吉林省聯誼校2025屆高二數學第一學期期末聯考試題含解析

吉林省聯誼校2025屆高二數學第一學期期末聯考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列數列是遞增數列的是（）A. B.C. D.2．若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.103．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.84．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.5．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.6．已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知集合，則（）A. B.C. D.8．若平面的一個法向量為，點，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.49．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.22010．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.11．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準線于點，準線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.12．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________14．已知等比數列的前n項和為，且滿足，則_____________15．已知，求_____________.16．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求18．（12分）已知函數，（1）討論的單調性；（2）若時，對任意都有恒成立，求實數的最大值19．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.20．（12分）已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，求函數在內的零點個數.22．（10分）已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分別判斷的符號，從而可得出答案.【詳解】解：對于A，，則，所以數列為遞減數列，故A不符合題意；對于B，，則，所以數列為遞減數列，故B不符合題意；對于C，，則，所以數列為遞增數列，故C符合題意；對于D，，則，所以數列遞減數列，故D不符合題意.故選：C.2、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A3、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關系構造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.4、C【解析】根據雙曲線的定義和性質，當弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當軸時,周長最小值為故選：C5、C【解析】由空間向量共面定理可得點四點共面，從而將求的最小值轉化為求點到平面的距離，再根據等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點四點共面，即點在平面上，所以的最小值為點到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】共面定理的應用：設是不共面的四點，則對空間任意一點，都存在唯一的有序實數組使得，說明：若，則四點共面.6、C【解析】由題設分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C7、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設，，∴.故選：C.8、B【解析】求出，點A到平面的距離：，由此能求出結果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點到平面的距離：故選：B.9、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數列，由，算出公比，結合，即可求出.【詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.10、C【解析】利用向量數量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C11、B【解析】根據拋物線定義，結合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據題意，過作垂直于準線，垂足為，過作垂直于準線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.12、D【解析】建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設正方體的棱長為2，連接，以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2x＋4y－3＝0【解析】設弦端點為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.14、##31.5【解析】根據等比數列通項公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因為數列為等比數列，所以，又，所以，所以.故答案為：15、【解析】根據導數的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.16、【解析】求解導函數，然后根據導數的幾何意義求出切線斜率，并計算，利用點斜式寫出切線方程.【詳解】，由題意，切線的斜率為，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數列的奇數項與偶數項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.【詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數列是首項，公比為3的等比數列，數列是首項，公比為3的等比數列，所以，于是從而，綜上所述，.【點睛】已知數列{an}的前n項和Sn，求數列的通項公式，其求解過程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當n≥2時an的表達式；（3）對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．數列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據通項特點進行選用.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）利用導數與單調性的關系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構造函數，利用導數求函數的最值即可.【小問1詳解】的定義域為，且當時，顯然，在定義域上單調遞增；當時，令，得則有：極大值即在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在定義域上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】當時，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，則，在上單調遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數得，極小值，則的最大值為19、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得結果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯立方程組求出交點坐標，即可得到弦長.【小問1詳解】由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問2詳解】聯立直線和得，解得，，21、（1）當，在單調遞增；當，在單調遞增,在單調遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對參數分類討論，即可由每種情況下的正負確定函數的單調性；（2）根據題意求得，利用進行放縮，只需證即，再利用導數通過證明從而得到恒成立，則問題得解.【小問1詳解】以為，其定義域為，又，故當時，，在單調遞增；當時，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調遞增，在單調遞減.綜上所述：當，在單調遞增；當，在單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】因為，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調遞減，又當時，，故在恒成立，即；因為，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時該函數單調遞增，令，解得，此時該函數單調遞減，又當時，，也即；令，則，令，解得，此時該函數單調遞減，令，解得，此時該函數單調遞增，又當時，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當時，恒成立，則在上的零點個數是.【點睛】本題考察利用導數研究含參函數的單調性，以及函數零點問題的處理；本題第二問處理的關鍵是通過分離參數和構造函數，證明恒成立，屬綜合困難題.22、（1）C：；D：；（2）①且；②見解析.【解析】（1）根據D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點，再由橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據題意容易