9.5三角形的中位線2

9.5三角形的中位線同步培優(yōu)講練綜合三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.一、三角形中位線有關(guān)的求解問題【例1】如圖，為測量位于一水塘旁的兩點，間的距離，在地面上確定點，分別取，的中點，，量得，則，之間的距離是 B． C． D．【答案】C【解析】解：點，分別是，的中點，，故選：．【例2】如圖，在中，點、分別是邊、的中點，連接，的平分線交于點，若，，則的長為．【答案】1【解析】解：連接并延長交于，點、分別為邊、的中點，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：1．【例3】如圖，在四邊形中，點是對角線的中點，點、分別是、的中點，，，則的度數(shù)是．【答案】120【解析】解：點是對角線的中點，點、分別是、的中點，，，又，，，，故答案為：．【例4】在中，，D為形內(nèi)一點，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點，，則的長為_______．【答案】2【解析】解：如圖，連接，取的中點F，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵M是的中點，F(xiàn)是的中點，∴是的中位線，∴，∴，同理得，，，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：2．【例5】有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形面積兩等分），試設(shè)計兩種方案，并說明理由．（平分圖案畫在備用圖上，保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】解：設(shè)梯形上、下底分別為a、b，高為h．方案一：如圖1，連接梯形上、下底的中點E、F，則；方案二：如圖2，連接，取的中點E，連接，則圖中的四邊形的面積=梯形的面積的一半，∵，∴，，∴，∴四邊形的面積=梯形的面積的一半．方案三：如圖3，分別量出梯形上、下底a、b的長，在下底上截取，連接，∴，，則．【例6】如圖，在中，點，，分別是邊，，上的中點，且，，則四邊形的周長等于．【答案】26【解析】解：點，，分別是邊，，上的中點，，都是的中位線，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形的周長．故答案為：26．【例7】如圖，四邊形中，，，、分別是、的中點，則線段的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】解：連接，取的中點，連接、，、分別是、的中點，，同理可得，，在中，，即，當在上時，，，故選：．【例8】如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點作于，交于，連接，則線段的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】解：中，，，∴，∵，∴．∵平分，∴，在和中，∴∴，∴，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，故選：B．二、三角形中位線相關(guān)的面積問題【例1】如圖，在中，、、分別是、、的中點，若的面積是40，則四邊形的面積是A．10 B．12.5 C．15 D．20【答案】C【解析】解：、、分別是、、的中點，，，，，、、分別是、、的中點，，，四邊形的面積，故選：．【例2】、是線段上的兩點，且，，，點是線段上的一動點，分別以、為斜邊在同側(cè)作兩個等腰直角三角形，直角頂點分別為、，如圖所示，連接并取中點，連接，點從點出發(fā)運動到點，則線段掃過的圖形面積為______．【答案】30【解析】解：分別延長、相交于點H，連接，，，∵、為等腰直角三角形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∵點P為中點，∴點G、P、H三點共線，且P為的中點，過P作分別交、與M、N，∴為的中位線，且即為點P的運動軌跡，∴掃過的圖形即為梯形，∵，，，∴，∴，過點H作垂直于O，∵，∴，，∴，∵為的中位線，∴，即梯形的高為4，∴，即線段掃過的圖形面積為30．故答案為：30．【例3】如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點，，則_____【答案】8【解析】解：如圖，連接，∵E是的中點，∴，，∴，∴，∵F是的中點，∴，而，∴．故答案為：8．【例4】如圖，三邊的中線，，的公共點為G，且，若，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】4【解析】解：∵的三條中線，，交于點G，，∴，∴，，∵，∴，，∴．故答案為：4．【例5】如圖，在中，，分別是的中點，延長到點，使得，連接與交于點．，求四邊形的面積．【答案】15【解析】解：∵分別是的中點，∴是的中位線，∴，，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，∴，，∴，∴．與三角形中位線有關(guān)的應(yīng)用和證明【例1】在中，點是邊的中點，平分，，的延長線交于點，，．（1）求證：；（2）求的長．【答案】見解析【解析】（1）證明：平分，．，．在與中，，．（2），，．是的中點，，．【例2】如圖，中，于點，點，分別是，的中點，連接，，．（1）求證：；（2）若四邊形的周長是30，的周長是21，求的長．【答案】見解析【解析】解：（1），，點是的中點，；（2），，點，分別是，的中點，，，四邊形的周長是30，，的周長是21，，點，分別是，的中點，是的中位線，．【例3】如圖，在四邊形中，是對角線的中點，、分別是、的中點，，，求的度數(shù)．【答案】20【解析】解：是的中點，是的中點，是的中位線，，同理，，，，．【例4】在中，，、分別是、的中點，延長到點，使，連接、、、，與交于點O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）∵、分別是、的中點，∴是的中位線，∴且．又，即，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分；（2）∵在中，，，，∴由勾股定理得，又由（1）知，，且，∴．∴在中，，，，∴由勾股定理得．梯形中位線【例1】已知一個梯形的中位線長為，其中一條底邊的長為，那么該梯形的另一條底邊的長是．【答案】4【解析】解：設(shè)梯形的另一條底邊為，由題意得：，解得．即梯形的另一條底邊的長為．故答案為：4．【例2】如圖，已知直角梯形的一條對角線把梯形分為一個直角三角形和一個邊長為的等邊三角形，則梯形的中位線長為 B． C． D．【答案】B【解析】解：是等邊三角形，，，，，，，梯形的中位線是，故選：．【例3】如圖，梯形的兩底長為，，中位線為，且，若為上的一點，且將梯形分成面積相同的兩區(qū)域，則與梯形的面積比為．【答案】1：16【解析】解：梯形的兩底長為，，，．，，．故答案為：．四、中點四邊形【例1】順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(

)A．平行四邊形 B．對角線相等的四邊形C．矩形 D．對角線互相垂直的四邊【答案】B【解析】解：四邊形是菱形，，故AC．故選：B．【例2】若順次連接四邊形各邊的中點所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必定是（

）A．正方形 B．對角線相等的四邊形C．菱形 D．對角線互相垂直的四邊形【答案】D【解析】解：如圖，四邊形是矩形點、的分別是、的中點是的中位線點、的分別是、的中點是的中位線．故選：D【例3】依次連接下列四邊形四條邊的中點得到四邊形不是菱形的是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】B【解析】解：如圖所示，依次連接四邊形四條邊的中點，∵矩形，∴，，，，且點，，，分別為四邊的中點，∴，∴，∴是菱形；∴選項不符合題意；如上圖所示，由選項結(jié)論得菱形，點，，，分別為四邊的中點，∴，且菱形的對角相等，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，不一定是菱形；∴選項符合題意；如下圖所示，正方形，點，，，分別為四邊的中點，∴，且，∴，∴，∴是菱形；∴選項不符合題意；如下圖所示，等腰梯形，點，，，分別為四邊的中點，∴，，，∴，∴，同理可得，，連接，在，中，點，，，分別為四邊的中點，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可知，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，，∴是菱形；∴選項不符合題意．故選：．【例4】如圖，四邊形中，，．且，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，如此進行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（

）①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是，④四邊形的面積是．A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③【答案】B【解析】解：①連接A1C1，B1D1．∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC；∴A1D1B1C1，A1B1C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；∵ACBD，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），∴四邊形A2B2C2D2是菱形；故①錯誤；②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形；∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故②正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A5B5=A3B3=A1B1=AC，B5C5=B3C3=B1C1=BD，∴四邊形A5B5C5D5的周長是故③正確；④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且ACBD，∴S四邊形ABCD=ab；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄倪呅蜛nBnCnDn的面積是故④正確；綜上所述，②③④正確．故選：B．1、如圖，在中，，，．若，分別為邊，的中點，則的長為A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】D【解析】解：，，，，，，，故選：．2、如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，其中，點是斜梁的中點，、垂直于橫梁，，則的長為 B． C． D．【答案】B【解答】解：，，，、垂直于橫梁，，點是斜梁的中點，．故選：．3、如圖，點、、分別是、、中點，且是的角平分線．求證：．【答案】見解析【解析】【解答】證明：連接，點、、分別是、、中點．，，四邊形是平行四邊形，，是的角平分線，，，，．4．如圖，平行四邊形中，對角線，相交于，，，，分別是，，的中點，下列結(jié)論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】B【解析】解：如圖，四邊形是平行四邊形，，，又，，且點是中點，，故①正確，、分別是、的中點，，，點是斜邊上的中點，，無法證明，故③錯誤，，四邊形是平行四邊形故②正確，，，，，,，，，平分，故④正確；故選：B．5．如圖，四邊形中，對角線，且，，各邊中點分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．【答案】【解析】∵四邊形中，對角線，且，∴∵中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半∴以此類推，6．已知一個對角線長分別為和的菱形，順次連接它的四邊中點得到的四邊形的面積是______．【答案】48【解析】解：、、、分別為各邊中點，，，，，，，四邊形是矩形，，，矩形的面積，故答案為：．7．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則________．【答案】1【解析】解：中，點是的中點，，，點、分別是、中點，，故答案為：8、如圖，在中，，、分別是、的中點，延長至點，使．連接、、．若，求的長．【答案】3【解析】解：連接，，是的中點，，、分別是、的中點，，，，，又，四邊形是平行四邊形，．9．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)若，求的長．(2)若，求證：．【答案】（1）13（2）見解析【解析】（1）如圖，取的中點P，連接，∵E，F(xiàn)分別是的中點，，∴，且，且．又∵，∴，∴．在中，．（2）證明：如圖，取的中點P，連接．∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴，且，，且．∴．∵，∴，∴，∴，∴．10．已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．【答案】(1)平行四邊形．證明見解析(2)；(3)矩形的中點四邊形是菱形．【解析】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連接．、分別是、中點，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形；（2）當四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點，，，，，，，又四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形；故答案為：；（3）矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．11．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接、，點、、分別為、、的中點，且連接、．(1)觀察猜想線段與______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．(2)繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．(3)拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出與的積的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案見解析(3)【解析】（1）解：線段與是“等垂線段”．理由如下：∵點、、分別為、、的中點，∴，，∵，，∴，即，∴．∵點、、分別為、、的