新人教版高中數(shù)學(xué)必須第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)學(xué)案

平面向量的概念

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個向量（向量的模）能否比較大??？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量初與向量明是相等向量嗎？

二、合作探究

探究點1：

向量的相關(guān)概念

例1：給出下列命題：

①若霜=氏,則A,B,C,。四點是平行四邊形的四個頂點；

②在口ASCO中，一定有油=阮；

③若Q=。，b=c,則0=C

其中所有正確命題的序號為.

解析：m=或,A,B,C,力四點可能在同一條直線上，故①不正確；在辦BCO中，|曲

|=|Dt|,牯與覺平行且方向相同，故戲=成,故②正確；a=b,則⑷=制，且。與b的方向

相同；b=c,則步|=|c|,且b與。的方向相同，則。與。長度相等且方向相同，故。=。，故③

正確.

答案：②③

探究點2：

向量的表示

例2：在如圖所示的坐標(biāo)紙上（每個小方格的邊長為1）,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

（1）8，使|8|=4/，點A在點。北偏東45。方向上；

（2）油，使帥|=4,點8在點A正東方向上；

（3）Bt,使|反1=6,點C在點。北偏東30。方向上.

解：（1）由于點A在點。北偏東45。方向上，所以在坐標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格

數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|次|=4、區(qū)小方格的邊長為1,所以點A距點。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點A的位置可以確定，畫出向量以，如圖所示.

（2）由于點B在點A正東方向上，且|初|=4,所以在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點8的位置可以確定，畫出向量油，如圖所示.

（3）由于點。在點3北偏東30。方向上，且|反1=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點

C距點3的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為34=5.2,于是點。的位置可以確定，畫出向

量配，如圖所示.

探究點3：

共線向量與相等向量

例3：如圖所示，。是正六邊形ABCDE/7的中心，且3=小帥=b,在每兩點所確定的

向量中.

（1）與。的長度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）與a共線的向量有哪些？

解：（1）與。的長度相等、方向相反的向量有仍，猶，AZ）,Fk.

（2）與。共線的向量有辦，就，ob,Ft,Ch,D&,皿,況，Ab.

互動探究

1.變條件、變問法：本例中若優(yōu)=c,其他條件不變，試分別寫出與a,b,。相等的向

量.

解：與。相等的向量有分，力&,m與b相等的向量有反，劭，與。相等的向量

有或）,Eb,碰.

2.變問法：本例條件不變，與屈）共線的向量有哪些？

解：與勸共線的向量有辦，碇,ob,電c&,仍，初，況，oX.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量.

（2）有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個要素：起點、方囪、長度.

③表示：在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以4為起點、3為終點的有向線段

記作亞.

④長度：線段AB的長度也叫做有向線段牯的長度，記作曲.

（3）向量的表示

■名師點撥

（1）判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素.

（2）用有向線段表示向量時，要注意加的方向是由點A指向點3,點A是向量的起點,

點B是向量的終點.

2.向量的有關(guān)概念

（1）向量的模（長度）：向量霜的大小，稱為向量牯的長度（或稱模），記作國.

（2）零向量：長度為2的向量，記作0.

（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

3.兩個向量間的關(guān)系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量.若a,力是平行向量，記

作舊〃瓦

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對任意向量。，都有0〃a.

（2）相等向量：長度相等且方向相同的向量,若。，方是相等向量，記作。=瓦

■名師點撥

（1）平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別.

（2）共線向量所在直線可以平夕亍，與平面幾何中的共線不同.

（3）平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

四、精煉反饋

1.如圖，在口ABCD中，點E,r分別是AB,CD的中點，圖中與碇平行的向量的個數(shù)為

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.圖中與初平行的向量為法，F(xiàn)t）,Ft共3個.

2.下列結(jié)論中正確的是（）

①若。〃b且|0|=|臼，則a=8；

②若。=。，則?！η襹。|=階

③若。與b方向相同且同=步|,則。=〃；

④若畔b,則a與力方向相反且同羊步

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：選B.兩個向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯誤，°,方可能反向；②③正

確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等.

3.已知。是正方形A8CO對角線的交點，在以O(shè),4,B,C,。這5點中任意一點為起

點，另一點為終點的所有向量中，寫出：

（1）與血相等的向量；

（2）與加長度相等的向量；

（3）與次共線的向量.

解：畫出圖形，如圖所示.

（1）易知BC〃A。，BC=AD,

所以與配相等的向量為祀）.

（2）由。是正方形A5CO對角線的交點知。3=0。=。4=。。，

所以與仍長度相等的向量為肋，ot,cd,況，初，ob,Db.

（3）與次共線的向量為動，Bt,Cfe.

平面向量的應(yīng)用

【第一學(xué)時】

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

會用向量方法解決平面幾何中的

向量在平面幾何中的應(yīng)用平行、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

垂直、長度、夾角等問題

會用向量方法解決物理中的速

向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算

度、力學(xué)問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

頂習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.利用向量可以解決哪些常見的幾何問題?

2.如何用向量方法解決物理問題?

二、合作探究

探究點1：

向量在幾何中的應(yīng)用

角度一：平面幾何中的垂直問題

圖不如圖所示，在正方形ABC。中，E,尸分別是4B,8C的中點，求證：AFLDE.

4ER

證明：法一：設(shè)勸=。，4=b.

則|。|=步|,a?b=O,

又循=次+助=—a+g/b辦=初+肝=5+：。，

所以辦./=（b+%）（一C+%）=_%2—%仍+/=一如2+如2=0.

故辦_1及：，B|JAFLDE.

法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2,則4(0,0),D(0,2),F(l,

0),F(2,1),A>=(2,1),Dk=(1,-2).

。J。

M

因為辦?處=(2,1)?(1,-2)=2—2=0,

所以#_L的，HPAFLDE.

角度二：平面幾何中的平行（或共線）問題

CFAF

SSI21如圖，點O是平行四邊形48co的中心，E,尸分別在邊CZ）,A8上，且流=隹

匕Drt>

=今求證：點E,。，尸在同一直線上.

證明：設(shè)腦=相，加>=〃，

CFAFI

由而=標(biāo)=5，知E，尸分別是。，45的三等分點,

匕DrDL

所以劭=用+初=;或+;祀

=-ywi+2(/n+n)

%=沈+建祀+；仍

=2(w+n)-

所以m

又O為劭和旗的公共點，故點E,O,尸在同一直線上.

角度三：平面幾何中的長度問題

Sim如圖，平行四邊形A8CO中，已知AO=1,AB=2,對角線80=2,求對角線AC

的長.

解：設(shè)A/)=a,A^=b,則沉＞=Q—b,祝=°+6,

^\Bb\=\a-b\=，=一2°1+〃2=^1+4-2a1=S5—20仍=2,

所以5—2a/=4,所以Q6=；,又|AtT=|a+8F=a2+2a?)+戶=]+4+2O〃=6,所以|祝

|=,，即AC=%.

探究點2：

向量在物理中的應(yīng)用

廊1(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25

km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

(2)已知兩恒力尸i=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20,15)

移動到點8(7,0),求尸2分別對質(zhì)點所做的功.

解：(1)如圖，設(shè)AS表示水流的速度，3力表示渡船的速度，祝表示渡船實

際垂直過江的速度.

因為牯+勸=祀，所以四邊形A8CO為平行四邊形.

在RSACO中，NACO=90。，|Dt|=|初|=12.5.

|砌=25,所以NCW=30。，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30。.

(2)設(shè)物體在力尸作用下的位移為s,則所做的功為W=Fs.

因為筋=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以Wi=B?勸=(3,4)?(-13,-15)

=3x(—13)+4x(—15)=—99(焦),

牝=尸2?勸=(6,-5)?(-13,-15)

=6x(—13)+(—5)x(—15)=—3(焦).

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”

/X建立平面幾何與向好的聯(lián)系，用向一表

對度一示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何

問題轉(zhuǎn)化為向量問題

4介,一通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)

7系，如距離、夾角等問題_____________

6/T把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:

2.向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的減法和加法

相似，可以用向量的知識來解決.

(2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，即為力尸與位移s的數(shù)量積，即W=F6=|F||s|cos6(。

為尸與s的夾角).

四、精煉反饋

1.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜

水中的速度大小為()

A.10m/sB.2y[26m/s

C.4#m/sD.12m/s

解析：選B.由題意知卜水|=2m/s,|v?v|=10m/s,作出示意圖如圖.

所以小船在靜水中的速度大小/：=

|V|=A/102+22=2V26(m/s).

2.已知三個力力=(-2,-1),f2=(-3,2),力=(4,-3)同時作用于某物體上一

點，為使物體保持平衡，再加上一個力,，則八=()

A.(—1f—2)B.(1>-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：選D.由物理知識知力+先+力+/i=0,故"=一(力+力+力)=(1，2).

3.設(shè)尸，。分別是梯形ABC。的對角線AC與8。的中點，AB//DC,試用向量證明：PQ

//AB.

證明：設(shè)力^一加(2＞0且狎1),因為電一圓一篇＞一君+毆一刀＞一益(反)-/)

=A5+1[(勸-硒-(m+Z5t)]

=A^-\~2(Cb—Ak)

=￡(Cb+m)=￡(—2+1)通,

所以匝〃油，又P,Q,A,8四點不共線，所以尸?！ˋ8.

【第二學(xué)時】

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

余弦定理了解余弦定理的推導(dǎo)過程邏輯推理

掌握余弦定理的幾種變形公式及應(yīng)

余弦定理的推論數(shù)學(xué)運(yùn)算

用

能利用余弦定理求解三角形的邊、

三角形的元素及解三角形數(shù)學(xué)運(yùn)算

角等問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.余弦定理的內(nèi)容是什么？

2.余弦定理有哪些推論？

二、合作探究

探究點1：

已知兩邊及一角解三角形

{gm(1)(2018?高考全國卷n)在3c中，COSr5=華[5，BC=LAC=5,則AB=()

4J

A.4y[2B.病

C.^29D.2y[5

2

(2)已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,a=、B，c=2,cosA=?則b

=()

A.y[2B.黃

C.2D.3

解析：(1)因為COSC=2COS2f--l=2x-^—1=—I，所以由余弦定理，得-32=41+3d

乙JJ

—2ACBCcosC=25+l—2x5xlx(—§=32,所以48=4吸，故選A.

(2)由余弦定理得5=22+/—2X2AOSA,

2

因為cosA=§,所以3〃一昉一3=0,

所以b=3(b=—(舍去).故選D.

答案：(1)A

(2)D

互動探究：

變條件：將本例(2)中的條件％=小，c=2,cosA=!"改為“a=2,c=2小，cos4=坐”，

求力為何值？

解：由余弦定理得：

(r=b1+c1-2bccosA,

所以22=/+(2^3)2-2xbx2小田,

即〃2—68+8=0,解得b=2或Z?=4.

探究點2：

己知三邊(三邊關(guān)系)解三角形

偏12(1)在△A5C中，已知〃=3,b=5,c=V19,則最大角與最小角的和為()

A.90°B.120°

C.135°D.150°

(2)在AABC中，若(a+c)(a—c)=b(Z?—c)?則A等于()

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：(1)在△ABC中，因為a=3,b=5,c=皿,

所以最大角為8,最小角為A,

-4-人2—B9+25—191

所以csC=一五/==5,所以C=60。，所以A+b=120。，所以AA3c中

ZuczZ

的最大角與最小角的和為120。.故選B.

從+〃一12

111

(2)因為(a+c)(a—c)=b(Z?—c),所以b+c—a=bcf所以cosA=---------=

z.因為(0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究點3：

判斷三角形的形狀

頌引在△斗^。中，若〃疝2。+四而8=2"cosBcosC,試判斷△ABC的形狀.

解：將已知等式變形為

法(1-cos2C)H-c2(1—COS2B)=2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

僅2+〃一

2

/+c一序I~2ah)A~~2^~~)

/+戶一〃

=2bcx-2ac-*-2^-

[(^2+Z?2-c2)+(?2+c2-/?2)]24/)

所以/十(？=4?=4?=tt

所以A=90。.所以aABC是直角三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理

三角形中任何一邊的壬左，等于其他兩邊壬那困減去這兩邊與它們夾

文字語言

角的余弦的積的兩倍

。2=序+一一28ccos4

符號語言護(hù)=〃2+/—2〃ccos8

^二片+/一24/xx)sC

2.余弦定理的推論

Z?2+c2—ez2

cosA=2bc;

cosB=lac;

.2+〃一/

cosc=一邁一?

3.三角形的元素與解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

四、精煉反饋

1.在中，己知a=5,b=7,c=8,則A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

4+/一/25+64—491

解析：選B.cosB=_2ac-=_2x5x8-=T

所以8=60。，所以4+C=120。.

2.在A48C中，己知（Q+Z?+C）（〃+c—a）=3bc,則角A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選B.因為（b+c）2—02=y+d+2bc—〃2=36。

所以加+c2—，=從，

加+d-/1

所以cosA=---荻---=2>所以4=60。.

3.若AABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊〃，b,c滿足（〃+Z?）2—/=4,且C=60。，貝ijab

解析：因為C=60°,所以^二片+/―2〃bcos60°,

即〃江①

又因為（a+ZO2一天=%

所以/=〃+。2+2〃力-4.②

4

由①②知一出?=2出?一4,所以必=1.

答案、：|4

4.在AABC中，acos/1+Z?cosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀.

6+/一〃c2+a2-/>2序+序-/

解：由余弦定理知cosA=而cosB=*，,，力：代入已知條

/CC/cosC=4*C40

/（//+c2-/cr+tz2—Z?2.c9*-a2b1-2

件得〃.一^+匕-S~A=0

lab

通分得（按+C2—*）+62（〃2+02—按）+/（/一〃2_〃）=0,

2

展開整理得（〃2—加）=?.

所以，一加=±/,即/=b2+c2或62=〃2+。2.

根據(jù)勾股定理知是直角三角形.

【第三學(xué)時】

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系

正弦定理的探索，掌握正弦邏輯推理

定理的內(nèi)容及其證明方法

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？

2.正弦定理的內(nèi)容是什么？

二、合作探究

探究點1：

已知兩角及一邊解三角形

陽E在△人2c中，已知°=10,人一45。，C-30°,解這個三角形.

解：因為A=45。，0=30°,所以3=180。一(A+C)=105°.

?a__ccsinA,八sin45°?八r-

由而彳=而下得a=sinC="sin30。=1S/*2。

因為sin750=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin所以^=筆學(xué)

?olllLz

lOxsin(A+C)也+mr-?r-

--35；=2OX^T^=5^+5V6.

探究點2：

已知兩邊及其中一邊的對角解三域

麗已知AABC中的下列條件，解三角形：

(1)。=10,6=20,A=60°；

(2)a=2,c=加，

解:⑴因為舟而

所以血8=智=型喏￡=#>1,

所以三角形無解.

/-、HLACg、i.A^sinC\/2

（2）因為而^=而乙，所以sinA=-^=亍.

因為c>〃，所以0A.所以A=；.

Grri八5兀csinBm'in12r-

所以8=五，力=4=-^=小+1.

sin3

互動探究：

變條件：若本例⑵中。蘭改為A=；,其他條件不變，求C,B,b.

ac「二卜].csinAy]3

解：因為孑啟=而下'所以smC=F-=看，

所以。=1或竽

當(dāng)C=1時,8=五，b=M7=S+l?

當(dāng)C=1■時，B=五，b=/彳=小一】?

探究點3：

判斷三角形的形狀

Sim已知在△ABC中，角A,B所對的邊分別是〃和江若〃cosB=OcosA,貝iJ/iABC一

定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acosB=bcosA=sin4cos8=sin8cos40sin(4—8)=0,由于一兀

<A-B<nf故必有4-8=0,A=3,即△ABC為等腰三角形.

答案：A

變條件：若把本例條件變?yōu)椤凹觟n8=csinC"，試判斷aABC的形狀.

解：由Z?sinB=csinC可得sin23=sin2。，因為三角形內(nèi)角和為180。,

所以sinB=sinC.所以8=C.故△A8C為等腰三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理

條件在AABC中，角4,B,。所對的邊分別為。，b,C

a_____b_____c

結(jié)論sinAsinBsinC

文字

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

敘述

2.正弦定理的變形

若R為△ABC外接圓的半徑，則

(1)a=2Rs\nA,b=2Rs\nB,c=2/?sinC；

c?4__?__6__C

(2)sinA-2R,sinDB—2R，sinC-2R；

(3)sinA1sinB?sinC=a:b：c；

a+b-\-c

(4)------------------------=2R

sinA+sinB+sinC"

四、精煉反饋

1.(2019?遼寧沈陽鐵路實驗中學(xué)期中考試)在中,48=2,4c=3,8=60。,則cos

C=)

V3V36

AC.B.

V23D.V26

解析：選8?由正弦定理，得梟即焉=焉，解得sinC=孚因為A"

AC,所以C<5,所以csC=71—sii/C=乎.

2.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,且A：8：C=1：2：3,則a：b：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：?。?D.1：4：2

解析：選D.在A4BC中，因為A：B：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C

=180°,所以4=30。，5=60。,C=90°,所以a：h：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:?。?.

3.在AABC中，角4,B,。的對邊分別是小b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則

△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：選D.己知c—acosB=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcos

A-sin5cosA,所以sin(A+8)—sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化簡得cos4(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sin8—sinA=0,則A=90?；?=8,故△ABC為等腰三角形或直

角三角形.

【第四學(xué)時】

學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解測量中的基線等有關(guān)名詞、

測量中的術(shù)語直觀想象

術(shù)語的確切含義

會利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實

測量距離、高度、角度問題踐中的有關(guān)距離、高度、角度等數(shù)學(xué)建模

問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.什么是基線？

2.基線的長度與測量的精確度有什么關(guān)系？

3.利用正、余弦定理可解決哪些實際問題？

二、合作探究

探究點1：

測量距離問題

TO海上4,B兩個小島相距10海里，從A島望。島和8島成60。的視角，從8島望

。島和A島成75。的視角，則8島與。島間的距離是?

解析：如圖，在ZiABC中，ZC=180°-(NB+NA)=45。，

由正弦定理,可得凝=焉,=|

所以8c=/10=5加(海里).

答案：5#海里

互動探究:

變條件：在本例中，若“從。島望C島和人島成75。的視角”改為“八，C兩島相距20海

里”，其他條件不變，又如何求8島與C島間的距離呢？

解：由已知在△A8C中，AB=10,AC=20,NB4C=60。，即已知兩邊和兩邊的夾角,利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2-\-AC2-2ABACCOS60°=102+20-2X10X20X^=300.故8。=1即.

即B,C間的距離為海里.

探究點2

測量高度問題

m如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂。

在西偏北30。的方向上，行駛60()m后到達(dá)5處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為

30°,則此山的高度。=m.

D

BA

解析：由題意，在△A8C中，N8AC=30°,NABC=180。-75。=105。，故NACB=45°.

又A3=60()m,故由正弦定理得點臉=看2

Alliw*ky

解得BC=30Mm.在RS8C。中，CD=BCtan30°=30072^^=10076(m).

答案：106同

互動探究：

變問法：在本例條件下，汽車在沿直線A8方向行駛的過程中，若測得觀察山頂。點的最

大仰角為a,求tana的值.

解：如圖，過點C,作CE_LA8,垂足為E,則NOEC=a,由例題可知,

75°,BC=30(h/2,

所以CE=BCsm/CBE

=300V2sin75°

=300^即；*

=150+15即.

DC_100\^_36.而

所以tana=

CE—150+15即-3

探究點3：

測量角度問題

隨引島人觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時10

海里的速度向東南方向航行（如圖所示），觀察站即刻通知在島A正南方

向8處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北

偏東75。方向且相距10海里的C處，隨即以每小時1（八份海里的速度前往

攔截.

（1）問：海監(jiān)船接到通知時，在距離島A多少海里處？

（2）假設(shè)海監(jiān)船在。處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時間.

解：（1）根據(jù)題意得NB4C=45。，NABC=75。，BC=10,

所以N4。3=180。一75。一45。=60。，

在A4BC中，由

sinN4cBsin/BAC'

BCsinZACBlOsin60°

所以海監(jiān)船接到通知時，在距離島A5加海里處.

（2）設(shè)海監(jiān)船航行時間為，小時，則8。=10\8力CD=106

又因為NBCQ=180°-ZACB=180°-60°=120°,

所以BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos120°,

所以300尸=100+100?-2xl0xl0f|

所以2尸一/一1=0,

解得/=1或Z=-2（舍去）.

所以CD=10,所以BC=CD,

所以NC&）=；（180°-120°）=30°,

所以N43O=75。+30。=105。.

所以海監(jiān)船沿方位角105。航行，航行時間為1個小時.

（或海監(jiān)船沿南偏東75。方向航行，航行時間為1個小時）

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.基線

在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做型.

2.基線與測量精確度的關(guān)系

一般來說，基線越長，測量的精確度越匱.

3.實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語

名稱定義圖示

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線1//視線

彳臼角

的夾角水平線

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線犁卜理角水平線

俯角線1

的夾角

北南偏西60°

西J（指以正南

從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線袤癬可方向為始

方向角

是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90。）南1邊，轉(zhuǎn)向目

標(biāo)方向線形成的角）

北

從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水0)120°

方位角

平角飛

四、精煉反饋

1.若尸在。的北偏東44。50,方向上，則。在「的（）

A.東偏北45。10,方向上B.東偏北45。50,方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：選C.如圖所示.

北

由

2.如圖，D,C,8三點在地面同一直線上，從地面上C,。兩點望山頂A,測得它們的

仰角分別為45。和30。，已知8=200米，點。位于8。上，則山高A8等于（）

A

DCR

A.埼成米B.50（^3+1）米

C.100（小+1）米D.200米

解析：選C.設(shè)A8—人米，在RSACB中，NAC8—45。，

所以BC=AB=x.

在R3ABO中，ZD=30°,貝1]8。=448=小工

因為BO—8C=CO,所以小不一x=200,

解得x=100（黃+1）.故選C.

3.已知臺風(fēng)中心位于城市4東偏北a（。為銳角）度的150公里處，以P公里〃J、時沿正

西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北夕（△為銳角）度的200公里處，若cosa

3

=Wcos￡,貝iju=（）

A.60B.8（）

C.100D.125

解析：選C.畫出圖象如圖所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

+夕）①，由正弦定理得；點2，所以sina=gsin夕.又cosa=,cos￡,sin2a+cos2a=

olllpolllUJQ

3443I?12

1,解得sin￡=W，故cos￡=g,sina=7,cosa=7,故cos（a+￡）=zr——=0,代入①解得

JJJJJ。J。

產(chǎn)100.

A

4.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45。距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75。的方向

以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12、8海里/小時的速度沿直線追擊，問巡邏

艇最少需要多長時間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向.

解：設(shè)經(jīng)過，小時在點。處剛好追上走私船，依題意：AC=12小3BC=\2t,ZABC=

120°,

在"5C中，由正弦定理得^需=馬而

所以sinN8AC=g,所以NB4C=30。，

2

所以AB=BC=8=12f,解得［=1,航行的方向為北偏東75°.

2

即巡邏艇最少經(jīng)過1小時可追到走私船，沿北偏東75。的方向航行.

平面向量的運(yùn)算

【第一課時】

向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

理解向量加法的概念以及向量

平面向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

加法的幾何意義

掌握向量加法的平行四邊形法

平行四邊形法則

則和三角形法則，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

和三角形法則

會用它們解決實際問題

掌握向量加法的交換律和結(jié)合

平面向量加法的運(yùn)算律數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

律，會用它們進(jìn)行計算

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.在求兩向量和的運(yùn)算時，通常使用哪兩個法則？

2.向量加法的運(yùn)算律有哪兩個？

二、新知探究

探究點1：

平而向量的加法及其幾何意義

例1：如圖，已知向量a,b,Cf求作和向量a+8+c.

解：法一：可先作a+c,再作Q+c)+力，即。+)+c.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點

O,作向量以一處接著作向量加一。，

則得向量仍=a+c,然后作向量沈=4

則向量沈=。+方+。為所求.

-c

0<-----

法二：三個向量不共線，用平行四邊形法則來作.如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點0,作

0A=af0h=b\

(2)作平行四邊形A0BC,則靈=。+)；

(3)再作向量帥=c；

(4)作平行四邊形CODE,

則次?+c=a+8+c.0fc即為所求.

探究點2：

平面向量的加法運(yùn)算

例2：化簡：

(1)覺+砧

(2)m+Ct>+祀；

(3)勸+亦+仍+濕+或

解：(1)成+^=筋+求=濕.

(2)Dh+Cb+Bt

=配+劭+勵

=(Bt+Ct>)+勵

=筋+加=0.

(3)油+辦+劭+配+成

=牯+反：+6+辦+現(xiàn)

=配+劭+加+并

=助+辦+兩=#+雙=0.

探究點3：

向量加法的實際應(yīng)用

例3：某人在靜水中游泳，速度為44千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游

泳.若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度大小為多少？

解：如圖，設(shè)此人游泳的速度為仍，水流的速度為次，以3,仍為鄰邊作口。4。5,則

此人的實際速度為3+附=區(qū).

B.....C

4731\

04，

由勾股定理知I成1=8,且在放"C。中，ZCOA=60°f故此人沿與河岸成60。的夾角順

著水流的方向前進(jìn)，速度大小為8千米/小時.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量加法的定義及運(yùn)算法則

定義求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法

三角前提已知非零向量。，b

法則形法作法在平面內(nèi)任取一點A,作筋=。，比=從再作向量祀

則結(jié)論向量祝叫做。與b的和,記作。+瓦

即a~\~b=硅+唯=/

圖形

前提已知不共線的兩個向量。，b

平行在平面內(nèi)任取一點0,以同一點0為起點的兩個己

作法

法四邊知向量。，〃為鄰邊作口。4"

則形法結(jié)論對角線元就是。與b的和

則。書

圖形

規(guī)

對于零向量與任一向量a,我們規(guī)定。+0=止±衛(wèi)=口

定

2.lo+例,|a|,回之間的關(guān)系

一般地，\a+b\<\a\~\~\b\f當(dāng)且僅當(dāng)〃，b方向相同時等號成立.

3.向量加法的運(yùn)算律

交換律g-\-b=b~\~a

結(jié)合律(a+b)+c=a+(：+c)

四、精煉反饋

1,化簡。>+地+對+下的結(jié)果等于（

A.QPB.

C.SPD.

解析：選B.辦+地+對+升=死+0=死.