新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用教案

平面向量的概念

【教學(xué)重難點】【教學(xué)目標】【核心素養(yǎng)】

了解平面向量的實際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個向量（向量的模）能否比較大?。?/p>

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量初與向量明是相等向量嗎？

二、新知探究

1.向量的相關(guān)概念

例1：給出下列命題：

①若成=氏,則4,B,C,。四點是平行四邊形的四個頂點；

②在口A8CO中，一定有油=成;

③若a=b,b=c,則0=。.

其中所有正確命題的序號為.

解析：碎=氏,A,B,C,O四點可能在同一條直線上，故①不正確；在口A8CQ中，

|=|成1，屈與反平行且方向相同，故碇=戊,故②正確；。=方，則|。|=制，且。與b的方向

相同；b=c,則步|=|c|,且。與c的方向相同，則。與。長度相等且方向相同，故。=小故③

正確.

答案：②③

教師小結(jié)

（1）判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件

①有大??；②有方向.兩個條件缺一不可.

(2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

2.向量的表示

例2：在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

(1)況，使|以|=4啦，點4在點。北偏東45。方向上；

(2)初，使勵|=4,點8在點A正東方向上；

(3)祝，使|反］=6,點C在點B北偏東30。方向上.

解：(1)由于點4在點。北偏東45。方向上，所以在坐標紙上點A距點。的橫向小方格

數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|次|=4啦，小方格的邊長為1,所以點A距點。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點A的位置可以確定，畫出向量以，如圖所示.

(2)由于點8在點A正東方向上，且|勸|=4,所以在坐標紙上點8距點A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點8的位置可以確定，畫出向量牯，如圖所示.

(3)由于點。在點8北偏東30。方向上，且|m=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標紙上點

。距點8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3小之5.2,于是點C的位置可以確定，畫出向

量品，如圖所示.

教師小結(jié):

用有向線段表示向量的步驟

3.共線向量與相等向量

例3；如圖所示，。是正六邊形人?COE/7的中心，且厲一a,Oh-b,在每兩點所確定的

向量中.

（1）與。的長度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）與。共線的向量有哪些？

解：（1）與。的長度相等、方向相反的向量有仍，沈，硒、電

（2）與。共線的向量有辦，豉,況），F(xiàn)k,Ch,而，初，況，Ab.

互動探究：

（1）變條件、變問法：本例中若。t'=c,其他條件不變，試分別寫出與a,b,c相等的向

量.

解：與〃相等的向量有分，D&,內(nèi)與〃相等的向量有力Eb,M；與。相等的向量

有m,Eb,Ah.

（2）變問法：本例條件不變，與動共線的向量有哪些？

解：與中共線的向量有辦，炭，帥,在，Ch,而,R）,血，況.

教師小結(jié)

共線向量與相等向量的判斷

（1）如果兩個向量所在的直線平行或重合，那么這兩個向量是共線向量.

（2）共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

（3）非零向量的共線具有傳遞性，即向量〃，b,c為非零向量，若?！?b//c,則口J推

出a//c.

注意：對于共線向量所在直線的位置關(guān)系的判斷，要注意直線平行或重合兩種情況.

【課堂總結(jié)】

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個要素：起直、之面、長度.

③表示：在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、8為終點的有向線段

記作亂.

④長度：線段八〃的長度也叫做有向線段油的長度，記作曲.

（3）向量的表示

2.向量的有關(guān)概念

（1）向量的模（長度）：向量A5的大小，稱為向量息的長度（或稱模），記作曲.

（2）零向量：長度為QJ勺向量，記作0.

（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

3.兩個向量間的關(guān)系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫撤共線向量.若〃，入是平行向量，記

作a//b.

規(guī)定：零向量與任意向量與行,即對任意向量小都有0〃〃.

（2）相等向量：長度超筌且方向相同的向量，若。，方是相等向量，記作。=從

■名師點撥

（1）平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別.

（2）共線向量所在直線可以平夕亍，與平面幾何中的共線不同.

（3）平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

【課堂檢測】

1.如圖，在%8c。中，點E,尸分別是AB,CD的中點，圖中與At平行的向量的個數(shù)為

（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.圖中與后：平行的向量為加，F(xiàn)b,卮共3個.

2.下列結(jié)論中正確的是（）

①若a〃b且同=|例，則。=方；

②若。=4則?！āㄇ襹。|=|例；

③若。與》方向相同且⑷=仍|,則。=岳

④若a*b,則0與b方向相反且0用b|.

A.①③B.②③

C.③④D.@<4)

解析：選B.兩個向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯誤，。，方可能反向；②③正

確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等.

3.已知。是正方形ABCO對角線的交點，在以O(shè),A,B,C,。這5點中任意一點為起

點，另一點為終點的所有向量中，寫出：

(1)與沅相等的向量；

(2)馬加長度相等的向量；

(3)與力A共線的向量.

解：畫出圖形，如圖所示.

(1)易知BC=ADf

所以與覺相等的向量為

(2)由。是正方形ABCO對角線的交點知OB=OD=OA=OC,

所以與防長度相等的向量為尻)，沈，cb,況，初，亦Db.

(3)與用共線的向量為初，前,ch.

平面向量的應(yīng)用

【第一課時】

教學(xué)重難點教學(xué)目標核心素養(yǎng)

會用向量方法解決平面幾何中的

向量在平面幾何中的應(yīng)用平行、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

垂直、長度、夾角等問題

會用向量方法解決物理中的速

向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算

度、力學(xué)問題

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.利用向量可以解決哪些常見的幾何問題?

2.如何用向量方法解決物理問題？

二、新知探究

探究點1;

向量在幾何中的應(yīng)用

角度一：平面幾何中的垂直問題

例1：如圖所示，在正方形A8co中，E,尸分別是AB,8C的中點，求證:

AFLDE.

證明：法一：設(shè)m=a,Ah=b.

則⑷=|加,a?b=0,

又力丘=一0+上,#=筋+辦=方+%,

所.俄=(〃+為(_a+W=_%2—]/+/2=_/2+如2=0.

故油J_盼，即AF_L￡>￡

法二：如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0),

D(0,2),E(1,0),F(2,1),#=(2,1),降=(1,-2).

因為#?阮=(2,1)?(1,-2)=2-2=0,

所以協(xié)_L瓦，即4F_LOE.

角度二：平面幾何中的平行(或共線)問題

圓②：如圖，點O是平行四邊形A8CQ的中心，E,尸分別在邊CO,AB

CFAF1

上，且寸=而=求證：點尸在同一直線上.

LDrD5Z.E，O，

證明：設(shè)初=加，才力=〃，

CEAF1

由而=而=知尸分別是。>，的三等分點,

匕Drn5Z，￡，AB

1J、111

=-W旭十］3〃十?〃)=4相+］〃,

破祀+；仍

1,,.11,1

=2vtn-tn)-］，X=不，〃十］/1.

所以劭=旗.

又。為劭和尚的公共點，故點E,O,b在同一直線上.

角度三：平面幾何中的長度問題

頤引：如圖，平行四邊形A8CQ中，已知A￡>=1,A8=2,對角線80=

2,求對角線AC的長.

解：設(shè)勸=。，A^=b,則m=a—》，配=°+》，

而|Bt)\—\a-b\~yjcr—lab-^b2~yj1-\-4-2ab—、5—2ab—2,

所以5—2〃彷=4,所以。心=當，又|At|2=|a+bF=a2+2a.8+〃2=]+4+2a.b=6,所以|祀

1=木,即AC=班.

陽宿團附

用向量方法解決平面幾何問題的步驟

立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量

表示問題中涉及的幾何元素.

(“化)-]將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題]

(￡算卜一fk過向量運算,研究幾何元素間的關(guān)系)

([?〉T用運算結(jié)果判斷幾何問題中的關(guān)系〕

保究點@___________

向量在物理中的應(yīng)用

履M：(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25

km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

(2)己知兩恒力尸i=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20,15)

移動到點8(7,0),求人，尸2分別對質(zhì)點所做的功.

解：(1)如圖，設(shè)牯表示水流的速度，勸表示渡船的速度，祝表示渡船實

際垂直過江的速度./|?一|

因為筋+初=祝，所以四邊形A8CO為平行四邊形.

在RSACD中，ZACD=90°,|成|=|彷|=12.5.

|勸|—25,所以NCAD—30。，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30。.

(2)設(shè)物體在力尸作用下的位移為s,則所做的功為W=Fs.

因為息=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以用=尸|?息=(3,4)?(-13,-15)

=3x(-13)+4x(-15)=-99(焦)，

牝=尸2?初=(6,-5)?(-13,-15)

=6x(—13)+(—5)x(—15)=—3(焦).

畫陶防固

用向量方法解決物理問題的“三步曲”

表示〉_-把物理問題中的相關(guān)量用向量表示

轉(zhuǎn)化為向量問題的模型,通過向量的運算

使問題得以解決

遷原》_?把結(jié)果遷原為物理問題

三、課堂總結(jié)

1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”

/X建立平面幾何與向好的聯(lián)系，用向一表

對發(fā)一示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何

問題轉(zhuǎn)化為向量問題

4介,一通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)

7系,如距離、夾角等問題_____________

把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系'

2.向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的減法和加法

相似，可以用向量的知識來解決.

(2)物理學(xué)中的功是一個標量，即為力尸與位移s的數(shù)量積，即W=Fs=|6|s|cos。(0

為尸與s的夾角).

四、課堂檢測

1.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜

水中的速度大小為()

A.10m/sB.2\[26m/s

C.4y[6m/sD.12m/s

解析：選B.由題意如卜水|=2m/s,,冊|=10m/s,作出示意圖如圖.

所以小船在靜水中的速度大小

必=11。2+22=2而(m/s).

2.已知三個力力=(-2,-1),力=(-3,2),f3=(4,-3)同時作用于某物體上一

點，為使物體保持平衡，再加上一個力角，則八=()

A.(—1,—2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：選D.由物理知識知力+力+力+加=0,故4=一(/+及+力)=(1,2).

3.設(shè)P，。分別是梯形ABC。的對角線AC與8。的中點，ABVOC,試用向量證明：PQ

//AB.

證明：設(shè)反=工(2>0且￥1),因為匝=電一介=勸+匝一^^勸+卜眇一祝)

=AS+1[(AZ)-AS)-(AS+Dt)]

=油+；(cb-A^)

=z(Ct)+A^)=z(—2+1)A§,

所以電〃牯，又P,Q,A,8四點不共線，所以尸?！ˋB.

【第二課時】

教學(xué)重難點教學(xué)目標核心素養(yǎng)

余弦定理了解余弦定理的推導(dǎo)過程邏輯推理

掌握余弦定理的幾種變形公式及應(yīng)

余弦定理的推論數(shù)學(xué)運算

用

能利用余弦定理求解三角形的邊、

三角形的元素及解三角形數(shù)學(xué)運算

角等問題

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.余弦定理的內(nèi)容是什么？

2.余弦定理有哪些推論？

二、新知探究

探究點畫____________________________

已知兩邊及一角解三角形

■H：(1)(2018?高考全國卷U)在"BC中，cos/冬BC=1,AC=5,則AB=()

A.4^/2B.而

C.^29D.2小

(2)已知"BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=布，c=2,cosA=|,則力

)

^

2V3

Ac.B.

D.1

c寸3

2-=2-

25所以由余弦定理，得A"=AC2+8C2

-2AC-BCcosC=25+1-2x5x1xf-|j=32,所以48=46，故選A.

（2）由余弦定理得5=22+/一2乂2反0$4

2

因為cosA=g,所以34—88—3=0,

所以/?=3（。=一（舍去）.故選D.

答案：（1）A

（2）D

互動探究：

變條件：將本例⑵中的條件“a=鄧,c=2,cosA=1w改為“4=2,c=2，5,cosA=

誓,求人為何值？

解：由余弦定理得：

層=6+/—2bccosA,

所以22=〃+（273）2—2xbx2/X乎，

即從一66+8=0,解得6=2或b=4.

規(guī)律方法：

解決“已知兩邊及一角”解三角問題的步驟

（1）用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長.

（2）再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.

探究點2：

己知三邊（三邊關(guān)系）解三角形

（1）在△45C中，已知〃=3,b=5,c=V19,則最大角與最小角的和為（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

（2）在△ABC中，若（a+c）（以一c）=b（Z?—c）,則A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：（1）在△ABC中，因為。=3,6=5,。=梅，

所以最大角為8,最小角為A,

+廬一/9+25—19I

所以cosC=-=5,所以C=60。，所以A+8=120。，所以△ABC中

LUu乙八3八3乙

的最大角與最小角的和為120。.故選B.

（2）因為（a+c）（6f—c）=b（/?—c）,所以按+/—〃2=6C,所以cos4=

2bc

因為(0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

膽宿園附

已知三角形的三邊解三角形的方法

先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論求

出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.

注意：若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入3從而轉(zhuǎn)化為己知三邊求

探究點3：

判斷三角形的形狀

陽⑶：在A48C中，若Z?2sin2C4-c2sin2B=2Z?ccos8cosC,試判斷"8C的形狀.

解：將已知等式變形為

b1(1—cos2C)-\~(r(1—COS2B)=2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

/+?一//+啟一廿

=2菠2acx2ab，

Ml”JIa[(c^+b^—c2)+(居+?—按)]24a4)

所以Zr+/=4^2=/=礦.

所以A=90。.所以^ABC是直角三角形.

規(guī)律方法：

(1)利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑

①化邊的關(guān)系：將條件中的角的關(guān)系，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷.

②化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換得出關(guān)系進行判斷.

(2)判斷三角形時經(jīng)常用到以下結(jié)論

①4ABC為直角三角形=/=戶+°2或廿=標+/或廬=々2+^2.

②△ABC為銳角三角形=〃2+〃>/,且〃+。2>〃2,且/+。2>02

③△ABC為鈍角三角形=/+〃</或62+。2<々2或/+々2V/.

7T

④若sin2A=sin28,則A=B或A+B=].

三、課堂總結(jié)

1.余弦定理

三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾

文字語言

角的余弦的積的兩倍

標=?+c2-2bccos_A

符號語言〃2=42+(?-2-ccosB

<?=層+/一2aZ?cosC

2.余弦定理的推論

戶+/一/

cosA=2bc:

?+c2—護

cosB-------------；

2ac

〃2+從一寸

cos2ab-

3.二角形的元素與解二角形

（1）三角形的元素

三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

四、課堂檢測

1.在△ABC中，已知。=5,b=7,c=8,則4+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

/+C2—從25+64—49

解析：選

B.cosB=lac-2x5x8

所以8=60。，所以A+C=120。.

2.在中，已知（〃+Z?+c）（8+c—a）=3bc,則角4等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選B.因為（8+c）2-/=/+/+2從一々2=3兒，

所以序+c2一/=加，

/+/一1

所以cosA=----赤---=2，所以A=60。.

3.若△A8C的內(nèi)角A,B,。所對的邊小b,c滿足（a+h）2-?=4,且C=60。，則取?

解析：因為。=60。，所以°2=“2+從—2abcos60。,

即/—/+從一々b.①

又因為（a+Z?）2—C2=4,

所以/MM+/+ZHJ-ZL②

4

由①②知一"=2"—4,所以砧=）.

答案：|4

4.在△A8C中，acosA+bcosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀.

〃+/-CT02+/—。2々2+。2-^2

解：由余弦定理知cosA=雙，cosB=Z—,cosC=^-7,代入已知條

“/日/+/—〃2(?+612—Z?2,c1—cr—tr

件得oF^+.F^~+c.F^=°,

通分得。2(加+c2—/)+Z?2(c2+c2—Z?2)4-C2(/一/一從)=0,

展開整理得(序一加)2=/.

所以〃2一/二土/,即/=〃+/或"=/+/.

根據(jù)勾股定理知AABC是直角三角形.

【第三課時】

教學(xué)重難點教學(xué)目標核心素養(yǎng)

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系

正弦定理的探索，掌握正弦邏輯推理

定理的內(nèi)容及其證明方法

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？

2.正弦定理的內(nèi)容是什么？

二、新知探究

探究點@____________________________

已知兩角及一邊解三角形

jam：在AABC中，已知c=10,4=45。，C=30°,解這個三角形.

【解】因為4=45。，C=30°,所以3=180。一（A+C）=105°.

,_ac但csinA…sin45°,八r-

由而入=而下得a=sinC=10xsin30°=，

因為。+。)所以里平

sin75o=sin(3045=sin300cos450+cos30°sin45°=^t4^,^=sinc

lOxsin(A+C)八小十,.r-

—而行一:20x乂仔=5啦r+5旗.

期宿團四

已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路

(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內(nèi)角和

定理求出第三個角.

(2)若所給邊不是己知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定

理求另外兩邊.

探究點酉__________________________

已知兩邊及其中一邊的對角解皿眨

麗已知AABC中的下列條件，解三角形：

(1)。=10,b=20,A=60°；

(2)。=2,c=&,。=$

解：⑴因為磊=去,

所以58=”$=型喏￡=?。?,

所以三角形無解.

/八e、1ac.4-sinCyl2

(2)因為忑港=而下，所以sinA=—

因為c>a,所以C>A.所以4=；.

師&5兀csinB"s'"12r-

s,n3

互動探究：

變條件：若本例⑵中。=當改為A=其他條件不變，求C,B,b.

解：因為嬴不=而下’所以smC=[^=^?

所以C=1或竽.

當c=1時，B=E，"=^T=/+L

山人27C-,nn,t/sinB(-

當C=3■時，8=五，力=飛病=小-1.

期陶園附

(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路

①首先由正弦定理求出另一邊充角的正弦值；

②如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另

一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；

③如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可

求兩個角，要分類討論.

(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法

①應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)；

②在△ABC中，已知小人和4,以點。為圓心，以邊長。為半徑畫弧，此弧與除去頂點

A的射線48的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，解E向個數(shù)見下表：

A為鈍角A為直角A為銳角

a>b一解一解一解

a=b無解無解一解

<z>/?sinA兩解

a<b無解無解a=bsinA一解

a<bs\nA無解

搽究點同L

判斷三角形的形狀

匐引：已知在△ABC中，角A,B所對的邊分別是4和。，若〃cos8=6cosA,則ZkABC一

定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：tzcosB=/?cosA=>sinAcosB=sinBcosA^sin(A—8)=0,由于一兀

<A-B<n1故必有4—8=0,A=B,即8c為等腰三角形.

答案：A

互動探究：

變條件：若把本例條件變?yōu)椤罢韎n3=csinC”，試判斷△ABC的形狀.

解：由bsinB=csinC可得sin23=sin2。，因為三角形內(nèi)角和為180。，

所以sinB=sinC.所以B=C.故為等腰三角形.

施陶防tsi

判斷三角形形狀的兩種途徑

：前甫定密夏逅兔己身泰祥需在有豆￡美系：

化邊，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，

；從而判斷三角形的形狀

利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三

角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形

得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形

狀，此時要注意應(yīng)用A+BW>x這個結(jié)論

注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏

解.

三、課堂總結(jié)

1.正弦定理

在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,C

abc

sinAsinBsinC

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

■名師點撥

對正弦定理的理解

（1）適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

（2）結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.

（3）揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式,

它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

2.正弦定理的變形

若R為△ABC外接圓的半徑，則

（1）a=2RsinA,h=2RsinB,c=2RsinC；

(3)sinA：sin8：sinC=a:b：c；

,、〃+b+c

sinA+sinB+sinC

四、課堂檢測

1.（2019?遼寧沈陽鐵路實驗中學(xué)期中考試）在△ABC中，A8=2,AC=3,8=60。，則cos

C=1）

C.坐D.f

解析：選B.由正弦定理，得券=黑，即言=懸兩，解得sinC=^,因為48V

olll5UIJD5111willDUJ

AC,所以CVB,所以cosC=[l一5訪2。=卓.

2.在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且4：8：C=1：2：3,貝U〃：b：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：?。?D.1：?。?

解析：選D.在AA8C中，因為A：8：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+8+C

=180°,所以A=30。，B=60°,C=90°,所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:?。?.

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是〃，b,c,若c-acos8=(2a—b)cosAf則

△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：選D.已知c—acos8=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcos8=2sinAcos

A-sinBcosA,所以sin(A+B)—sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA,化簡得cosA(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sinB—sin4=0,則A=90。或A=B,故ZiABC為等腰三角形或直

角三角形.

【第四課時】

教學(xué)重難點教學(xué)目標核心素養(yǎng)

理解測量中的基線等有關(guān)名詞、

測量中的術(shù)語直觀想象

術(shù)語的確切含義

會利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實

測量距離、高度、角度問題踐中的有關(guān)距離、高度、角度等數(shù)學(xué)建模

問題

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.什么是基線？

2.基線的長度與測量的精確度有什么關(guān)系?

3.利用正、余弦定理可解決哪些實際問題？

二、新知探究

搽究點畫__________________________

測量距離問題

海上A,B兩個小島相距10海里，從4島望C島和3島成60。的視角，從8島望

。島和A島成75。的視角，則8島與。島間的距離是.________

解析：如圖，在aABC中，ZC=180°-(NB+NA)=45。，

由正弦定理,可得低=焉,4=1

所以8c=/10=5加(海里).

答案：5%海里

變條件：在本例中，若“從8島望。島和A島成75。的視角”改為“A,。兩島相距20海

里”，其他條件不變，又如何求8島與C島間的距離呢？

解：由已知在△4BC中，AB=10,AC=20,ZBAC=60°,即已知兩邊和兩邊的夾角，利

用余弦定理求解即可.

8(?=AB2+AC2-2ABAGcos60°=102+202-2x10x20x|=300.故BC=

即8,C間的距離為1即海里.

陽宿團附

測量距離問題的解題思路

求解測量距離問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個

三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時，盡量把己知元素放在同一

個三角形中.

探究點@__________________________

測量高度問題

麗：如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公

路北側(cè)一山頂。在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達8處，測得此山頂

在西偏北75。的方向上，仰角為30。，則此山的高度8=m.

解析：由題意，在△4BC中，ZBAC=30°,Z4BC=180°-75°=105°,故NAC8=45°.

又48=60()m,故由正弦定理得;系2

解得BC=30Mm.在RS8CD中，C0=8Ctan30。=30（）7^＜坐=10順（m）.

答案：10加

互動探究：

變問法：在本例條件下，汽車在沿直線AB方向行駛的過程中，若測得觀察山頂O點的最

大仰角為a,求tana的值.

解：如圖，過點C,作CE_LA8,垂足為E,則NDEC=a,由例題可知，

/CBE=75。,BC=30072,

所以CE=BCsin/CBE

=300V2sin75°

=30MX'￥

=150+l5（h/3.

DC10廝3啦一加

所rrhI以.。=在=]50+15即=3.

期宿團附

測量高度問題的解題思路

高度的測量主要是一些底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理

或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形

的問題.這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐,

再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度.

探究點@________________

測量角度問題

SBT31：島A觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時10

海里的速度向東南方向航行（如圖所示），觀察站即刻通知在島A正南方■_]

向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北

偏東75。方向且相距10海里的。處，隨即以每小時1麗海里的速度前往

攔截.

（1）問：海監(jiān)船接到通知時，在距離島A多少海里處？

（2）假設(shè)海監(jiān)船在。處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時間.

解：（1）根據(jù)題意得N84C=45。，N48C=75。，BC=10t

所以ZACB=180°-75。-45。=60°,

AB_BC

在AABC中，由sinZACB=sinZBACf

8CsinNAC8_10sin600_

sinZBAC-sin45°'

2

所以海監(jiān)船接到通知時，在距離島A5加海里處.

（2）設(shè)海監(jiān)船航行時間為1小時,則8=10，,

又因為NBCD=180。一NACB=180。-60。=120。，

所以BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos120°,

所以300^=100+100/2-2xl0xl0rf-^,

所以2戶一，-1=0,

解得t=\或r=—1（舍去）.

所以。。=10,所以8C=CQ,

所以NC3O=；（180。—120。）=30°,

所以443。=75。+30。=105。.

所以海監(jiān)船沿方位角1（）5。航行，航行時間為1個小時.

（或海監(jiān)船沿南偏東75。方向航行，航行時間為1個小時）

陽宿團四

測量角度問題的基本思路

（1）測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，在圖形中

標出相關(guān)的角和距離.

（2）根據(jù)實際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的

解.

三、課堂總結(jié)

1.基線

在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線

實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語

名稱定義圖示

視線

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線錯和角

仰角看

的夾角一水平線

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線望7!^水平線

俯角

的夾角

南偏西60。（指以正南

方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標

從指定方向線到目標方向線的水平角（指定方向線方向線形成的角）

方向角

是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90。）西］

北

從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉(zhuǎn)過的水

方位角。遂

平角

四、課堂檢測

1.若P在。的北偏東44。50,方向上，則。在尸的（）

A.東偏北45。10,方向上B.東偏北45。50'方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：選C.如圖所示.

2.如圖，C,B三點在地面同一直線上，從地面上C,。兩點望山頂A,測得它們的

仰角分別為45。和30。，已知CD=200米，點。位于B。上，則山高4B等于（）

A

A.10岫米B.50（V3+1）米

C.100（V3+1）米D.200米

解析：選C.設(shè)AB=x米，在RSAC3中，ZACB=45°,

所以BC=4B=x.

在RSAB。中，ZD=30°,則8。=小43=小尤

因為BD-8C=CQ,所以小4一尸200,

解得x=100（^3+1）.故選C.

3.已知臺風中心位于城市A東偏北a（a為銳角）度的150公里處，以v公里〃J、時沿正

西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北夕（￡為銳角）度的200公里處，若cosa

=4cos夕，則u=（）

A.60B.80

C.100D.125

解析：選C.畫出圖象如圖所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

+￡）①，由正弦定理得點，=W，所以sina=gsinp.又cosafcos^,sin2a+cos2a=

sin"sinj

3443I?12

1,解得5由4=亍故cos4=5,sina=5，cosa=$,故cos(a+.)25—25=0,代入①解得

v=1