數(shù)學(xué)教案：方差與標(biāo)準(zhǔn)差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3。2方差與標(biāo)準(zhǔn)差整體設(shè)計教材分析“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”這節(jié)課在上節(jié)課平均數(shù)的基礎(chǔ)上,從實例“有甲、乙兩種鋼筋，檢查它們的抗拉強(qiáng)度”中平均數(shù)不是反映總體質(zhì)量、水平的唯一特征數(shù)，在平均值相差不大的情況下，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度可以作為評價對象質(zhì)量高低的又一重要因素，從而說明引入方差、標(biāo)準(zhǔn)差的必要性,同時使學(xué)生養(yǎng)成從多個角度看問題的習(xí)慣，鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。為了讓學(xué)生充分體會“穩(wěn)定性”的意義，教材中用數(shù)軸表示兩組數(shù)據(jù)，形象地表現(xiàn)出數(shù)據(jù)的“聚散"程度，并用極差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的極差相差不大時，就不適宜用極差來表示穩(wěn)定性，這時可用“方差與標(biāo)準(zhǔn)差"作為比較數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的特征數(shù)。初中已學(xué)過方差概念，現(xiàn)在的教學(xué)不能停留在原有的水平上，要將用方差刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的理由講清楚，充分揭示用方差作為比較數(shù)據(jù)穩(wěn)定性水平的特征數(shù)的思維過程.通過方差的單位與原數(shù)據(jù)的單位的比較,通過實際問題的分析,讓學(xué)生了解到用方差反映穩(wěn)定性水平的不足之處是與原數(shù)據(jù)單位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等，從而引入“標(biāo)準(zhǔn)差”的概念，這一過程應(yīng)讓學(xué)生在形成問題和解決問題的過程中加以探索.三維目標(biāo)1。通過對具體案例的分析掌握樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的基本概念和計算方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的興趣和動機(jī).2.在解決統(tǒng)計問題的過程中,進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識。3。引導(dǎo)學(xué)生對一些生活中實際問題的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.4.滲透數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來又作用于實踐的觀點。重點難點教學(xué)重點：1。通過實例理解樣本數(shù)據(jù)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會計算數(shù)據(jù)的樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差。2.根據(jù)方差與標(biāo)準(zhǔn)差對事件進(jìn)行科學(xué)的決策,形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識。教學(xué)難點：1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法及運算的準(zhǔn)確性。2.用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征,從中進(jìn)一步理解統(tǒng)計的基本思想.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計報表顯示，此地區(qū)的年平均家庭收入是10萬元，給人的印象是這個地區(qū)的家庭收入普遍比較高。但是,如果這個平均數(shù)是從200戶貧困家庭和20戶極富有的家庭收入計算出來的,那么它就既不能代表貧困家庭的年收入，也不能代表極富有家庭的年收入。因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端情況.而這些極端情況顯然是不能被忽視的。因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際情況.舉例：有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個樣本（如下表）檢查他們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2)，通過計算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125。哪種鋼筋的質(zhì)量較好？兩種鋼筋的平均數(shù)都是125，那么，它們有沒有什么差異呢?推進(jìn)新課作出圖形，作直觀比較：直觀上看，還是有差異的。乙的強(qiáng)度比較分散，甲的強(qiáng)度相對集中。因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).例如，在作統(tǒng)計圖、表時提到過的極差甲的強(qiáng)度極差＝135-110=25,乙的強(qiáng)度極差＝145—100=45。它在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息，顯然,極差對極端值非常敏感，注意到這一點,我們可以得到一種“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略。新知探究1.方差(variance）的概念：考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計量是方差，一般用s2表示。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).結(jié)合上節(jié)課有關(guān)離差的討論可知，離差越小，穩(wěn)定性就越高。因此,通常用如下公式計算方差：.因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度,因此將其算術(shù)平方根作為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation）,分別簡稱樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差.2。計算樣本數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法是：S1算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x;S2算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi—x（i=1,2,…,n）；S3算出S2中xi-x（i=1，2，…，n)的平方；S4算出S3中n個平方數(shù)的平均數(shù)；S5算出S4中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.關(guān)于方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一點說明:(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度的，它反映了各個樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度.方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越集中；反之，方差標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.（2）在實際應(yīng)用中，方差與標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性.例如在上面的比較兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度時，方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小意味著該產(chǎn)品的質(zhì)量越穩(wěn)定；在描述成績時，方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明成績越穩(wěn)定。(3）學(xué)生思考“標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？”由標(biāo)準(zhǔn)差的定義容易得出標(biāo)準(zhǔn)差是非負(fù)的;標(biāo)準(zhǔn)差為0意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都相等的特性，且與樣本平均數(shù)也相等,可以構(gòu)造一個樣本容量為2的樣本：x1,x2（x1<x2),這樣可以體會出兩個樣本數(shù)據(jù)分散程度與樣本標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。應(yīng)用示例例1根據(jù)下列四組樣本數(shù)據(jù),說明它們的異同點。(1）555555555;(2)444555666；（3)334456677;（4）222258888.分析：從數(shù)據(jù)的數(shù)字特征出發(fā).解:四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5。0，標(biāo)準(zhǔn)差分別是0。00,0。82，1。49,2.83。雖然它們有相同的平均數(shù)，但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.點評：樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差能說明數(shù)據(jù)的分散程度。例2甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2)，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。分析：鞏固求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的方法.解:甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為［(9.8—10）2+（9。9—10)2+(10。1-10)2+(10—10）2+（10.2—10）2］÷5=0.02,乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為［（9。4-10）2+（10.3—10)2+(10。8—10）2+(9。7—10）2+（9。8-10)2]÷5=0.24.因為0。24>0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.點評：1.本題若僅由甲=乙,易產(chǎn)生這兩種水稻的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定的錯覺。這表明在實際問題中，僅靠期望值（即平均數(shù)）不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度（及方差或標(biāo)準(zhǔn)差)：標(biāo)準(zhǔn)差大說明取值分散性大,標(biāo)準(zhǔn)差小說明取值分散性小或者說取值比較穩(wěn)定、集中。2。要對“根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計…”的統(tǒng)計意義作必要的說明:第一，統(tǒng)計研究是以一定的樣本為依據(jù)的，對于確定的樣本得到確定的統(tǒng)計結(jié)果；第二，統(tǒng)計結(jié)果具有隨機(jī)性,選擇不同的樣本可能得到不同的統(tǒng)計結(jié)果。最后還可讓學(xué)生思考除了品種的優(yōu)劣，影響水稻產(chǎn)量還有哪些因素?根據(jù)一組數(shù)據(jù)得到的結(jié)果是否可靠？這些問題的提出會激發(fā)學(xué)生對統(tǒng)計學(xué)理論的興趣。例3為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用了一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。分析：用每一個區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均使用壽命.解：各組中值分別為165。5，195.5，225.5，255。5,285。5，315.5，345。5，375.5,由此算得平均數(shù)約為165。5×1％+195.5×11%+225。5×18%+255。5×20％+285.5×25％+315。5×16%+345。5×7%+375.5×2%=268。4≈268（天)。這些組中值的方差為×[1×(165.5—268。4）2+11×（195.5-268.4）2+18×（225.5-268。4）2+20×（255。5-268.4）2+25×(285.5-268.4)2+16×(315。5—268。4）2+7×（345.5-268。4)2+2×(375.5-268。4）2]=2128.60(天2),故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為≈46（天）.答：估計這種日光燈的平均壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.點評：此例的目的是：掌握連續(xù)性隨機(jī)變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的一種估計方法，即組中值估計法.因為前一節(jié)例3已介紹了連續(xù)性隨機(jī)變量的平均值的估計方法，所以處理此例時應(yīng)讓學(xué)生回憶前例并主動探索解決問題的方法。例4容量是40的樣本中各數(shù)據(jù)與30的差的平方和是250，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是1.5，求樣本平均數(shù).分析:根據(jù)樣本平均數(shù)、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的公式解題。解：∵（x1-30)2+(x2-30）2+…+(x40—30）2=250，所以(x12+x22+…+x402)—60(x1+x2+…+x40）+40×302=250.即(x12+x22+…+x402)-60×40+40×900=250，①又∵140[（x1—)2+（x2—)2+…+(x40—)2］=1。52=2.25,即(x12+x22+…+x402)-2x(x1+x2+…+x40)+402=90，即（x12+x22+…+x402)—802+402=90，②①—②得402—2400x+40×900=160，即2—60+896=0，（-32)(-28)=0,所以，=32或=28。點評：理解樣本方差的含義,抓住關(guān)鍵點：x1+x2+…+x40=40，通過數(shù)形結(jié)合，結(jié)合消元x1+x2+…+x40合理解決問題。例5已知一組數(shù)據(jù)的方差是s2，將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加上10，求所得新數(shù)據(jù)的方差.分析:利用方差公式解題。解:設(shè)原數(shù)據(jù)：x1，x2，…,xn，平均數(shù)是，方差是s2，則新數(shù)據(jù)為：x1+10,x2+10，…，xn+10，平均數(shù)為則方差為[（x1+10—-10)2+（x2+10——10）2+…+（xn+10—-10）2］=［（x1-)2+（x2—）2+…+（xn-)2]=s2。變式訓(xùn)練某班有50名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)考試的成績經(jīng)計算得到的平均分?jǐn)?shù)是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是s，后來發(fā)現(xiàn)登記有誤,某甲得70分卻記為40分,某乙50分誤記為80分，更正后重新計算得標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1之間的大小關(guān)系是（）A。s=s1B.s〈s1C。s〉s1D。不能確定解析：由題意,平均數(shù)不變，所以只要看與平均數(shù)的離差的平方的變化情況。因為方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于平均值的平均偏離程度。s中有：（40-70）2+(80—70)2=1000，s1中有:（70—70）2+（50—70)2=400所以s〉s1。答案：C點評：由本例及變式可推理歸納方差的性質(zhì)：（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn,方差為s2,則ax1,ax2,…，axn的方差為a2s2；（2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2,…，xn，方差為s2，則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為a2s2，特別地，當(dāng)a=1時，則有x1+b，x2+b,…,xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性；（3）方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于平均值的平均偏離程度。對于不同的數(shù)據(jù)集，當(dāng)離散程度越大時，方差越大；(4）方差的單位是原始測量數(shù)據(jù)單位的平方,對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答：1.甲、乙兩個班的樣本平均數(shù)為160,但甲班的極差為3，乙班的極差為30，故甲班的波動較小.2.已知s2=3=[(k1—)2+(k2-）2+…+(k8—）2］，而=2-3,s12=18[（2k1—6—2k+6)2+(2k2-6-2k+6）2+…+（2k8-6-2k+6)2］=4s23。甲較穩(wěn)定。4。甲的平均值為10，方差為0.055；乙的平均值為10，方差為0.105.點評：從練習(xí)中再次體會數(shù)據(jù)的離散程度影響對事件的客觀判斷，體會從平均數(shù)、離散程度的角度對事件作出科學(xué)判斷的方法。課堂小結(jié)1。數(shù)據(jù)的離散程度影響對事件的客觀判斷，體會從平均數(shù)、離散程度的角度對事件作出科學(xué)判斷的方法,方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越集中；反之，方差與標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散；2。衡量離散程度的常用計算方法——方差與標(biāo)準(zhǔn)差，熟悉用計算器計算方差與標(biāo)準(zhǔn)差的方法，切實掌握相關(guān)的計算公式、方法、步驟并對有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理解釋；3.樣本的有效選擇對判斷有重要影響,知道影響判斷、決策的因素是多方面的，在對總體作出判斷之前，要充分考慮各種因素，切實體會統(tǒng)計的思想方法；4.樣本數(shù)據(jù)既具有隨機(jī)性又具有規(guī)律性，在很廣泛的條件下，簡單隨機(jī)抽樣樣本的數(shù)字特征如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨樣本容量的增加及時穩(wěn)定于總體相應(yīng)的數(shù)字特征，總體的數(shù)字特征是一定的，不存在隨機(jī)性.作業(yè)課本習(xí)題2.33、5、7.設(shè)計感想本節(jié)課一定要讓學(xué)生體會平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,而方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小。在實際學(xué)習(xí)、工作中用得非常多，比如選擇運動員參加大型比賽時，要看他以前的每次測試的平均成績，但成績的穩(wěn)定性也非常重要；學(xué)習(xí)上也是如此,穩(wěn)定了可以給最后的考試提供穩(wěn)定心理。用這種與生活的息息相關(guān)性激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的無限興趣就是老師最大的收獲。習(xí)題詳解習(xí)題2。31。=(2×5。1+3×5.2+6×5。3+8×5.4+7×5。5+3×5。6+1×5.7）≈5。39。該廠這個月的平均日產(chǎn)值約為5.39萬元.2。在全部數(shù)據(jù)中找出最小值4.0和最大值7.4,兩者之差為3.4，確定全距為3。5,以組距0。5將區(qū)間［4.0，