2025屆福建省福州第四中學高三數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆福建省福州第四中學高三數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．2．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內切 B．相交 C．外切 D．相離3．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為84．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．55．生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．6．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．17．設，隨機變量的分布列是01則當在內增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大8．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．9．已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．10．射線測厚技術原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，，結果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．11．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若奇函數(shù)滿足，為R上的單調函數(shù)，對任意實數(shù)都有，當時，，則________.14．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.15．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___16．在中，，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在以為頂點的五面體中，底面為菱形，，，，二面角為直二面角.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.19．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.20．（12分）設函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.21．（12分）在直角坐標系中，已知點，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）設曲線與曲線相交于，兩點，求的值.22．（10分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結構是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據幾何體的結構求出其體積.2、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3、D【解析】

由兩組數(shù)據間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.4、D【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質計算．【詳解】由題意．故選：D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質是解題關鍵．5、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進而得到結果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．6、D【解析】

由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．7、C【解析】

，，判斷其在內的單調性即可．【詳解】解：根據題意在內遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調遞減，故選：C．【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題．8、D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.9、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.10、C【解析】

根據題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關性質來研究指數(shù)型函數(shù)的性質,以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.11、A【解析】

根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A【點睛】本題考查拋物線的性質，考查運算求解能力；屬于基礎題.12、C【解析】

根據等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù)，令，可求，從而可得，代入解析式即可求解.【詳解】令，則，由，則，所以，解得，所以，由時，，所以時，；由，所以，所以函數(shù)是以為周期的函數(shù)，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，屬于中檔題.14、【解析】

根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15、-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當直線經過A點時目標函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-116、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點，取中點，連結，證明平面得到答案.（Ⅱ）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（Ⅰ）連接交于點，取中點，連結因為為菱形，所以.因為，所以.因為二面角為直二面角，所以平面平面，且平面平面，所以平面所以因為所以是平行四邊形，所以.所以，所以，所以平面，又平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知兩兩垂直，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設設平面的法向量為，由，取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，，是一個單調遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，，根據，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.19、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.20、(1)；(2)【解析】試題分析：（1）將絕對值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解．（2）將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據恒成立問題的解法求解即可．試題解析：整理得解得①②解得③,且無限趨近于4，綜上的取值范圍是21、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標和直角坐標的轉化公式，求得的直角坐標方程.（2