2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.1-3.2.2兩角差的余弦函數(shù)兩角和與差的正弦余弦函數(shù)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修4

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十四兩角差的余弦函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)(20分鐘35分)1.在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,則△ABC肯定為 ()A.等邊三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選D.因?yàn)閟inAsinB<cosAcosB,所以cosAcosB-sinAsinB>0,所以cos(A+B)>0,因?yàn)锳,B,C為三角形的內(nèi)角,所以A+B為銳角,所以C為鈍角.2.已知cosQUOTE=-QUOTE(α為銳角),則sinα= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閏osQUOTE=-QUOTE(α為銳角),所以sinQUOTE=QUOTE,則sinα=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知函數(shù)f(x)=QUOTEsin(2x+θ)+cos(2x+θ)為偶函數(shù),且在QUOTE上為增加的,則θ的一個(gè)值可以是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意f(x)=QUOTEsin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2QUOTE=2sinQUOTE.若f(x)為偶函數(shù),則有θ+QUOTE=kπ+QUOTE,即θ=kπ+QUOTE,k∈Z,綜合選項(xiàng)可知,當(dāng)k=-1時(shí),θ=-QUOTE,f(x)=2sinQUOTE=-2cos2x滿意偶函數(shù)且在QUOTE上為增加的,滿意題意.4.計(jì)算:sin119°sin181°-sin91°sin29°=.

【解析】原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin29°=cos29°(-sin1°)-cos1°sin29°=-(sin29°cos1°+cos29°sin1°)=-sin(29°+1°)=-sin30°=-QUOTE.答案:-QUOTE5.在△ABC中,cosA=QUOTE,且cosB=QUOTE,則cosC等于.

【解析】由cosA>0,cosB>0知A,B都是銳角,所以sinA=QUOTE=QUOTE,sinB=QUOTE=QUOTE,所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.設(shè)cosQUOTE=-QUOTE,sinQUOTE=QUOTE,其中α∈QUOTE,β∈QUOTE,求cosQUOTE.【解題指南】視察已知角和所求角,可知QUOTE=QUOTE-QUOTE,故可利用兩角差的余弦公式求解.【解析】因?yàn)棣痢蔘UOTE,β∈QUOTE,所以α-QUOTE∈QUOTE,QUOTE-β∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTE·sinQUOTE=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形態(tài)肯定是 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【解題指南】依據(jù)sinC=sin(A+B),利用兩角和的正弦公式綻開求解.【解析】選C.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,亦即sin(A-B)=0,所以A-B=0,A=B,則△ABC是等腰三角形.2.已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=-QUOTE,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.由已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=-QUOTE,得sinαcosβ+cosαsinβ=QUOTE,sinαcosβ-cosαsinβ=-QUOTE,兩式分別相加減得sinαcosβ=-QUOTE,cosαsinβ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.3.已知角α,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,cos(α+β)=QUOTE,則sinβ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)榻铅?β∈QUOTE,所以0<α+β<π,又sinα=QUOTE,cos(α+β)=QUOTE,所以cosα=QUOTE=QUOTE,sin(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinβ=sinQUOTE=sinQUOTEcosα-cosQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.若f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是削減的,則m的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.f(x)=cosx-sinx=QUOTEcosQUOTE,由2kπ≤x+QUOTE≤π+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE+2kπ,k∈Z.取k=0,得-QUOTE≤x≤QUOTE.又f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是削減的,所以QUOTE解得0<m≤QUOTE,所以m的最大值是QUOTE.5.已知α,β均為銳角,則下列不等式肯定成立的是 ()A.sinQUOTE>sinα+sinβB.sinQUOTE<sinα+sinβC.cosQUOTE>cosα+cosβD.cosQUOTE<sinα+sinβ【解析】選B.對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)α=β=QUOTE時(shí),sinQUOTE<sinα+sinβ,故A選項(xiàng)不肯定成立.對(duì)于B選項(xiàng),由于α,β均為銳角,所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范圍均為QUOTE,所以sinQUOTE=sinαcosβ+sinβcosα<sinα+sinβ,故B選項(xiàng)不等式肯定成立.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)α=β=QUOTE時(shí),cosQUOTE<cosα+cosβ,故C選項(xiàng)不肯定成立.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)α=β=QUOTE時(shí),cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE,sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以sinα+sinβ=QUOTE×2=QUOTE,cosQUOTE>sinα+sinβ,故D選項(xiàng)不肯定成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知向量a=QUOTE,b=(4,4cosα-QUOTE),若a⊥b,則sinQUOTE=.

【解題指南】由a⊥b,知a·b=0,利用兩向量數(shù)量積坐標(biāo)表示整理可得.【解析】由題意,得4sinQUOTE+4cosα-QUOTE=0,即4sinαcosQUOTE+4cosαsinQUOTE+4cosα-QUOTE=0,所以2QUOTEsinα+6cosα=QUOTE,整理,得4QUOTEsinQUOTE=QUOTE,故sinQUOTE=QUOTE,sinQUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE7.函數(shù)fQUOTE=sinQUOTE-2sinφcosQUOTE的最大值為,最小值為.

【解析】因?yàn)閒QUOTE=sinQUOTE-2sinφcosQUOTE=sinQUOTE-2sinφcos(x+φ)=sinQUOTEcosφ-sinφ·cosQUOTE=sinx,所以函數(shù)fQUOTE的最大值為1,最小值為-1.答案:1-18.若8sinα+5cosβ=6,8cosα+5sinβ=10,則sin(α+β)=.

【解析】由8sinα+5cosβ=6,兩邊平方,得64sin2α+80sinαcosβ+25cos2β=36.①由8cosα+5sinβ=10,兩邊平方,得64cos2α+80cosαsinβ+25sin2β=100.②①+②,得64+25+80(sinαcosβ+cosαsinβ)=136.所以sin(α+β)=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.(1)已知sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,其中α∈QUOTE,β∈QUOTE,求cos(α+β);(2)已知cosα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,且0<β<α<QUOTE,求β的值.【解析】(1)因?yàn)棣痢蔘UOTE,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,所以cosα=-QUOTE,sinβ=QUOTE,所以cosQUOTE=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-1.(2)因?yàn)?<α<QUOTE,cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,因?yàn)?<β<α<QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,所以0<α-β<QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以β=QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=QUOTEsin(ωx+φ)QUOTE的圖像關(guān)于直線x=QUOTE對(duì)稱,且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.(1)求ω和φ的值.(2)若fQUOTE=QUOTE,求cosQUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)的圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π,所以f(x)的最小正周期T=π,從而ω=QUOTE=2.又因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x=QUOTE對(duì)稱,所以2·QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k=0,±1,±2,….由-QUOTE≤φ<QUOTE,得k=0,所以φ=QUOTE-QUOTE=-QUOTE.(2)由(1)得fQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.由QUOTE<α<QUOTE得0<α-QUOTE<QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因此cosQUOTE=sinα=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.若cos(α-β)=QUOTE,cos2α=QUOTE,并且α,β均為銳角,且α<β,則α+β的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】依據(jù)α+β=2α-(α-β),先求cos(α+β),再依據(jù)α+β的范圍求值.【解析】選C.因?yàn)?<α<β<QUOTE,所以-QUOTE<α-β<0,0<2α<π,所以由cos(α-β)=QUOTE,得sin(α-β)=