2025屆北京市東城區(qū)市級名校數學高一上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆北京市東城區(qū)市級名校數學高一上期末質量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，AB是⊙O直徑，C是圓周上不同于A、B的任意一點，PA與平面ABC垂直，則四面體P_ABC的四個面中，直角三角形的個數有（）A.4個 B.3個C.1個 D.2個2．劉徽(約公元225年—295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一.他在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正邊形等分成個等腰三角形(如圖所示)，當變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，可以得到的近似值為（）A. B.C. D.3．對于函數的圖象，關于直線對稱；關于點對稱；可看作是把的圖象向左平移個單位而得到；可看作是把的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍而得到以上敘述正確的個數是A.1個 B.2個C.3個 D.4個4．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A. B.C. D.5．一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為（）A.21+ B.18+C.21 D.186．函數的圖像大致為A. B.C. D.7．定義域在R上的函數是奇函數且，當時，，則的值為（）A. B.C D.8．與-2022°終邊相同的最小正角是（）A.138° B.132°C.58° D.42°9．若函數的定義域是（）A. B.C. D.10．若，則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若兩平行直線2x+y-4=0與y=-2x-k-2的距離不大于,則k的取值范圍是____12．若，則該函數定義域為_________13．直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行，則a=__________14．已知點為角終邊上一點，則______.15．已知，且，寫出一個滿足條件的的值：______.16．的解集為_____________________________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，函數的圖像與的圖像關于對稱.（1）求的值；（2）若函數在上有且僅有一個零點，求實數k取值范圍；（3）是否存在實數m，使得函數在上的值域為，若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由.18．已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求所在直線的方程.19．榴彈炮是一種身管較短，彈道比較彎曲，適合于打擊隱蔽目標和地面目標的野戰(zhàn)炮，是地面炮兵的主要炮種之一．為中國共產黨建黨100周年獻禮，某軍工研究所對某類型榴彈炮進行了改良．如圖所示，建立平面直角坐標系，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為．改良后的榴彈炮位于坐標原點．已知該炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標（1）求該類型榴彈炮的最大射程；（2）證明：該類型榴彈炮發(fā)射的高度不會超過20．設函數（1）若不等式解集，求、的值；（2）若，在上恒成立，求實數的取值范圍21．已知集合，，.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】AB是圓O的直徑,可得出三角形是直角三角形，由圓O所在的平面，根據線垂直于面性質得出三角形和三角形是直角三角形，同理可得三角形是直角三角形.【詳解】∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=，即,三角形是直角三角形.又∵圓O所在的平面，∴三角形和三角形是直角三角形,且BC在此平面中，∴平面,∴三角形是直角三角形.綜上，三角形，三角形，三角形，三角形.直角三角形數量為4.故選：A.【點睛】考查線面垂直的判定定理和應用，知識點較為基礎.需多理解.難度一般.2、B【解析】將一個圓的內接正邊形等分成個等腰三角形；根據題意，可知個等腰三角形的面積和近似等于圓的面積，從而可求的近似值.【詳解】將一個圓的內接正邊形等分成個等腰三角形，設圓的半徑為，則，即，所以.故選：B.3、B【解析】由判斷；由判斷；由的圖象向左平移個單位，得到的圖象判斷；由的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，得到函數的圖象判斷.【詳解】對于函數的圖象，令，求得，不是最值，故不正確；令，求得，可得的圖象關于點對稱，故正確；把的圖象向左平移個單位，得到的圖象，故不正確；把的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，得到函數的圖象，故正確，故選B【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查三角函數的對稱性以及三角函數的圖象的變換規(guī)律，屬于中檔題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.4、B【解析】圓的圓心在直線上，設圓心為.圓與直線及都相切，所以，解得.此時半徑為：.所以圓的方程為.故選B.5、A【解析】由題意，該多面體的直觀圖是一個正方體挖去左下角三棱錐和右上角三棱錐，如下圖，則多面體的表面積.故選A.考點：多面體的三視圖與表面積.6、A【解析】詳解】由得，故函數的定義域為又，所以函數為奇函數，排除B又當時，；當時，．排除C，D．選A7、A【解析】根據函數的奇偶性和周期性進行求解即可.【詳解】因為，所以函數的周期為，因為函數是奇函數，當時，，所以，故選：A8、A【解析】根據任意角的周期性，將-2022°化為，即可確定最小正角.【詳解】由-2022°，所以與-2022°終邊相同的最小正角是138°.故選：A9、C【解析】根據偶次根號下非負，分母不等于零求解即可.【詳解】解：要使函數有意義，則需滿足不等式，解得：且，故選：C10、A【解析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限【詳解】因為，，所以，故在第二象限，即，故，當為偶數時，在第一象限，當為奇數時，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故選A.【點睛】本題考查了三角函數的象限角，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用平行線之間的距離及兩直線不重合列出不等式，求解即可【詳解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程為2x+y+k+2＝0，則兩平行直線的距離d得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1，當k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此時兩直線重合，所以k的取值范圍是故答案為【點睛】本題考查了兩平行直線間的距離，考查兩直線平行的條件，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解析】由，即可求出結果.【詳解】因為，所以，解得，所以該函數定義域為.故答案為【點睛】本題主要考查函數的定義域，根據正切函數的定義域，即可得出結果，屬于基礎題型.13、3【解析】a=0時不滿足條件，∵直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行a≠0，∴解得a=314、5【解析】首先求，再化簡，求值.【詳解】由題意可知.故答案為：5【點睛】本題考查三角函數的定義和關于的齊次分式求值，意在考查基本化簡和計算.15、0（答案不唯一）【解析】利用特殊角的三角函數值求解的值.【詳解】因為，所以，，則，或，，同時滿足即可.故答案為：016、【解析】由題得，解不等式得不等式的解集.【詳解】由題得，所以.所以不等式的解集為.故答案為【點睛】本題主要考查正切函數的圖像和性質，考查三角不等式的解法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或（3）存在，【解析】（1）由題意，將代入可得答案.（2）由題意即關于x的方程在上有且僅有一個實根，設,作出其函數圖像，數形結合可得答案.（3）設記，則函數在上單調遞增，根據題意若存在實數m滿足條件，則a，b是方程的兩個不等正根，由二次方程的根的分布的條件可得答案.【小問1詳解】由題意，，所以【小問2詳解】由題意即關于x的方程在上有且僅有一個實根，設，作出函數在上的圖像（如下圖），，由題意，直線與該圖像有且僅有一個公共點，所以實數k的取值范圍是或【小問3詳解】記，其中，在定義域上單調遞增，則函數在上單調遞增，若存在實數m，使得的值域為，則，即a，b是方程的兩個不等正根，即a，b是的兩個不等正根，所以解得，所以實數m的取值范圍是.【點睛】思路點睛：函數的零點問題可轉化為兩個熟悉函數的圖象的交點問題來處理，而二次方程的零點問題，可結合判別式的正負、特殊點處的函數值的正負、對稱軸的位置等來處理.18、(1)(2)【解析】（1）根據AC和BH的垂直關系可得到直線的方程為，再代入點A的坐標可得到直線的方程為，聯(lián)立CM直線可得到C點坐標；（2）設，則，將兩個點分別帶入BH和CM即可求出，結合第一問得到BC的方程解析：（1）因為，的方程為，不妨設直線的方程為，將代入得，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立直線的方程，即，解得點的坐標為.（2）設，則，因為點在上，點在上，所以，解得，所以,所以直線的方程為，整理得.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）解一元二次方程即可求得該類型榴彈炮的最大射程；（2）以二次函數在給定區(qū)間求值域的方法去解決即可.【小問1詳解】令，得，由實際意義和題設條件知，故，（當且僅當時取等號）所以炮的最大射程為；【小問2詳解】，由，可知因此，所以該類型榴彈炮發(fā)射的高度不會超過20、（1