折疊變換,能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖,已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為7,2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為4,則a、b、c三個(gè)正方形的面積之和為(
)A.11 B.15 C.10 D.22【答案】B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn):a的面積等于1號(hào)的面積加上2號(hào)的面積,b的面積等于2號(hào)的面積加上3號(hào)的面積,c的面積等于3號(hào)的面積加上4號(hào)的面積,據(jù)此可以求出三個(gè)的面積之和.【解析】利用勾股定理可得:,,∴故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.9.如圖,在高為3米,斜坡長為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯,則地毯的長度至少要()A.4米 B.5米 C.6米 D.7米【答案】D【分析】先求出AC的長,再利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長度.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC==4米,∴可得地毯長度=AC+BC=7米,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí),利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵.10.如圖,在中,,,點(diǎn)D在AC上,且,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),連接DE,點(diǎn)F,G分別是BC,DE的中點(diǎn),連接AG,F(xiàn)G,當(dāng)時(shí),線段DE的長為().A. B.2 C. D.4【答案】B【分析】連接DF,AF,EF,證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,進(jìn)而求出AE,根據(jù)勾股定理計(jì)算,得到答案.【解析】解:連接DF,AF,EF,在中,,,,點(diǎn)G是DE的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),,,,,,,,是直角三角形,且,,,在和中,,,,,在中,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì),正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題11.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長,但沒有明確是直角邊還是斜邊,因此分兩種情況討論.【解析】解:①長為3的邊是直角邊,長為4的邊是斜邊時(shí),第三邊的長為:;②長為3、4的邊都是直角邊時(shí),第三邊的長為:;∴第三邊的長為:或5,故答案為:或5.12.已知,如圖所示,Rt△ABC的周長為4+2,斜邊AB的長為2,則Rt△ABC的面積為.【答案】1.【分析】設(shè)AC=a,BC=b,根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組,然后解方程得到ab的值,再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設(shè)AC=a,BC=b,由題意得,∴,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=12+2ab=16,∴ab=2,則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理,解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組,然后求得ab的值.13.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,則BC∶AC∶AB=.【答案】1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)直角邊為斜邊的一半,可設(shè)BC=x,則AB=2x,再利用勾股定理求AC的長即可得解.【解析】已知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,設(shè)BC=x,則AB=2x,∴AC==x,則BC∶AC∶AB=1∶∶2.故答案為1∶∶2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了30度所對(duì)直角邊等于斜邊的一半,勾股定理,解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).14.如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長都為1,則△ABC是三角形.【答案】直角【解析】因?yàn)锳C2=22+32=13,AB2=62+42=52,BC2=82+12=65,所以AC2+AB2=BC2,所以△ABC是直角三角形.故答案為直角.15.已知三角形三邊長為正整數(shù),則此三角形是三角形.【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可.如果沒有這種關(guān)系,這個(gè)三角形就不是直角三角形.【解析】解:∵==,====,∴,∴此三角形是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理.掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.16.如圖,有一個(gè)圓柱形杯子,底面周長為12cm,高為8cm,A點(diǎn)在內(nèi)壁距杯口2cm處,在A點(diǎn)正對(duì)面的外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲,小蟲要到A處飽餐一頓至少要走cm.(杯子厚度忽略不計(jì))【答案】10【分析】先把圓柱展開,得到其一半的一個(gè)矩形的形狀,A、B的最短距離就是線段AB的長,再根據(jù)勾股定理解答即可.【解析】試題解析:將圓柱的側(cè)面展開成平面,其形狀是一個(gè)矩形,如圖是展開圖的一半,將A點(diǎn)對(duì)稱到A′點(diǎn),線段A′B的長就是所求的最短距離,在Rt△A′BE中,BE=×12=6cm,A′E=AE+AA′=8cm,則AB==10cm,答:小蟲要到A處飽餐一頓至少要走10cm.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題,將側(cè)面展開利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵.17.如圖,于點(diǎn)B,于點(diǎn)A,點(diǎn)E是中點(diǎn),若,,,則的長是.
【答案】24【分析】延長交于F,證明得到,,然后利用勾股定理求解即可.【解析】解:延長交于F,
∵,,∴,∴,∵點(diǎn)E是中點(diǎn),∴,又,∴,∴,,∵,,∴,,在中,,∴,故答案為:24.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.18.公元三世紀(jì),我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將兩個(gè)“趙爽弦圖”(如圖1)中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形,記空隙處正方形,正方形的面積分別為,,則下列四個(gè)判斷:①②;③若,則;④若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn),則,其中正確的序號(hào)是
【答案】①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中,直角三角形的較短直角邊為,較長直角邊為,斜邊為,則小正方形的邊長為,正方形的邊長為,正方形的邊長為,正方形的邊長為,由正方形面積公式,勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【解析】設(shè)“趙爽弦圖”中,直角三角形的較短直角邊為,較長直角邊為,斜邊為,則小正方形的邊長為,正方形的邊長為,正方形的邊長為,正方形的邊長為,∴,,.∴.∴.故①正確;∵,∴.∴.∴.故②正確;∵,,∴.即.∴.∴.故③正確;∵點(diǎn)A是線段的中點(diǎn),∴.即.∴.∴.∴.故④不正確;故答案是①②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理,正方形的面積,關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中,直角三角形的較短直角邊為,較長直角邊為,斜邊為,用表示出相關(guān)線段的長度,從而解決問題.三、解答題19.如圖,在Rt中,,,,于.求:(1)斜邊的長;(2)高的長.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用勾股定理計(jì)算出的長即可;(2)根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出的長即可.【解析】解:(1)在中,,,,;(2),,解得.故高的長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理,以及三角形的面積,解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理:在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.20.如圖,四邊形中,,,,.則的度數(shù)是多少度?說明理由.【答案】.理由見解析.【分析】連接,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出,再根據(jù)勾股定理逆定理求出即可求解.【解析】解:,理由如下:連接,,,在中,在中,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理逆定理,解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算.21.如圖,,,,,.
(1)求的長度;(2)求陰影部分面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)由勾股定理即可解答.(2)先證為直角三角形,再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可解答.【解析】(1)在中,,.(2)∵,,∴,∴,為直角三角形,.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,三角形的面積,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.22.如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形.(1)在圖1中,畫一個(gè)三角形,使它的三邊長都是有理數(shù);(2)在圖2中,畫一個(gè)三角形,使它的三邊長分別為;(3)在圖3中,畫一個(gè)鈍角三角形,使它的面積為4.【答案】(1)見解析;(2)見解析(3)見解析【分析】(1)畫一個(gè)三邊分別為3,4,5的直角三角形即可;(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)以及勾股定理,分別找到邊長分別為的線段,通過平移的方法將三條線段首位相連即可;(3)根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)畫一個(gè)底為2高為4的鈍角三角形即可;【解析】(1)如圖所示,,則即為所求三角形;(2)如圖所示,,則即為所求三角形;(3)如圖所示,則即為所求三角形;【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖,勾股定理,根據(jù)勾股定理找到符合題意的線段是解題的關(guān)鍵.23.如圖,在中,,,邊上的中線,延長至點(diǎn),使,連接.
(1)求證:.(2)求的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)由證明,即可得到答案;(2)由(1)可得,由勾股定理的逆定理可得,再用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【解析】(1)證明:是邊上的中線,,在和中,,,;(2)解:由(1)得,,,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理,熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理,是解題的關(guān)鍵.24.如圖,,,,,把沿折疊,點(diǎn)折疊到點(diǎn),的延長線與射線交于點(diǎn).(1)求的長;(2)求的面積.【答案】(1);(2)【分析】(1)首先由折疊的性質(zhì)得出,進(jìn)而利用直角三角形兩銳角互余得出,進(jìn)而利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求解;(2)首先根據(jù)勾股定理得出EC的長度,進(jìn)而求出EB的長度,最后利用求解即可.【解析】(1)∵把沿折疊,點(diǎn)折疊到點(diǎn),∴,.,.,;(2),.,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊與勾股定理,掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容是關(guān)鍵.25.如圖,A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處,以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng),距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?為什么?(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響,則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長時(shí)間?【答案】(1)要,理由見解析(2)【分析】(1)由A點(diǎn)向作垂線,垂足為C,根據(jù)勾股定理求得的長,與200比較即可得結(jié)論;(2)上分別取D、G,則是等腰三角形,由,則C是的中點(diǎn),在中,解出的長,則可求長,在長的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響,再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間.【解析】(1)解:由A點(diǎn)向作垂線,垂足為C,在中,,,則,因?yàn)?,所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響;(2)設(shè)上點(diǎn)D,,則還有一點(diǎn)G,有.∵,∴是等腰三角形,∵,∴是的垂直平分線,,在中,,,由勾股定理得,,則,遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是:(h).【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離,構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵.26.一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達(dá)島,再從島沿方向航行到達(dá)島,港到航線的最短距離是.(1)若輪船速度為小時(shí),求輪船從島沿返回港所需的時(shí)間.(2)島在港的什么方向?【答案】(1)3小時(shí);(2)北偏西【分析】(1)中,利用勾股定理求得的長度,則,然后在中,利用勾股定理來求的長度,再根據(jù)時(shí)間路程速度即可求得答案;(2)由勾股定理的逆定理推知.由方向角的定義作答.【解析】解:(1)由題意可知,AD⊥BC,在中,,∴,,∵BC=125km,,,∴(小時(shí)),∴從島返回港所需的時(shí)間為3小時(shí);(2),,,,,
島在港的北偏西.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,方向角問題,是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.27.初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”,聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”,形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略.問題提出:如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體,一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn),如何求最短路程呢?(1)問題分析:螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn),可以有幾條路徑?在圖中畫出來;(2)問題探究:①若圓柱體的底面圓的周長為,高為,螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn),求最短路程;②若圓柱體的底面圓的周長為,高為,螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn),求最短路程;③若圓柱體的底面圓的半徑為,高為,一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn),求最短路程.【答案】(1)3條,圖形見解析(2)①;②;③【分析】(1)共有3條路徑,第一條先沿圓柱體的高爬行,再從上底面邊緣爬行;第二條先沿圓柱體的高爬行,再從上底面直徑爬行;第三條沿圓柱體側(cè)面爬行,即可;(2)①連接,利用兩點(diǎn)之間,線段最短,在中,根據(jù)勾股定理,求出
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