江西省吉安市吉水中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江西省吉安市吉水中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的，存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]2．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽(yáng)光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．設(shè)m，n是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則5．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和6．已知直線l和兩個(gè)不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為98．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.9．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.10．我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.11．已知函數(shù)，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_(kāi)______________14．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為_(kāi)_____15．已知球面上的三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為_(kāi)_____16．將邊長(zhǎng)為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖及該長(zhǎng)方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在長(zhǎng)方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論18．（12分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，對(duì)角線，將△沿著對(duì)角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點(diǎn)M，且平面ABCD，（1）求證：平面平面ABD；（2）求點(diǎn)M到平面ABE的距離；（3）求二面角的正弦值19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求B.（2）___________，若問(wèn)題中的三角形存在，試求出；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）2022北京冬奧會(huì)即將開(kāi)始，北京某大學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與志愿者的選拔．某學(xué)院有6名學(xué)生通過(guò)了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負(fù)責(zé)滑雪項(xiàng)目服務(wù)崗位，那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進(jìn)行滑雪項(xiàng)目相關(guān)知識(shí)及志愿者服務(wù)知識(shí)競(jìng)賽，共賽10局．A、B兩組分?jǐn)?shù)（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度看，應(yīng)選擇哪個(gè)組更合適？理由是什么？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，時(shí)，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對(duì)于任意的，．因?yàn)殚_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為軸，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在[，2]上的值域?yàn)閇a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.2、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A3、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即，所以的范圍故選：D4、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、C【解析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為.故選：C6、D【解析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系，應(yīng)用定義法判斷兩個(gè)條件之間的充分、必要性.【詳解】當(dāng)，時(shí)，直線l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當(dāng)，時(shí)，直線l可在平面內(nèi)，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.7、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C8、A【解析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.9、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線所以，即故選：B10、D【解析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個(gè)月已還多少本金，由此可計(jì)算出個(gè)月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D11、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A12、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤，D正確；由，可得，，故B，C錯(cuò)誤.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)椋字?，又因?yàn)?，，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.14、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對(duì)原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.16、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由展開(kāi)圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問(wèn)1詳解】如圖，【小問(wèn)2詳解】若選擇①，若此時(shí)有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因?yàn)?，則平面，由平面可得，故此時(shí)矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長(zhǎng)方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）1；（3）.【解析】（1）過(guò)E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求的坐標(biāo)及面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結(jié)合（2）中面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值.【小問(wèn)1詳解】過(guò)E作EO垂直于BD于O，連接AO，因?yàn)椋?，故，同理，又，所以，即因?yàn)锳BCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小問(wèn)2詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，面ABE的法向量為，所以，令，則又，則點(diǎn)M到面ABE的距離為【小問(wèn)3詳解】由（2）得：面ABE的一個(gè)法向量為，且，若面MBA的法向量為，則，令，則所以，故二面角正弦值為19、（1）；（2）見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)有與k無(wú)關(guān)即可.【詳解】（1）由圓方程中的時(shí)，的兩根不為相反數(shù)，故可設(shè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，由（1）可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）應(yīng)用的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造法可得，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可證結(jié)論.（2）由（1）得，再應(yīng)用錯(cuò)位相減法求，即可