新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題05分段函數(shù)研究專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題05分段函數(shù)研究一、題型選講題型一、分段函數(shù)的求值問題由于分段函數(shù)的解析式與對應(yīng)的定義域有關(guān)，因此求值時要代入對應(yīng)的解析式。含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）例1、（2020屆浙江省之江教育評價聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．5 D．6例2、(2019南京三模）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，則f(log23)＝▲．例3、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）對于給定正數(shù)k，定義，設(shè)，對任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1題型二、與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．例5、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實數(shù)a＝________．例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知函數(shù)則不等式的解集為▲．題型三、分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。例7、已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_________例8、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則____________________，_________________.題型四分段函數(shù)的零點問題分段函數(shù)的零點，有時需要對新函數(shù)如何構(gòu)建是關(guān)鍵，通常的原則是：一是兩個新函數(shù)圖像是常見初等函數(shù)圖像，二是一個函數(shù)圖像是定的，另一個函數(shù)圖像是動的，三是參數(shù)放在直線型中，即定曲線動直線，這樣便于解決問題，基于這三點例8、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0例9、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))則函數(shù)y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零點個數(shù)為________．例10、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）二、達標訓(xùn)練1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）若,則__________．2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知，若，則_______，______；2、（2020屆浙江省紹興市高三4月一模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)_____；若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為_____.，3、（2020·全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）設(shè)．（1）當(dāng)時，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．5、（2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬）已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍為___．6、（2020屆山東實驗中學(xué)高三上期中）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．若方程恰有3個實根，則D．若函數(shù)在上有6個零點，則的取值范圍是8、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．專題05分段函數(shù)研究一、題型選講題型一、分段函數(shù)的求值問題由于分段函數(shù)的解析式與對應(yīng)的定義域有關(guān)，因此求值時要代入對應(yīng)的解析式。含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）例1、（2020屆浙江省之江教育評價聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函數(shù)，∴，.故選：C.例2、(2019南京三模）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，則f(log23)＝▲．【答案】．EQ\F(3,4)【解析】因為1＜＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝.例3、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）對于給定正數(shù)k，定義，設(shè)，對任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1【答案】B【解析】因為對任意和任意恒有，根據(jù)已知條件可得：對任意恒成立，即，，，當(dāng)時有，即故選：B題型二、與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1,4)；【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時，，此時，即在上有兩個零點；當(dāng)時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.例5、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實數(shù)a＝________．【答案】log23【解析】當(dāng)a－1≤0，即a≤1時，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；當(dāng)a－1>0，即a>1時，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.eq\a\vs4\al(解后反思)本題以分段函數(shù)為背景，考查指數(shù)及對數(shù)的基本運算及分類討論的數(shù)學(xué)思想．例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知函數(shù)則不等式的解集為▲．【答案】【解析】：若，則，由得：，故.若，則，由得：，故.綜上，不等式的解集為.題型三、分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。例7、已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】思路：若在單調(diào)增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：，但僅僅滿足這個條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿足，均有，通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得：例8、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則____________________，_________________.【答案】【解析】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則有，解可得：，則，則；故答案為：；.題型四分段函數(shù)的零點問題分段函數(shù)的零點，有時需要對新函數(shù)如何構(gòu)建是關(guān)鍵，通常的原則是：一是兩個新函數(shù)圖像是常見初等函數(shù)圖像，二是一個函數(shù)圖像是定的，另一個函數(shù)圖像是動的，三是參數(shù)放在直線型中，即定曲線動直線，這樣便于解決問題，基于這三點例8、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；當(dāng)x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3?12，當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，如圖：∴b1?a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?16（a則a>–1，b<0.故選C．例9、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))則函數(shù)y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零點個數(shù)為________．【答案】.4【解析】設(shè)g(x)＝eq\f(lnx,x2)，則由g′(x)＝eq\f(x－lnx·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)＝0，可得x＝eq\r(e)，所以g(x)在(1，eq\r(e))上單調(diào)遞增，在(eq\r(e)，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x→＋∞時，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值為g(eq\r(e))＝eq\f(1,2e)＞eq\f(1,8).在同一平面直角坐標系中畫出y＝|f(x)|與y＝eq\f(1,8)的圖像可得，交點有4個，即原函數(shù)零點有4個．例10、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖象，在y軸右側(cè)的圖象去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點（0,1）時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，（公眾號：高中數(shù)學(xué)最新試題）并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即.故選C．二、達標訓(xùn)練1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）若,則__________．【答案】【解析】因為，所以，應(yīng)填答案.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知，若，則_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案為：；2、（2020屆浙江省紹興市高三4月一模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)_____；若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】，，，.易知時，；又時，遞增，故，要使函數(shù)存在最小值，只需，解得：.故答案為：，.3、（2020·全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫出與的圖象,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過時只有一個交點,此時,向右平移,不再符合條件,故故選：A4、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）設(shè)．（1）當(dāng)時，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．【答案】[0，]【解析】（1）當(dāng)時，當(dāng)x≤0時，f（x）＝（x）2≥（）2，當(dāng)x＞0時，f（x）＝x22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，則函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）≥2，此時的最小值為2，若a＜0，則當(dāng)x＝a時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時f（0）不是最小值，不滿足條件．若a≥0，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）