2025屆高考數(shù)學二輪考前復(fù)習第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點專題專題6不等式學案文含解析

PAGE專題6不等式1.基本不等式解題的兩個留意點(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0;(2)等號成立的條件:當且僅當a=b.2.求目標函數(shù)最值的一般步驟①畫域依據(jù)線性約束條件,畫出可行域②轉(zhuǎn)化將目標函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,確定z的幾何意義③平移畫出目標函數(shù)等于0時的直線l,平行移動直線l,使平移后的直線與可行域有公共點④求值求出最優(yōu)解得坐標,代入目標函數(shù),即可求出最值.1.推斷不等式是否成立的方法(1)利用不等式的性質(zhì):依據(jù)不等式的性質(zhì)推理論證;(2)特別值驗證法:對于有肯定限制條件的選擇題,用特別值驗證更簡潔.2.正確選用方法求最值(1)已知關(guān)于變量的等式,求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題,采納拼湊法.(2)已知兩變量之間的和或積為常數(shù)時,求解有關(guān)代數(shù)式的最值問題,采納常數(shù)代換法.3.確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法(1)直線定界:即若不等式不含等號,則應(yīng)把直線畫成虛線;若不等式含有等號,則把直線畫成實線.(2)特別點定域:當C≠0時,常把原點作為測試點;當C=0時,常選取QUOTE,QUOTE作為測試點.1.分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式時簡潔忽視分母不為零的限制【案例】T7不等式QUOTE<0等價于QUOTE2.簡潔忽視基本不等式“一正二定三相等”的限制【案例】T3已知x>1,故將4x+1+QUOTE轉(zhuǎn)換成4QUOTE+QUOTE+5后,可以用基本不等式求最小值,假如題目已知換成x<1,此時就要提取負號,然后用基本不等式.3.利用不等式性質(zhì)比較大小時,簡潔忽視0【案例】T5選項A:a>b?am2>bm2,當m2=0時,不成立,故A錯誤.考向一線性規(guī)劃【典例】(2024·全國Ⅲ卷)若x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值為______.

考向二用基本不等式求最值【典例】(2024·天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,則QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值為________.

1.已知0<x<1,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.9 B.QUOTE C.5 D.QUOTE2.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE-QUOTE-QUOTE≤0恒成立,則m的最大值為()A.4 B.16 C.9 D.33.若x>1,則4x+1+QUOTE的最小值等于()A.6 B.9 C.4 D.14.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若QUOTE+QUOTE>2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m≤8 B.m<8C.m≤4 D.m<45.已知a,b,c∈R,則下列推理中正確的是 ()A.a>b?am2>bm2B.QUOTE>QUOTE?a>bC.a3>b3,ab>0?QUOTE<QUOTED.a2>b2,ab>0?QUOTE<QUOTE6.不等式:①x2+2>3x;②a2+b2≥2QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥2;④x2+QUOTE≥3QUOTE,其中恒成立的是()A.①③ B.②④C.①④ D.②③7.已知不等式QUOTE<0的解為-1<x<1,則a的值為 ()A.1 B.-1C.±1 D.以上均不對8.當x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,則m的取值范圍是()A.(-∞,-4] B.(-∞,-5)C.(-∞,-5] D.(-5,-4)9.若實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE,則z=2x+3y的最大值是()A.15 B.1C.-1 D.1610.已知關(guān)于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(4,+∞) B.(-∞,4)C.(-∞,2) D.(2,+∞)11.已知點M的坐標(x,y)滿意不等式組QUOTEN為直線y=-2x+2上任一點,則QUOTE的最小值是________.

12.若二次函數(shù)f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值為0,則a+4b的取值范圍是________.

13.關(guān)于x的不等式x2-ax+a+3≥0在區(qū)間[-2,0]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.

14.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,其前n項和是Sn,若a1=d=1,則QUOTE的最小值是________.

15.設(shè)a>1,則關(guān)于x的不等式(1-a)(x-a)x-QUOTE<0的解集是________.

16.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地,則矩形場地的最大面積是________m2.

專題6不等式///真題再研析·提升審題力///考向一【解析】不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界),因為z=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,則z越大,平移直線y=-QUOTE+QUOTE,當y=-QUOTE+QUOTE經(jīng)過A點時截距最大,此時z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:7考向二【解析】因為a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當a+b=4時取等號,結(jié)合ab=1,解得a=2-QUOTE,b=2+QUOTE,或a=2+QUOTE,b=2-QUOTE時,等號成立.答案:4///高考演兵場·檢驗考試力///1.BQUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.因為0<x<1,所以x>0且1-x>0,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時,QUOTE+QUOTE取得最小值2,所以QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE+2=QUOTE.2.B因為a>0,b>0,所以由QUOTE-QUOTE-QUOTE≤0恒成立得m≤QUOTE(3a+b)=10+QUOTE+QUOTE恒成立.因為QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=6,當且僅當a=b時等號成立,所以10+QUOTE+QUOTE≥16,所以m≤16,即m的最大值為16.3.B因為x>1,所以x-1>0,所以4x+1+QUOTE=4QUOTE+QUOTE+5≥2QUOTE+5=9,當且僅當4QUOTE=1,即x=QUOTE時取等號.4.D因為x>0,y>0,x+2y=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=4+QUOTE+QUOTE≥4+2QUOTE=8.當且僅當x=2y=QUOTE時取等號.若QUOTE+QUOTE>2m恒成立,所以2m<8,解得m<4.5.C對于A,當m=0時不成立;對于B,當c<0時不成立;對于D,當a,b均為負值時,不成立,對于C,因為y=x3在R上單調(diào)遞增,由a3>b3?a>b,又因為ab>0,所以QUOTE>QUOTE即QUOTE<QUOTE,正確.6.B①因為x2+2-3x=QUOTE-QUOTE,所以x2+2>3x不能恒成立;②因為a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立;③當ab>0時,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2,當ab<0時,QUOTE+QUOTE≥2不成立;④x>0時,x2+QUOTE=x2+QUOTE+QUOTE≥3×QUOTE=3,當且僅當x2=QUOTE,即x=1時,等號成立,故④恒成立.7.C當a=0時,QUOTE=-1對x∈R恒成立,不滿意題意,則a≠0,不等式QUOTE<0等價于QUOTE即QUOTE即a2x2-1<0,解得-QUOTE<x<QUOTE,因為該不等式的解為-1<x<1,所以QUOTE=1,解得a=±1.8.C因為x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,所以QUOTE,解得m≤-5.9.A作出約束條件QUOTE對應(yīng)的平面區(qū)域如圖.由z=2x+3y得y=-QUOTEx+QUOTE,由圖象可知當直線y=-QUOTEx+QUOTE,經(jīng)過點D時,直線y=-QUOTEx+QUOTE的截距最大,此時z最大,由QUOTE,解得QUOTE即DQUOTE,此時z=2×3+3×3=15.10.A設(shè)f(x)=x2-ax+3,若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,則f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即實數(shù)a的取值范圍是(4,+∞).11.【解析】由約束條件QUOTE作出可行域如圖:由圖可知,可行域內(nèi)的動點到直線y=-2x+2的最短距離等于A(2,0)到直線2x+y-2=0的距離,等于QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE12.【解析】依題意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,則b>0.故a+4b≥2QUOTE=2,當且僅當a=4b,即a=1,b=QUOTE時等號成立.所以a+4b的取值范圍是[2,+∞).答案:[2,+∞)13.【解析】由題得a≥QUOTE=(x-1)+QUOTE+2,因為-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+QUOTE+2=-QUOTE+2≤2-2QUOTE=-2,當且僅當x=-1時等號成立.所以a≥-2.答案:a≥-214.【解析】由題意得an=a1+(n-1)d=n,Sn=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,當且僅當n=4時取等號.所以QUOTE的最小值是QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】因為a>