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專題12利用切線求解恒成立【方法點(diǎn)撥】1.利用“形”解決恒成立問(wèn)題(兩個(gè)均為曲線),可考慮兩曲線在公切點(diǎn)處的取值情況;2.零點(diǎn)問(wèn)題有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為【典型題示例】例1(2021·江蘇南京市期初)若不等式對(duì)一切xR恒成立,其中a,bR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則a+b的取值范圍是.【答案】(-∞,﹣1]【分析】思路一:直接轉(zhuǎn)化為為最值問(wèn)題;思路二:利用“形”,不等式對(duì)一切xR恒成立,即,設(shè),,因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn),故只需開(kāi)口朝下,且在點(diǎn)與有相同的公切線即可.【解析一】令,恒成立,顯然a≤0,,則,,當(dāng)a=0時(shí),在(,0)遞增,(0,)遞減,符合題意,a<0時(shí),在(,)遞減,(,0)遞增,(0,)遞減x<,,故符合題意,綜上,a≤0,b=﹣1,因此a+b(,﹣1].【解析二】不等式可化為,令,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn),故只需直線為在點(diǎn)處的切線即可,易得,此時(shí).當(dāng)時(shí),因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn),為使對(duì)一切xR恒成立,只需開(kāi)口朝下,且在點(diǎn)與有相同的公切線即可,故,此時(shí).綜上,a+b的取值范圍是.例2已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)的圖像恒在直線上方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】依題意,有:,即恒成立,a=0時(shí)顯然成立,a>0時(shí),右邊為開(kāi)口向上的拋物線,不可能恒成立,所以,要使不等式恒成立,需a≤0.當(dāng)a<0時(shí),設(shè),易知兩函數(shù)的凸凹性相反,故只需考慮兩函數(shù)圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),即有公切線的“臨界狀態(tài)”時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)公切點(diǎn)為,則,解之得∴切點(diǎn)為為使,只需,故又a<0,所以.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【鞏固訓(xùn)練】函數(shù)xax2--x,中∈,若等式x1-a恒成,數(shù)a取范圍為.2.(2019·天津理·8)已知,設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的取值范圍為A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù),為正實(shí)數(shù),若函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn),則的值為.4.若曲線與曲線存在公共切線,數(shù)a取范圍為.
【答案或提示】【答案】2.【答案】C3.【答案】1【解析】遇含參問(wèn)題能分離變量則分離.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn),意即與的圖
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