高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊32函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案含解析

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

m目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.

2.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

3.了解函數(shù)的最大（小）值的概念及其幾何意義.

4.會借助單調(diào)性求最值.

5.了解函數(shù)奇偶性的定義，掌握性數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.

6.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.

7.掌握用奇偶性求解析式的方法.

嬲?讀

知識點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義

前提條件設(shè)函數(shù)兒1）的定義域為7,區(qū)間DQI

Vxi，X2《。，X|<X2

條件

都有犬汨）勺伏2）都有人即）次X2）

yyyW)

圖示疵】）產(chǎn)幾）

!

X|必

0X\x2!r0x

結(jié)論?K）在區(qū)間。上單調(diào)遞增?r）在區(qū)間。上單調(diào)遞減

當(dāng)函數(shù)?x）在它的定義域上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)凡封在它的定義域上單調(diào)

特殊情況

時，我們就稱它是—函數(shù)遞減時，我們就稱它是—函數(shù)

知識點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/U）在區(qū)間。上，那么就說函數(shù)丁=段）在這一區(qū)間具有，區(qū)間。叫做y=/U）的

單調(diào)區(qū)間.

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)>=凡￥）的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：VA-e/,都有

條件危)—M府）一M

3x0e/,使得__________

結(jié)論稱M是函數(shù)y=40的最大值稱M是函數(shù)），=/3）的最小值

幾何意義/（X）圖象上最高點的_________火X）圖象上最低點的________

知識點四求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出y=?r）的圖象，觀察最高點與最低點，最高（低）點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最

大（小）值.

2.運用已學(xué)函數(shù)的值域.

3.運用函數(shù)的單調(diào)性：

⑴若y=Kx）在區(qū)間［a,可上單調(diào)遞增，則丁2=，

Nmin=?

（2）若y=￡x）在區(qū)間m，可上單調(diào)遞減，則ymax=,

ymin—?

4.分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€.

知識點五函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

設(shè)函數(shù)式幻的定義域為/,如果Vx￡/,都有一xW/,

偶函數(shù)關(guān)于—對稱

且____________________，那么函數(shù),/）是偶函數(shù)

設(shè)函數(shù)共0的定義域為/,如果Vxw/,都有一

奇函數(shù)關(guān)于—對稱

且____________________，那么函數(shù)?x）是奇函數(shù)

知識點六用奇彳號性求解析式

如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間［小句上的解析式，求關(guān)于原點的對稱區(qū)間［一兒一4］上

的解析式，其解決思路為

（1）“求誰設(shè)誰”，印在哪個區(qū)間上求解析式，X就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).

（2）要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.

（3）利用兀0的奇偶性寫出一段）或五一力，從而解出fix）.

知識點七函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

1.若人￥）為奇函數(shù)且在區(qū)間［a,A］（a<b）上單調(diào)遞增，則人外在［一力，一以］上，即在對稱區(qū)間

上單調(diào)性.

2.若｛r）為偶函數(shù)且在區(qū)間［小如加上為單調(diào)遞增，則4”）在［一4一〃］上，即在對稱區(qū)

間上單調(diào)性.

0跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知/（X）是以2為周期的函數(shù)，且/（力=4工￡［_］內(nèi)，則/⑺=（）

A.IB.-IC.±1D.7

2.設(shè)/（x）是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（）

A.是奇函數(shù)B./（力|〃-力|是奇函數(shù)

C./(X)-/(-X)是奇函數(shù)D./(X)+/(T)是奇函數(shù)

3.函數(shù)〃])=*的單調(diào)增區(qū)間是()

1-X

A.(YO」)B.(YO/)5,+OO)

C.，y)D.(-oo,-l?,-FOO)

4.已知函數(shù)的定義域為R,/(x+2)為奇函數(shù)，/(2x+l)為偶函數(shù)，則函數(shù)的

周期是()

A.2B.3C.4D.5

5.若函數(shù)/(力=(1一/)(/+成:-5)的圖像關(guān)于直線1=0對稱，則/⑴的最大值是()

A.-4B.4C.4或-4D.不存在

6.已知函數(shù)“X)的定義域是R,41+力為偶函數(shù)，VXGR,〃4+刈=一/(—x)成立，

"1)=2,則“2023)=()

A.-IB.IC.-2D.2

7.已知函數(shù)“X)是定義在(-8,0)U(0,~)上的奇函數(shù)，且/(-1)=0,若對于任意兩個實

數(shù)%,%￡(0,48)且％=%，不等式"“)一"/)<o恒成立,則不等式獷?(力>0的解集是

X\~X2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)

c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)

8.意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所

形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題“，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線

函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=g;，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為01山'=三匚.設(shè)函

數(shù)人月=瞿9,若實數(shù)機(jī)滿足不等式/⑵〃+3)+/(->)<0,則m的取值范圍為()

A.(一L3)B.(―3,1)C.(―3,3)D.(-oo,T)kj(3,4oo)

二、多選題

9.設(shè)函數(shù)/（%）存在最小值時，實數(shù)。的值可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

,w、［-2x+l,x<0

10.己知函數(shù)/力=2°I、八，則（）

1-x'+2x+l、x20

A./（-1）=-2B.若=則。=0或。=2

C.函數(shù)“力在（04）上單調(diào)遞減D.函數(shù)/（x）在［T2］的值域為［1,3］

2

11.已知函數(shù)/（力是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)“20時，f（x）=x-2xt則（）

A./（力的最小值為-1B.〃力在（-2,0）上單調(diào)遞減

C./（力二0的解集為［-2,22.存在實數(shù)“滿足/（》+2）+〃一切=0

12.我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)系坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/（x）為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點Ra,b）成中

心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/（x+。）一方為奇函數(shù).現(xiàn)在已知，函數(shù)

f（x）=d+儂2+依+2的圖像關(guān)于點QQ）對稱，則（）

A./（2）=0

B.7⑴=3

C.對任意xeR,有/（2+X）+/（2—X）=0

D.存在非零實數(shù)%,使/（2+%）-/（2-%）=0

三、填空題

13.函數(shù)/（力=+4x-12的單調(diào)減區(qū)間為.

14.若偶函數(shù)/（力在［0,y）上單調(diào)遞減，且/0）=0,則不等式/什-3工+3）之0的解集是

15.設(shè)偶函數(shù)〃幻在（。,帝）上單調(diào)遞減，且/（-3）=0,則不等式"2:"一、<0的解集是

2x

16.已知函數(shù)/（x）=k-l|+|2x+a|的最小值為2,則實數(shù)。的值為一.

四、解答題

2

17.己知=a-不w（aeR）

⑴證明/（x）是R上的增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)。使函數(shù)/（同為奇函數(shù)？若存在，請求出”的值，若不存在，說明理由.

18.定義在（0,+8）上的函數(shù)”同滿足下面三個條件：

①對任意正數(shù)aO都有/（a）+/（b）=/（必）；②當(dāng)x>l時,/（x）<0；③/（2）=-1

⑴求/⑴和的值；

（2）試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/（力在（0,+8）上是減函數(shù)；

⑶求滿足/（4/-12/）+2>/（1口）的％的取值集合.

19.已知函數(shù)/（力="-：在定義城［1,20］上單調(diào)遞增

（1）求a的取值范圍；

⑵若方程〃"二10存在整數(shù)解，求滿足條件的〃的個數(shù).

20.已知/（外是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時，f（x）=x2+2x+2.

（1）求函數(shù)/㈤的解析式;

（2）定義在［〃國］上的一個函數(shù)皿此，用分法?。骸ā疵础垂粝^(qū)間出司任意劃

分為〃個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)使得和式^恒成立，則稱

函數(shù)砥X）為在［〃應(yīng)］上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)/（X）是否為在［L3］上的有界變差函數(shù)？

若是，求知的最小值；若不是，請說明理由

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

凰目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.

2.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

3.了解函數(shù)的最大（?。┲档母拍罴捌鋷缀我饬x.

4.會借助單調(diào)性求最值.

5.了解函數(shù)奇偶性的定義，掌握豕數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.

6.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.

7.掌握用奇偶性求解析式的方法.

盛懈讀

一增函數(shù)與減函數(shù)的定義

前提條件設(shè)函數(shù)Kr）的定義域為/,區(qū)間DG/

VXi，Xl<X2

條件

都有人汨）4及）都有直3）次X2）

yy

圖示恤I）!艮X。產(chǎn)向）

!

oX\x210X|必x

結(jié)論於）在區(qū)間。上單調(diào)遞增40在區(qū)間。上單調(diào)遞減

當(dāng)函數(shù)凡0在它的定義域上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)用在它的定義域上單調(diào)

特殊情況

時，我們就稱它是—函數(shù)遞減時，我們就稱它是—函數(shù)

【答案】增減

知識點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)力在區(qū)間。上，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有，區(qū)間。叫做y=/U）的

單調(diào)區(qū)間.

【答案】單調(diào)遞增或單調(diào)遞減（嚴(yán)珞的）單調(diào)性

知識點三函數(shù)的最大值與最小值

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=ya）的定義域為/,如果存在實數(shù)“滿足：Vxe/,都有

條件

3x0eZ,使得__________

結(jié)論稱M是函數(shù)丁=洲%）的最大值稱M是函數(shù)），=/）的最小值

幾何意義兀0圖象上最高點的—凡外圖象上最低點的—

【答案】仝縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)

知識點四求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出y=/U）的圖象，觀察最高點與最低點，最高（低）點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最

大（?。┲?

2.運用已學(xué)函數(shù)的值域.

3.運用函數(shù)的單調(diào)性：

（1）若y=/（x）在區(qū)間■，6］上單調(diào)遞增，則ymax=,

ymin=.

（2）若y="r）在區(qū)間［a,可上單調(diào)遞減，則）*=,

為1泊=?

4.分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€.

【答案】加加期期b）

知識點五函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

設(shè)函數(shù)人工）的定義域為/,如果都有一

偶函數(shù)關(guān)于一對稱

且____________________,那么函數(shù)久0是偶函數(shù)

設(shè)函數(shù)火幻的定義域為/,如果VxW/,都有一

奇函數(shù)關(guān)于—對稱

且____________________,那么函數(shù)危）是奇函數(shù)

【答案】大一"）=於?軸＜一%）=一凡丫）原點

知識點六用奇偶性求解析式

如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間［八句上的解析式，求關(guān)于原點的對稱區(qū)間［一人一切上

的解析式，其解決思路為

（1）“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，X就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).

（2）要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.

（3）利用/（x）的奇偶性寫出一段）或五-x）,從而解出人工）.

知識點七函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

1.若以）為奇函數(shù)且在區(qū)間［a,坊3＜力）上單調(diào)遞增，則段）在［―8,一?］上，即在對稱區(qū)間

上單調(diào)性.

2.若凡0為偶函數(shù)且在區(qū)間［。，冰。＜母上為單調(diào)遞增，則火0在［一4一0上，即在對稱區(qū)

間上單調(diào)性.

【答案】單調(diào)遞增一致（相同）單調(diào)遞減相反

國跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知f（x）是以2為周期的函數(shù)，且/（x）=f,xe［T,l］,則/⑺=（）

A.IB.-IC.±1D.7

【答案】A

【分析】除三角函數(shù)外，也有很多周期函數(shù).可以利用周期函數(shù)的定義求值或求解析式.

【詳解】因為函數(shù)/（X）是周期為2的周期函數(shù)，所以兼為/（力的周期，即

f(x+2k)=f(x\keZ.

所以〃7)=/(1+6)=〃1)=12=I.

故選：A.

2.設(shè)/(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A./(x)/(r)是奇函數(shù)B./(必〃—力|是奇函數(shù)

C.〃力―/(r)是奇函數(shù)D.〃力+〃一”是奇函數(shù)

【答案】C

【分析】由奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義依次判斷即可.

【詳解】A選項：設(shè)尸(X)=/(X)/(T),F(-X)=/(-X)/(X)=F(X),則/(X)/(T)為偶

函數(shù)，A錯誤；

B選項：設(shè)G(X)=/(X)|〃T)|,則G(T)=〃T)|/(X)|,G(x)與G(-x)關(guān)系不定，即不

確定/(X)|/(T)|的奇偶性，B錯誤：

C選項：設(shè)M(x)=/(x)—/(r).則M(T)=/(T)—/(X)=—例(X),則〃同一“T)為

奇函數(shù)，C正確；

D選項：設(shè)N(x)=/(x)+/(—x),則N(T)=/(T)+/(X)=N(X),貝iJ/(x)+/(—x)為偶

函數(shù)，D錯誤.

故選：C.

3.函數(shù)〃力=士的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(f,?)B.(f，一)

C.(3，?)用，也)D.(-oo,-l?,-FOO)

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，然后根據(jù)圖像平移得到函數(shù)圖像，繼而求出單調(diào)增區(qū)間.

(lx)+1

【詳解】/(x)=~~=-i+_L=—L-i；

1-x1-xx-\

.??八。的圖象是由y=-L的圖象沿X軸向右平移1個單位，然后沿y軸向下平移1個單位得

X

到，如下圖

.?./(X)的單調(diào)增區(qū)間是(一8,1),(1,+8).

故選：c.

4.己知函數(shù)/(人)的定義域為R,/。十2)為奇函數(shù)，/(2%+1)為偶函數(shù)，則函數(shù)/(人)的

周期是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得〃r+2)=—/(x+2),由偶函數(shù)性質(zhì)可得/(—2x+l)=/(2x+l),

化簡整理可得f(x+2)=-f(x),即可求出周期.

【詳解】因為/(x+2)為奇函數(shù)，所以〃-x+2)=-/(x+2),

因為f(2x+l)為偶函數(shù),所以f(-2x+l)=〃2x+l),則〃T+l)=f(%+l),

則/[—(x+l)+l[=/(x+2),BP/(-x)=/(x+2),

所以“T+2)=—/(T),即f(x+2)=—/(x),貝IJ/(X+4)=—/(X+2)=/(X),

所以/(x)的周期是4.

故選：C.

5.若函數(shù)/(力=(1一/)(/+6一5)的圖像關(guān)于直線1=0對稱，則/⑺的最大值是()

A.-4B.4C.4或-4D.不存在

【答案】B

【分析】由函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線工=0對稱，知/(刈為偶函數(shù)，由此可求出。值，再代

入/(力利用換元法可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

【詳解】由函數(shù)〃力=(1-f)(f+奴-5)的圖像關(guān)于直線x=0對稱，知/(力是偶函數(shù)，

22

.,./(-x)=/(x),即--ar_5)=(l-x)(x+ar-5),

整理得2ai(r-l)=0總成立，得。=0,

.?/(力=(1-巧華-5),

令W=f(d0),則y=(lT)(f_5)=_*+6/_5=_?_3)2+4,

當(dāng)r=3時，＞有最大值4,即/(力的最大值是4.

故選：B.

6.己知函數(shù)/(人)的定義域是R,/(1十))為偶函數(shù)，VxeR,/(4十人)=-/(一人)成立，

/(1)=2,則f(2023)=()

A.-IB.IC.-2D.2

【答案】C

【分析】通過已知可判斷了(x)是周期為4的函數(shù)，利用周期性即可求出.

【詳解】因為〃1+力為偶函數(shù)，所以“l(fā)+?=/(lr),則/(2+M=/(T),

所以/(4+x)=—/(—x)=—/(2+切，則/(2+x)=-/(x)=/(—x),

所以〃4+x)=/a),所以/(x)是周期為4的函數(shù)，

因為〃4T)=_f[_(T)]f(1)7,/(3)=-2,

所以〃2023)=〃505x4+3)=〃3)=-2.

故選：C.

7.已知函數(shù)“X)是定義在(一,0)U(0,”)上的奇函數(shù)，且/(-1)=0,若對于任意兩個實

數(shù)%,%￡(0,48)且％=%，不等式"“)一"/)<o恒成立,則不等式獷?(力>0的解集是

X\~X2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)

c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得f(x)在區(qū)間(0，收)上單調(diào)遞減，構(gòu)造g(x)=4(x),可得g(?為偶函

數(shù)且在(y,0)上遞增，在(0,+8)上遞減，且g(-l)=g(D=0,即可求解.

【詳解】解：由題可知，〃“)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，

又/⑺為奇函數(shù)，則f(T)=-fa),且f(-D=o,故/⑴=o,

設(shè)g(x)=#(x),則g(-x)=-#([￥)=#(x)=g(x),故g(x)為偶函數(shù)，

又gM在區(qū)間(-00,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

又g(-1)=g(D=0,所以gW>0的解集為(TO)U(O,1)，

即xf(x)>0的解集為(TO)U(0,D.

故選：D.

8.意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所

形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題“，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線

函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為cosh%=《苧二，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=J匚.設(shè)函

數(shù)/(力=鬻?，若實數(shù)用滿足不等式〃2機(jī)+3)+/(->)<0,則m的取值范圍為()

A.(-1,3)B.(-3,l)C.(-3,3)D.(-CO,-1)VJ(3,+OO)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)解析式，由奇偶性和單調(diào)性，解不等式.

【詳解】由題意，八同=畔=鼻=，由==一譽;=_〃力，

coshAc+cc+cc+c

則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，即f(2〃?+3)+/(Tn2)<o=/(2〃?+3)<-f(一m2)

+因/(力===之==1一一易知其為增函數(shù)，

e+ee-+le+1

則26+3〈加，解得xv-1或x>3,

故選：D.

二、多選題

9.設(shè)函數(shù)”引={?［上:;〃力存在最小值時，實數(shù)。的值可能是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分。>0、。=0、avO三種情況討論，當(dāng)avo時根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)只需函數(shù)在斷點處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；

/、{ax-\,x<a

【詳解】解：因為/x=,0?、，

'-2ax+\,x>a

若a>0,當(dāng)xva時〃x)=at-l在(-oo,a)上單調(diào)遞增，當(dāng)XTF時f(x)f此時函數(shù)

不存在最小值；

若。=0,則〃力=J+LCO,此時/(力.=-1,符合題意;

若a<0,當(dāng)XV。時/(K)=O￥T在(Y0,a)上單調(diào)遞減,

當(dāng)眾°時/(x)=f-*+1,

二次函數(shù)產(chǎn)爐-2公+1對稱軸為x="，開口向上，此時/(力在田)上單調(diào)遞增，

要使函數(shù)〃力存在最小值，只需2a2+1，解得。工一1，

綜上可得4€(-oo,T］U{0}.

故選：ABC

,、f-2x+l,x<0

10.已知函數(shù)〃力=<2c1、八，則()

-A"+2^+l.x>0

A./(-1)=-2D,若/(a)=l,則。-0或a-2

C.函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)在［T2］的值域為［1,3］

【答案】BD

【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐個分析判斷即可

【詳解】函數(shù)/(x)的圖象如左圖所示.

/(-l)=-2x(-l)+l=3,故A錯俁；

當(dāng)°<0時，f(a)=l=>-2a+l=l=>a=0,此時方程無解；當(dāng)/0時，f(a)=l^>-a2+2a+\

=ina=0或a=2,故B正確；

由圖象可得，/(力在(0,1)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

由圖象可知當(dāng)xe［T,2］時，/(凡而=min{/(0)J(2)}=l,/(x)^=max{/(-l),/(l)}=3,

故/。)在［1,2］的值域為［1,3］,D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，f(jc)=x2-2x,則()

A.””的最小值為-1B./(力在(-2,0)上單調(diào)遞減

C.7(同40的解集為［—2,2］D.存在實數(shù)x滿足〃X+2)+/(T)=0

【答案】ACD

【分析?】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)解析式，即可畫出函數(shù)圖象，即可判斷；

【詳解】解：函數(shù)/Q)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)"0時，/(X)=X9-2A=(X-1),-1,

設(shè)x<0,則-x>0,所以/(—x)=f+2x,因為/")是偶函數(shù)，所以/(-x)=/(x),

所以f(x)=d+2x,

x2-2x,x.0

所以/(%)=

X2+2X,X<0

函數(shù)圖象如下所示：

可得”>0時，/(X)在x=l時取得最小值T,由偶函數(shù)的圖象關(guān)于丁軸對稱，可得/⑶在R

上取得最小值T，故A正確；

f(x)在上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

由IT1,八或/八，解得04工<2或_2<x<0,綜上可得了(力40的解集為卜22],

Ix_Zxsu[x+Zxsu

故C正確;

由f(0)=0,/(-2)=/(2)=0,即存在實數(shù)X滿足/(x+2)+/(—x)=0,故D正確；

故選：ACD.

12.我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)系坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(外為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點Ra,b)成中

心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-人為奇函數(shù).現(xiàn)在已知，函數(shù)

內(nèi)+2的圖像關(guān)于點(2,0)對稱，則()

A./(2)=0

B.f⑴=3

C.對任意xeR,有f(2+x)+/(2—x)=0

D.存在非零實數(shù)%,使/(2+%)-/(2-%)=0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)y=/(x+2)為奇函數(shù)，從而可判斷D：再根據(jù)

/(x+2)+/(-x+2)=0,可求出利〃的值，從而可判斷A,B；令〃2+力一/(2-力=0,

解方程即可判斷D.

【詳解】解：由題意，因為函數(shù)/(X)=V+如2+心+2的圖像關(guān)于點(2,0)對稱,

所以函數(shù)y=/(x+2)為奇函數(shù),

所以/(x+2)+/(—x+2)=0,故C正確；

又y=/(%+2)=/+(〃2+6)/+(12+4，〃+〃)x+4/〃+2〃+10,

則/(x+2)+f(-x+2)=2(5+6)f+2(4利+方+10)=0,

_|/w+6=0m=-6

所以(4加+2〃+10=0{

所以/(x)=d-6f+7x+2,/(x+2)=V-5%,

則f(2)=0J⑴=4,故A正確,B錯誤;

令〃2+x)-/(2-x)=0,

貝|」2/一10工=0,解得x=0或土石，

所以存在非零實數(shù)而，使/(2+玉)-/(2-不)=0,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.函數(shù)〃力=42+4%-12的單調(diào)減區(qū)間為.

【答案】或(-co,-6)

【分析】優(yōu)先考慮定義域,在研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，要弄清楚它由什么函數(shù)復(fù)合而成的，

再根據(jù)“同增異減''可求解.

【詳解】函數(shù)〃x)=Jx2+4x-12是由函數(shù)g(〃)=4和〃(x)=f+?-12組成的復(fù)合函數(shù),

,X2+4X-12^0,解得XW-6或XN2,

;?函數(shù)y=的定義域是或xN2},

因為函數(shù)〃(x)=f+4K-12在(Y,-6］單調(diào)遞減，在［2,2)單調(diào)遞增，

而g(“)=4在［0,+8)上單調(diào)遞增,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)/(力的單調(diào)減區(qū)間(YO,-6］.

故答案為：(-8,-6］.

14.若偶函數(shù)/(九)在［0,+R)上單調(diào)遞減，口/(1)=0,則不等式/(不一3人十3)之0的解集是

【答案】［L2］

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到-"XVI時/(1)之0,即可將不等式化為-14/一3%+341,

解得即可.

【詳解】解：因為偶函數(shù)/(力在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以“X)在(0,0)上單調(diào)遞增，

又/(1)=0,所以/(—1)=/(1)=0,所以當(dāng)-1WXW1時/(x”0,

則不等式f(f-3x+3"o等價于_132一31+3小，解得1?.2,

所以原不等式的解集為［1,2］.

故答案為：［1，2］

15.設(shè)偶函數(shù)八x)在。位)上單調(diào)遞減，且/(-3)=0,則不等式＜0的解集是

【答案】(-3,0)U(3,E)

【分析】不等式等價于紅迫＜0,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.

x

【詳解】因為“幻是偶函數(shù)，所以以空上也＜0等價于絲包＜0,

2xx

又“外在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減，所以/(x)在(F,0)上單調(diào)遞增.

fix)x<0Jx>0

由＜0得，

XfW>0[f(x)<0

又f(-3)=0,所以f(3)=0,

x<0x>0

由，/。)>0得一3<x<0,由，/(幻<0得x>3,

J(-3)=01/(3)=0

故解集為(T0)53,+co).

故答案為：(一3,0)。(3,內(nèi)).

16.已知函數(shù)/(力=卜-1用2工+4的最小值為2,則實數(shù)。的值為__.

【答案】-6或2

【分析】分類討論。的取值范圍，去掉絕對值符號，確定函數(shù)的最小值，解方程求得。的值.

3x+a-1,(x>——)

【詳解】當(dāng)-■|21,即。<一2時：/(x)=|A-l|+|2x+a|=?-x-a-l,(l<x<,

2

—3x—a+L(x<1)

結(jié)合其圖象：

可知〃x）min=/（-§=-葭-1=2,所以a=-6或4=2（舍）；

3x+a-l,(x>1)

當(dāng)一搟<1,g[Ja>-2時，/(.v)=|.v-l|+|2x+?|=?x+a+l,(—KxKI),

2

八.za、

-3x-6r+l,(x<—)

2

則f(x)min=f(一?=一>1=2,所以a=2或a=-6(舍),

綜上得a=-6或2,

故答案為：-6或2

四、解答題

2

17.已知/（x）=a-k；（aeR）

3+1

⑴證明/（X）是R上的增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)。使函數(shù)/（力為奇函數(shù)？若存在，請求出。的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在實數(shù)。=1,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義即可作差比較函數(shù)值的大小即可證明：（2）根據(jù)/（0）=0可

求得。的值，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可.

【詳解】⑴對任意xeR都有3、1=0,，〃力的定義域是R,

222(3演-3-)

設(shè)則/(占)=-；^-----：——

漢22eRHx<x2,，,八J八/(x"j八-七，3慫+13J1=7(_3號--+1e)r俄——+々1)

???y=3，在R上是增函數(shù)，且王<為

/.3X'<3&且(3內(nèi)+1乂3版+1)>0=/(百)一/(電)<0=/(%)<f(W)

\/(X)是R1二的增函數(shù).

(2)若存在實數(shù)。使函數(shù)/(%)為R上的奇函數(shù)，則/(O)=Ona=l

2

下面證明a=l時/(x)=l-是奇函數(shù)

\"X)為R上的奇函數(shù)

???存在實數(shù)4=1，使函數(shù)“X)為R上的奇函數(shù).

18.定義在(0,+8)上的函數(shù)滿足下面三個條件：

①對任意正數(shù)ab,都有/(〃)+/(?=/(必)；②當(dāng)X>1時，/(x)<0：③/(2)=-1

⑴求/⑴和的值；

(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/(力在(0,+8)上是減函數(shù)；

(3)求滿足/(4/-12/)+2>/(18"的％的取值集合.

【答案】(1)/(1)=0,/(；)=2

⑵證明見解析

(3)xe(3,6)

【分析】(D賦值計算得解；

(2)根據(jù)定義法證明單調(diào)性；

(3)根據(jù)①及單調(diào)性計算得解.

【詳解】(1)盧尸1得/⑴可。)+〃1),則/(1)=0,

而“4)可⑵+〃2)=-1-1=-2,

且/(4)+/(￡|=〃1)=°，則/(目=2；

⑵取定義域中的任意的為，與，且0<司</，:?§》1，

當(dāng)工>1時，/(x)<0,"目<0,

/\/\

=fM+f--fM=f%<o,

IXJkXl>

.?J（力在（0,+8）上為減函數(shù).

⑶由條件①及（I）的結(jié)果得，./（4XM2X2）+2>/（18X）

,.-./（4?-12X2）+/^>/（18A）,