2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算定積分知識(shí)點(diǎn)講解文科版含解析

專題3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算、定積分【考情分析】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)潔函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)潔復(fù)合函數(shù)(僅限于形如y＝f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)；5.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義；6.了解微積分基本定理的含義?！局攸c(diǎn)學(xué)問(wèn)梳理】學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)改變率lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′（x）＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)。【特殊提示】函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)改變趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了改變的方向，其大小|f′(x)|反映了改變的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”。(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)。【特殊提示】曲線y＝fx在點(diǎn)Px0，y0處的切線是指P為切點(diǎn)，斜率為k＝f′x0的切線，是唯一的一條切線。(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。(4)f′(x)是一個(gè)函數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值(常數(shù))，[f′(x0)]′＝0。學(xué)問(wèn)點(diǎn)2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)學(xué)問(wèn)點(diǎn)3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0).學(xué)問(wèn)點(diǎn)4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。學(xué)問(wèn)點(diǎn)5.定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.(2)定積分的幾何意義f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的幾何意義f(x)≥0表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)＜0表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在[a，b]上有正有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積學(xué)問(wèn)點(diǎn)6.定積分的性質(zhì)(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k為常數(shù)).(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx.(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b).學(xué)問(wèn)點(diǎn)7.微積分基本定理一般地，假如f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a).這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)記為F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))＝F(b)－F(a).【特殊提示】函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有(1)若f(x)為偶函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】(2024·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為_(kāi)_______.【解析】由題意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，則f′(1)＝e.【答案】e【方法技巧】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要精確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．(2)在求導(dǎo)過(guò)程中，要細(xì)致分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，避開(kāi)運(yùn)算錯(cuò)誤．【變式探究】（2024·廣東省佛山市一中模擬）已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝.－4[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]高頻考點(diǎn)二求切線方程例2.（2024·新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.【舉一反三】【2024·全國(guó)Ⅰ卷】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________．【解析】所以切線的斜率，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【答案】【方法技巧】(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)．(2)若求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．(3)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常依據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．高頻考點(diǎn)三求參數(shù)的值例3.【2024·全國(guó)Ⅲ卷】已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（）A． B．a(chǎn)=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切點(diǎn)為(1,1)，將(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故選D.【變式探究】（2024·吉林省通化市第一中學(xué)模擬）已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m＜0，∴m＝－2.高頻考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象例4.（2024·山西忻州一中模擬）已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()【答案】B【解析】由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜領(lǐng)先增大后減小，故選B.【變式探究】（2024·浙江省衢州第一中學(xué)模擬）已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝.【答案】0【解析】由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－eq\f(1,3)，∴f′(3)＝－eq\f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.高頻考點(diǎn)五定積分的計(jì)算例5.（2024·江蘇省儀征中學(xué)模擬）計(jì)算eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)＋ln2C.eq\f(5,2)＋ln2 D．3＋ln2【答案】B【解析】eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))|eq\o\al(2,1)＝2＋ln2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)＋ln2.故選B.]【方法技巧】(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差．(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分．(3)分別用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)．(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值，然后求其代數(shù)和．【變式探究】（2024·安徽省阜陽(yáng)市第一中學(xué)模擬）eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝________．【答案】2【解析】eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)|eq\o\al(π,0)＝1＋1＝2高頻考點(diǎn)六定積分的幾何意義例6.（2024·福建省晉江市第一中學(xué)模擬）若eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，則m＝________．【答案】－1【解析】依據(jù)定積分的幾何意義eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx表示圓(x＋1)2＋y2＝1和直線x＝－2，x＝m和y＝0圍成的圖形的面積，又eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)為四分之一圓的面積，結(jié)合圖形知m＝－1.【變式探究】（2024·山東省淄博市第八中學(xué)模擬）曲線y＝－x＋2，y＝eq\r(x)與x軸所圍成的面積為_(kāi)______