2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第四章平面對(duì)量與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命題中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0解析：①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)也相互平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不肯定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不肯定平行，故正確命題的個(gè)數(shù)為0.答案：D2．(2024·威海模擬)設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：B3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．B，C，D B．A，B，CC．A，B，D D．A，C，D解析：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三點(diǎn)共線．答案：C4．已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：由已知得，向量a與b為同向向量，即存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.答案：D5．在下列選項(xiàng)中，“a∥b”的充分不必要條件是()A．a(chǎn)，b都是單位向量B．|a|＝|b|C．|a＋b|＝|a|－|b|D．存在不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0解析：a，b都是單位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A錯(cuò)誤；|a|＝|b|，但方向不定，故B錯(cuò)誤；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，則a，b反向共線，且|a|＞|b|；若a，b中恰有一個(gè)零向量，則a≠0，b＝0；若a＝b＝0，則a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，所以“|a＋b|＝|a|－|b|”?“a∥b”，而“a∥b”“|a＋b|＝|a|－|b|”，故C正確；D選項(xiàng)中“存在不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0”?“a∥b.”答案：C6．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－4)，則()A．c＝a＋2b B．c＝a－2bC．c＝2b－a D．c＝2a－解析：設(shè)c＝xa＋yb，所以(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.答案：B7.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b解析：連接OC、OD、CD，由點(diǎn)C、D是半圓弧的三等分點(diǎn)，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，則△OAC與△OCD均為邊長等于圓O的半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：D8．在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：因?yàn)镃D平分∠ACB，由角平分線定理得eq\f(|AD|,|DB|)＝eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(2,1)，所以D為AB的三等分點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B9．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為________．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，由A，B，D三點(diǎn)共線，得eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,－4λ＝k，))則k＝－8.答案：－810．若a與b不共線，已知下列各向量：①a與－2b；②a＋b與a－b；③a＋b與a＋2b；④a－eq\f(1,2)b與eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.其中可以作為基底的是________(填序號(hào))．解析：對(duì)于①，因?yàn)閍與b不共線，所以a與－2b不共線；對(duì)于②，假設(shè)a＋b與a－b共線，則有a＋b＝λ(a－b)，所以λ＝1且λ＝－1，沖突．所以a＋b與a－b不共線；對(duì)于③，同理a＋b與a＋2b不共線；對(duì)于④，因?yàn)閍－eq\f(1,2)b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,4)b))，所以a－eq\f(1,2)b與eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b共線．由基底的定義知，①②③都可以作為基底，④不行以．答案：①②③B組——素養(yǎng)提升練11．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：因?yàn)橄蛄縜＝(2，3)，b＝(－1，2)，所以a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，因?yàn)閙a＋nb與a－2b共線，所以4(3m＋2n)－(－1)(2m－n)＝0，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：A12．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿意5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM與△ABC的面積比為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MD,\s\up6(→))，所以C，M，D三點(diǎn)共線，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以△ABM與△ABC公共邊AB上的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為eq\f(3,5).答案：C13．(2024·湖南省八校聯(lián)考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿意BD＝eq\f(1,2)DC，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．m＋n是定值，定值為2B．2m＋n是定值，定值為C.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為3解析：法一：如圖，過點(diǎn)C作CE平行于MN交AB于點(diǎn)E.由eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))可得eq\f(AC,AN)＝eq\f(1,n)，所以eq\f(AE,EM)＝eq\f(AC,CN)＝eq\f(1,n－1)，由BD＝eq\f(1,2)DC可得eq\f(BM,ME)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AM,AB)＝eq\f(AE＋EM,AE＋EM＋MB)＝eq\f(\f(AE,EM)＋1,\f(AE,EM)＋1＋\f(MB,EM))＝eq\f(\f(1,n－1)＋1,\f(1,n－1)＋1＋\f(1,2))＝eq\f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq\f(2n,3n－1)，因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(2n,3n－1)，整理可得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.法二：因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λmeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)neq\o(AC,\s\up6(→))①，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))②，由①②知λm＝eq\f(2,3)，(1－λ)n＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3，故選D.答案：D14.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至點(diǎn)E，使得DE＝CD.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A，其中eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，下列推斷正確的是()A．滿意λ＋μ＝2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B．滿意λ＋μ＝1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C．滿意λ＋μ＝a(a＞0)的點(diǎn)P最多有3個(gè)D．λ＋μ的最大值為3答案：D15．(2024·?？谀M)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則AD的長為________．解析：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，經(jīng)計(jì)算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)16．(2024·長沙模擬)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且AP＝1，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則3x＋2y的取