2025屆廣東省揭陽市惠來一中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2025屆廣東省揭陽市惠來一中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,)，則的值為（）A B.C. D.2．函數(shù)的一個零點(diǎn)落在下列哪個區(qū)間（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）3．計算cos(－780°)的值是()A.－ B.－C. D.4．已知實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)在下列哪個區(qū)間內(nèi)A. B.C. D.5．若是三角形的一個內(nèi)角，且，則三角形的形狀為（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無法確定6．設(shè)全集，集合，，則等于A. B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}7．已知函數(shù)的圖象，給出以下四個論斷①的圖象關(guān)于直線對稱②圖象的一個對稱中心為③在區(qū)間上是減函數(shù)④可由向左平移個單位以上四個論斷中正確的個數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.08．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A. B.C D.9．函數(shù)與（且）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.10．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正數(shù)x、y滿足x+=4，則xy的最大值為_______.12．集合，，則__________.13．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為__________.14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__15．已知集合，若，則________.16．已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，平面，，在線段上，，.（1）求證：；（2）試探究：在上是否存在點(diǎn)，滿足平面，若存在，請指出點(diǎn)的位置，并給出證明；若不存在，說明理由.18．已知集合，（1）當(dāng)時，求；（2）若，求19．已知向量=(3，2)，=(-1，2)，=(4，1)（1）若=m+n，求m，n的值；（2）若向量滿足(-)(+)，|-|=2，求的坐標(biāo).20．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育重要的階段，長時間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩個班的學(xué)生每周熬夜學(xué)習(xí)的總時長（單位：小時)，從這兩個班中各隨機(jī)抽取名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們最近一周熬夜學(xué)習(xí)的總時長作為樣本數(shù)據(jù)，如下表所示．如果學(xué)生一周熬夜學(xué)習(xí)的總時長超過小時，則稱為“過度熬夜”．甲班乙班（1）分別計算出甲、乙兩班樣本的平均值；（2）為了解學(xué)生過度熬夜的原因，從甲、乙兩班符合“過度熬夜”的樣本數(shù)據(jù)中，抽取個數(shù)據(jù)，求抽到的數(shù)據(jù)來自同一個班級的概率；（3）從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個數(shù)據(jù)，求恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率21．已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】令冪函數(shù)且過(2,)，即有，進(jìn)而可求的值【詳解】令，由圖象過(2,)∴，可得故∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，由冪函數(shù)的形式及其所過的定點(diǎn)求解析式，進(jìn)而求出對應(yīng)函數(shù)值，屬于簡單題2、B【解析】求出、，由及零點(diǎn)存在定理即可判斷.【詳解】，，，則函數(shù)的一個零點(diǎn)落在區(qū)間上.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可【詳解】cos（-780°）=cos780°=cos60°=故選C【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力4、B【解析】由3a＝5可得a值，分析函數(shù)為增函數(shù)，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f（0）的值，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得答案【詳解】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)a滿足3a＝5，則a＝log35＞1，則函數(shù)為增函數(shù)，且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0，f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0，f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性可知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（﹣1，0）上，故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，分析函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵5、A【解析】已知式平方后可判斷為正判斷的正負(fù)，從而判斷三角形形狀【詳解】解：∵，∴，∵是三角形的一個內(nèi)角，則，∴，∴為鈍角，∴這個三角形為鈍角三角形.故選：A6、C【解析】由并集與補(bǔ)集的概念運(yùn)算【詳解】故選：C7、B【解析】利用代入檢驗(yàn)法可判斷①②③的正誤，利用圖象變換可判斷④的正誤.【詳解】，故的圖象關(guān)于直線對稱，故①正確.，故的圖象的對稱中心不是，故②錯誤.，當(dāng)，，而在為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故③正確.向左平移個單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為，當(dāng)時，此函數(shù)的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故④錯誤.故選：B.8、A【解析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷BCD，根據(jù)定義判斷的奇偶性.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)都是增函數(shù)，所以BCD錯誤；因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，A正確.故選：A9、B【解析】分析一次函數(shù)的單調(diào)性，可判斷AD選項，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍，結(jié)合直線與軸的交點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系可得出合適的選項.【詳解】因?yàn)橐淮魏瘮?shù)為直線，且函數(shù)單調(diào)遞增，排除AD選項.對于B選項，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，合乎題意；對于C選項，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的下方，不合乎題意.故選：B.10、A【解析】由三角函數(shù)定義得tan再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可【詳解】由三角函數(shù)定義得tan，即,得3cos解得或（舍去）故選A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，熟記公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】根據(jù)，利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以xy的最大值為8.故答案為：8.12、【解析】通過求二次函數(shù)的值域化簡集合,再根據(jù)交集的概念運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了交集的運(yùn)算,考查了求二次函數(shù)的值域,搞清楚集合中元素符號是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】根據(jù)最大值得，再由圖像得周期，從而得，根據(jù)時，取得最大值，利用整體法代入列式求解，再結(jié)合的取值范圍可得.【詳解】根據(jù)圖像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因?yàn)椋?，故函?shù)的解析式為.故答案為：.14、【解析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，求得原函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間，即可得到原函數(shù)的減區(qū)間【詳解】由，得或，令，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，而y＝是定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：15、0【解析】若兩個集合相等,則兩個集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.點(diǎn)睛：利用元素的性質(zhì)求參數(shù)的方法（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).16、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時的x的集合,(2)由五點(diǎn)法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時x的集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）因?yàn)槊?，所以，結(jié)合就有面，從而.（2）取，在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).可以證明四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面.我們還可以在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).通過證明平面平面得到平面.【詳解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）當(dāng)時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).∵，∴，又，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面，面，∴平面.（法二）當(dāng)時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).∵，面，面，∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.點(diǎn)睛：證明線面平行，我們既可以在已知平面中找出與已知直線平行的直線，通過線面平行的判定定理去考慮，也可以利用構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.18、（1）（2）【解析】（1）化簡求得集合，根據(jù)補(bǔ)集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；（2）由，根據(jù)，求出，再求出，計算可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得：當(dāng)時，所以【小問2詳解】由題意知：又所以方程的一個根為4，解得，所以，符合題設(shè)條件，故19、（1）；（2）=(2，3)或=(6，5).【解析】（1）利用向量線性坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示以及向量模的坐標(biāo)表示列方程組即可求解.【詳解】解：（1）若=m+n，則(4，1)=m(3，2)+n(-1，2)即所以（2）設(shè)=(x，y)，則-=(x-4，y-1)，+=(2，4)(-)(+)，|-|=2解得或所以=(2，-3)或=(6，5)20、（1），；（2）；（3）【解析】（1）利用平均數(shù)公式代入求解；（2）由題意得甲班和乙班各有“過度熬夜”的人數(shù)為，計算得基本事件總數(shù)和個數(shù)據(jù)來自同一個班級的基本事件的個數(shù)，然后利用古典概型的公式代入計算取個數(shù)據(jù)來自同一個班級的概率；（3）甲班共有個數(shù)據(jù)，其中“過度熬夜”的數(shù)據(jù)有個，計算得基本事件總數(shù)和恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的公式代入計算恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率.【詳解】（1）甲的平均值：；乙的平均值：；（2）由題意，甲班和乙班各有“過度熬夜”的人數(shù)為，抽取個數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個，抽到來自同一個班級的基本事件的個數(shù)為，則抽取個數(shù)據(jù)來自同一個班級的概率為；（3）甲班共有個數(shù)據(jù)，其中“過度熬夜”的數(shù)據(jù)有個，從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個，恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”包含的基本事件的個數(shù)為個，則恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率為.21、（1）；（2