廣東省肇慶市省部分重點中學2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣東省肇慶市省部分重點中學2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A. B.1C. D.2．已知，，，，則下列不等關系正確的是()A. B.C. D.3．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.4．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e5．已知函數(shù)，為的導數(shù)，則（）A.-1 B.1C. D.6．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.7．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石8．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.99．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.10．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.11．已知圓O的半徑為5，，過點P的2021條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B.C. D.12．經(jīng)過點A(0，－3)且斜率為2的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______14．由曲線圍成的圖形的面積為________15．過圓內的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最長，則直線的方程是______16．已知雙曲線M的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標準方程.①一個焦點坐標為；②經(jīng)過點；③離心率為.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標準方程是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點①求證：；②設OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點，過點O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值18．（12分）已知平面內兩點.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求線段的垂直平分線方程.19．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個條件：①，②，③中選擇一個作為條件，補充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構造的問題.（如果選擇多個關系并分別解答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）設橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)的圖像在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得，再根據(jù)復數(shù)的運算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B2、C【解析】不等式性質相關的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負數(shù)，因為，則，故A錯.若、，則，故B錯.由不等式的性質可知，因為，所以，故C對.若，因為，所以，故D錯.故選：C.3、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.4、D【解析】求導，由得出.【詳解】，故選：D5、B【解析】由導數(shù)的乘法法則救是導函數(shù)后可得結論【詳解】解：由題意，，所以.故選：B6、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.7、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和求，進而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.8、B【解析】先求得直線過定點，再根據(jù)當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B9、B【解析】不妨設點為第一象限的交點，結合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結合余弦定理得到，即，令然后結合三角函數(shù)即可求出結果.【詳解】不妨設點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)10、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.11、B【解析】可得過點P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點P的與垂直的弦，，公差.故選：B.12、A【解析】直接代入點斜式方程求解即可詳解】因為直線經(jīng)過點且斜率為2，所以直線的方程為，即，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線焦點弦性質求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.14、【解析】曲線圍成的圖形關于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關于關于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當，時，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.15、【解析】當直線l過圓心時滿足題意，進而求出答案.【詳解】圓的標準方程為：，圓心，當l過圓心時滿足題意，，所以l的方程為：.故答案為：.16、①.①②或①③或②③②.或或【解析】選①②，根據(jù)焦點坐標及頂點坐標直接求解，選①③，根據(jù)焦點坐標及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點坐標及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線的標準方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線的標準方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線的標準方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及過點求出求解即可；（2）①設直線l的方程為，利用向量的數(shù)量積計算證明即可；②設直線CD方程為，利用求出，再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設，，依題意，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因為，所以，因此，②證明：設，，設直線CD方程為，因為，所以，則，聯(lián)立，得當時，，則所以，即滿足則，即為定值18、（1）（2）【解析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式方程求解即可；（2）求出線段的中點坐標，求出斜率然后求解垂直平分線方程.試題解析：（1）∵點∴∴由點斜式得直線的方程（2）∵點∴線段的中點坐標為∵∴線段的垂直平分線的斜率為∴由點斜式得線段的垂直平分線的方程為19、【解析】分別在、和的情況下得命題對應的集合；選條件后可求得命題對應的集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結果.【詳解】由得：，當時，不等式解集；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；是的充分不必要條件，命題對應集合是命題對應集合的真子集，即；若選條件①：由得：，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：由得：，解得：，；當時，，符合題意；當時，由知：，；當時，由知：，；綜上所述：，即實數(shù)的取值范圍為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對數(shù)列進行裂項求和，即可求得.【小問1詳解】當時，.當時，，因為當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，故數(shù)列的前項和.21、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標準方程；（2）本小題先設過的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標準方程為；（2）設點、的坐標為，，因為直線過點，所以可設直線方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡整理得，其中，所以，