2020年北京一模幾何綜合問題

2020年北京一?！獛缀尉C合問題1．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD邊上一動點(diǎn)（不與D點(diǎn)重合），點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對稱，連接AE，ME，延長CB到點(diǎn)F，使得BF＝DM，連接EF，AF．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）若DM＝1，求線段EF的長；（3）當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動時，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時tan∠DAM的值．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）1或．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形便可，（2）連接BM，先證明△ADM≌△ABF，再證明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；（3）設(shè)DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，當(dāng)△AEF為等腰三角形，分兩種情況：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，進(jìn)而求得最后結(jié)果．【詳解】解：（1）根據(jù)題意作圖如下：（2）連接BM，如圖2，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在直線對稱，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，∵BM＝BF，∴△ADM≌△ABF（SAS），∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，∴∠FAB＝∠NAE，∴∠FAE＝∠MAB，∴△FAE≌△MAB（SAS），∴EF＝BM，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝3，∵DM＝1，∴CM＝2，∴BM＝，∴EF＝；（3）設(shè)DM＝x（x＞0），則CM＝3﹣x，∴EF＝BM＝，∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，∴AF＞AE，∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時，只能有兩種情況：AE＝EF，或AF＝EF，①當(dāng)AE＝EF時，有＝3，解得x＝3∴tan∠DAM＝；②當(dāng)AF＝EF時，＝，解得，x＝，∴tan∠DAM＝，綜上，tan∠DAM的值為1或．故答案為：tan∠DAM的值為1或．【點(diǎn)睛】本題是正方形的綜合題，涉及正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解三角形等知識，以及分類思想和方程思想，關(guān)鍵是證明三角形全等．2．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90

點(diǎn)P在線段BC上，延長BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，連接AP，AQ．過點(diǎn)B作BD⊥AQ于點(diǎn)D，交AP于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．K是線段AD上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)A，D不重合)，過點(diǎn)K作GN⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M，交FD的延長線于點(diǎn)N．(1)依題意補(bǔ)全圖1；(2)求證：NM=NF；(3)若AM=CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BN=AE+GN，見解析.【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代換得到∠MFN=∠FMN，于是得到結(jié)論；（3）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直線CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）依題意補(bǔ)全圖1如圖所示；（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴AP=AQ，∴∠APQ=∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，∴∠Q=∠BFC，∵∠MFN=∠BFC，∴∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，∴∠MFN=∠FMN，∴NM=NF；（3）連接CE，∵AC⊥PQ，PC=CQ，∴AP=AQ，∴∠PAC=∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q=90°，∵∠Q+∠CAQ=90°，∴∠CAQ=∠QBD，∴∠PAC=∠FBC，∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP=CF，∵AM=CP，∴AM=CF，∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∵AC=BC，∴直線CE垂直平分AB，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴∠GAM=∠ECF=45°，∵∠AMG=∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM=EF，∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，∴BN=AE+GN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．已知∠AOB＝120°，點(diǎn)P為射線OA上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，且點(diǎn)Q恰好落在射線OB上，不與點(diǎn)O重合．（1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接OC，寫出一個OC的值，使得對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4，并證明．【答案】（1）詳見解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，詳見解析；（3）OC＝4時，對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4，詳見解析.【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案；（3）連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP=OQ，連接CD，首先證明△COQ≌△CDP，然后△COD為等邊三角形，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）補(bǔ)圖如圖1：（2）∠CQO+∠CPO＝180°，理由如下：∵四邊形內(nèi)角和360°，且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°，∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°．（3）OC＝4時，對于任意點(diǎn)P，總有OP+OQ＝4．證明：連接OC，在射線OA上取點(diǎn)D，使得DP＝OQ，連接CD．∴OP+OQ＝OP+DP＝OD．∵∠1+∠2＝180°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3．∵CP＝CQ，在△CQO和△CPD中，∴△COQ≌△CDP（SAS）．∴∠4＝∠6，OC＝CD．∵∠4+∠5＝60°，∴∠5+∠6＝60°．即∠OCD＝60°．∴△COD是等邊三角形．∴OC＝OD＝OP+OQ＝4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．4．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，滿足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，過點(diǎn)D作DF⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段EF，DF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接CE，若AB＝2，請直接寫出線段CE長度的最小值．【答案】（1）見解析；（2）EF＝DF+BE，證明見解析；（3）CE的最小值為．【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）過點(diǎn)A作AM⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)M，可證四邊形AEFM是矩形，由“AAS”可證△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可證矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得結(jié)論；（3）取AB中點(diǎn)O，連接OC，由勾股定理可求OC＝5，由點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上，可得當(dāng)點(diǎn)E在OC上時，CE有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖，（2）線段EF，DF，BE的數(shù)量關(guān)系為：EF＝DF+BE，理由如下：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)M，∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，∴四邊形AEFM是矩形，∴∠DAE+∠MAD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＝∠MAD．又∵∠AEB＝∠M＝90°，∴△AEB≌△AMD（AAS）∴BE＝DM，AE＝AM，∴矩形AEFM是正方形，∴EF＝MF，∵M(jìn)F＝DF+DM，∴EF＝DF+BE；（3）如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OC，∵AB＝2∴OB＝，∴OC＝＝5，∵∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)E在OC上時，CE有最小值，∴CE的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，確定點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是本題的關(guān)鍵．5．已知∠MON=α，A為射線OM上一定點(diǎn)，OA=5，B為射線ON上一動點(diǎn)，連接AB，滿足∠OAB，∠OBA均為銳角．點(diǎn)C在線段OB上（與點(diǎn)O，B不重合），滿足AC=AB，點(diǎn)C關(guān)于直線OM的對稱點(diǎn)為D，連接AD，OD．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）求∠BAD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（3）若tanα=，點(diǎn)P在OA的延長線上，滿足AP=OC，連接BP，寫出一個AB的值，使得BP∥OD，并證明．【答案】（1）補(bǔ)全圖見解析；（2）180°﹣2α；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）首先證明∠D+∠ABO=180°，再利用四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可．（3）假設(shè)PB∥OD，求出AB的值即可．【詳解】解：（1）圖形，如圖所示．（2），關(guān)于對稱，，，，，，，，，，．（3）如圖2中，不妨設(shè)．作于，于．在中，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了軸對稱，等腰三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．6．在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，點(diǎn)D在AB上，連接CD，并將CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時，直接寫出DE與AE長度之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，①根據(jù)題意補(bǔ)全圖2；②猜想DE與AE長度之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）DE=AE；（2）①補(bǔ)全圖形見解析；②DE=AE，證明見解析.【分析】（1）想辦法證明△ADE是等邊三角形即可解決問題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②首先證明△的長，△FBC都是等邊三角形，再證明△ECF≌△DCB，推出∠4＝∠5＝60°，證明△EFA≌△EFC（SAS）可得結(jié)論．【詳解】解：（1）結(jié)論：DE＝AE．理由：如圖1中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等邊三角形，∴∠CDB＝60°，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，∵DA＝DC，DC＝DE，∴AD＝DE，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AE．（2）①圖形如圖2所示：②如圖2﹣1中，結(jié)論：DE＝AE．理由：取AB的中點(diǎn)F，連接CE，CF，EF．∵∠ACB＝90°，AF＝BF，∴CF＝AF＝BF，∵∠B＝60°，∴△BCF是等邊三角形，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△ECD是等邊三角形，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，∴∠1＝∠3，∴△ECF≌△DCB（SAS），∴∠5＝∠B＝60°，∵∠6＝60°，∴∠4＝∠5＝60°，∵EF＝EF，F(xiàn)A＝FC，∴△EFA≌△EFC（SAS），∴AE＝EC，∵EC＝ED，∴AE＝ED．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．7．如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)．點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)D為BC邊上一動點(diǎn)，連接DP，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，連接EC．（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，如圖2．①根據(jù)題意在圖2中完成作圖；②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明．（2）連接EM，寫出一個BP的值，使得對于任意的點(diǎn)D總有EM＝EC，并證明．【答案】（1）①作圖見解析；②EC⊥BC．證明見解析；（2）EM＝EC．證明見解析；【分析】（1）①由題意直接根據(jù)要求畫出圖形即可．②結(jié)論：EC⊥BC．證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解決問題．（2）由題意可知當(dāng)BP=時，總有EM=EC．如圖3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，連接NE，延長NE交BC于Q，連接EM，EC．通過計(jì)算證明QM=QC，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）①圖形如圖2中所示：②結(jié)論：EC⊥BC．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠EAD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴EC⊥BC．（2）當(dāng)BP＝時，總有EM＝EC．理由：如圖3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，連接NE，延長NE交BC于Q，連接EM，EC．∵PD＝PE，∠DPE＝∠SPN＝90°，∴∠DPS＝∠EPN，∵∠PSD＝∠N＝90°，∴△DPS≌△EPN（AAS），∴PH＝PS，∠PSD＝∠N＝90°，∵∠PEQ＝∠PSQ＝∠SPN＝90°，∴四邊形PNQS是矩形，∵PS＝PN，∴四邊形PNQS是正方形，∵BP＝，∠B＝45°，AB＝2，∴BS＝PS＝，BC＝2，∴BQ＝2BS＝，QC＝，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MC＝，∴MQ＝QC＝，∵EQ⊥CM，∴NQ是CM的垂直平分線，∴EM＝EC．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題.8．已知線段AB，過點(diǎn)A的射線l⊥AB．在射線l上截取線段AC＝AB，連接BC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BM上一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將△BPN逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DPE，B的對應(yīng)點(diǎn)為D，N的對應(yīng)點(diǎn)為E．（1）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)P不是AB中點(diǎn)時，①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；②證明：以A，M，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．（2）連接EM．若AB＝4，從下列3個條件中選擇1個：①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，當(dāng)條件（填入序號）滿足時，一定有EM＝EA，并證明這個結(jié)論．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見解析；②證明見解析；（2）③．【分析】（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE，AM．由題意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)可知△DPE≌△BPN，通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個角是直角的四邊形是矩形進(jìn)行判斷即可；（2）當(dāng)條件③BN=滿足時，一定有EM=EA．先證明四邊形FMDE是矩形再證明FE垂直平分AM，從而可得答案．【詳解】（1）①補(bǔ)全圖形如下：②證明：如圖，連接AE，AM．由題意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，則AM⊥BC，AM＝BC，∵旋轉(zhuǎn)，∴△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，∴ED⊥BC，∴ED∥AM，且ED＝AM，∴四邊形AMDE為平行四邊形．又∵AM⊥BC，∴∠AMD＝90°，∴四邊形AMDE是矩形．（2）答：當(dāng)條件③BN＝滿足時，一定有EM＝EA．證明：與（1）②同理，此時仍有△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝，DE⊥BC，取AM的中點(diǎn)F，連接FE，如圖所示：∵AB＝4，則AM＝4×sin45°＝2，∴FM＝．∴ED∥FM，且ED＝FM，∴四邊形FMDE是平行四邊形，又FM⊥BC，∴∠FMD＝90°，∴四邊形FMDE是矩形．∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，∴EA＝EM．故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定、矩形的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．9．已知，如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，將線段AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，連接CE．①求∠AED的度數(shù)；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）．（2）如圖2，將線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點(diǎn)E，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①45°，②；（2）①見解析，②，證明見解析【分析】（1）①證明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．②結(jié)論：．作CK⊥BC交BD于K，連接CD．證明BE＝EK，DK＝AE即可解決問題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②結(jié)論：．過點(diǎn)A作AF⊥AE，交ED的延長線于點(diǎn)F（如圖3），利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．∴AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠ABD＝∠D＝15°，∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．②結(jié)論：．理由：作CK⊥BC交BD于K，連接CD．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠BCK＝90°，∴∠CKB＝∠CBE＝45°，∴CB＝CE，∵CE⊥BK，∴BE＝EK，∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°，∴∠CDK＝∠CAE＝30°，∵∠CKD＝∠AEC＝135°，∴△CDK∽△CAE，∴＝＝，∴DK＝AE，∴BD＝BK+DK＝2BE+AE．（2）解：①圖形如圖2所示：②結(jié)論：．理由：過點(diǎn)A作AF⊥AE，交ED的延長線于點(diǎn)F（如圖3）．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AC，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠2＝∠CAD﹣∠BAC＝30°，∴∠3＝∠4＝75°，∴∠5＝∠4﹣∠1＝45°，∵AF⊥AE，∴∠F＝45°＝∠5，∴AF＝AE，∴EF＝AE，∵∠6＝∠EAF﹣∠1﹣∠2＝30°，∴∠6＝∠1＝30°，又∵∠F＝∠5＝45°，AD＝AB，∴△ADF≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC，∴CE＝BE，∵BD＝EF﹣DF﹣BE，∴BD＝AE﹣2CE．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．10．已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點(diǎn)，點(diǎn)H關(guān)于射線AQ的對稱點(diǎn)為C，連接AC，CB．（1）依題意補(bǔ)全圖；（2）CB的垂直平分線交AQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．連接CE，HE，EB．①求證：△EHB是等腰三角形；②若AC+AB＝AE，求的值．【答案】（1）補(bǔ)圖見解析；（2）①證明見解析；②．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）①證明△ACE≌△AHE（SAS），推出EC＝EH，由EF垂直平分線段BC，推出EC＝EB可得結(jié)論；②如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．首先證明AC+AB＝2AM，結(jié)合已知條件可得4AM＝AE，在Rt△AEM中，根據(jù)＝求解即可解決問題．【詳解】（1）圖形如圖1所示：（2）①證明：如圖2中，∵C，H關(guān)于AQ對稱，∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴EC＝EH，∵EF垂直平分線段BC，∴EC＝EB，∴EH＝EB，∴△EHB是等腰三角形．②解：如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．∵EH＝EB，EM⊥BH，∴HM＝MB，∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，∵AC+AB＝AE，∴4AM＝AE，在Rt△AEM中，＝＝，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角函數(shù)值，等腰三角形的判定有：①依據(jù)等腰三角形的定義，證兩邊相等；②根據(jù)等角對等邊，證兩角相等，求一個角的三角函數(shù)值需要放到直角三角形中，所求角不在直角三角形的，往往需要作垂直．11．△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到線段AD．作射線BD，點(diǎn)C關(guān)于射線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．連接AE，CE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若α＝20°，直接寫出∠AEC的度數(shù)；（3）寫出一個α的值，使AE＝時，線段CE的長為﹣1，并證明．【答案】（1）見解析；（2）∠AEC＝135°；（3）α＝30°，證明見解析【分析】（1）作CF⊥BD并延長CF到E使EF＝CF，如圖1，（2）連結(jié)BE，如圖2，利用對稱的性質(zhì)得BE＝BC，則BC＝BE＝BA，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，由四邊形的內(nèi)角和可計(jì)算出∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°，進(jìn)而得到2（∠BEC+∠BEA）＝270°，即可證得∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°；（3）如圖2，先證明△AGE為等腰直角三角形，則AG＝GE＝1，當(dāng)α＝30°時，則∠EBC＝30°，進(jìn)而求得∠ACG＝30°，解直角三角形求得CG＝，即可證得CE＝CG﹣EG＝﹣1．【詳解】解：（1）如圖1，（2）∠AEC＝135°，證明：過A作AG⊥CE于G．連接AC、BE，如圖2，由題意，BC＝BE＝BA，∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°∵∠ABC＝90°，∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，（3）α＝30°，證明：∵∠AEC＝135°，∴∠AEG＝45°，∵AE＝，∴AG＝GE＝1，當(dāng)α＝30°時，∴∠EBC＝30°，∵BC＝BE，∴∠BCG＝75°，∵∠BCA＝45°，∴∠ACG＝30°，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，也考查了對稱的性質(zhì)和解直角三角形等．12．