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浙江省嵊州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,則的最小值為()A. B.C. D.2.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則點(diǎn)到平面的距離是()A. B.C. D.3.某商場(chǎng)有四類食品,其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A.4 B.5C.6 D.74.已知點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)P滿足,則的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是()A. B.C. D.6.命題“對(duì)任意,都有”的否定是()A.對(duì)任意,都有 B.存在,使得C.對(duì)任意,都有 D.存在,使得7.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),則等于()A. B.C. D.以上都不對(duì)8.設(shè),直線,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知數(shù)列滿足,且,那()A.19 B.31C.52 D.10410.函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.11.給出下列判斷,其中正確的是()A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線與同一條直線相交,三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)12.在等差數(shù)列中,,,則的值是()A.130 B.260C.156 D.168二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H為對(duì)角線與圓的交點(diǎn),若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_(kāi)________14.命題“若實(shí)數(shù)a,b滿足,則且”是_______命題(填“真”或“假”).15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足通項(xiàng)公式,則________16.已知數(shù)列滿足,則其通項(xiàng)公式_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn),若點(diǎn)T在第一象限,且與x軸垂直,過(guò)T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點(diǎn)M,N,探究直線的斜率是否為定值?若為定值,請(qǐng)求之;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由18.(12分)已知拋物線C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-1).(1)求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)過(guò)拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M:的一條切線,切點(diǎn)為A,求切線長(zhǎng)|PA|的最小值.19.(12分)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn);(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn).20.(12分)在四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2(1)求四棱錐P﹣ABCD的體積V;(2)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF21.(12分)如圖,四棱錐中,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,為正方形,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.22.(10分)設(shè)p:;q:關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根.(1)若q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若是假命題,且是真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將代數(shù)式展開(kāi),然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】,,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因此,的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量所學(xué)點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸.因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為4,所以,,,,,所以,,,設(shè)平面的法向量,所以,,即,設(shè),所以,,即,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,所以,故選:D.3、C【解析】按照分層抽樣的定義進(jìn)行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有,糧食類:植物油類:動(dòng)物性食品類:果蔬類=4:1:3:2,抽20個(gè)出來(lái),則糧食類8個(gè),植物油類2個(gè),動(dòng)物性食品類6個(gè),果蔬類4個(gè),則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個(gè).故選:C.4、C【解析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合),要求的取值范圍,只需求出到圓上點(diǎn)的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè),在以為直徑的圓上,令,則(不與重合),所以的取值范圍,即為到圓上點(diǎn)的距離范圍,又圓心到的距離,圓的半徑為2,所以的取值范圍為,即.故選:C5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像自左至右是先減后增,可知函數(shù)y=f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大,且,在處的切線的斜率為0,故BCD錯(cuò)誤,A正確.故選:A.6、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式,可判斷正確答案.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以命題“對(duì)任意,都有”的否定是“存在,使得”故選:B.7、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選:C8、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值,再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若,則,解得或,因此,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.9、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以有,因此?shù)列是公比的等比數(shù)列,因?yàn)?,所以,故選:D10、D【解析】分析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解:觀察函數(shù)圖象,從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增,然后單調(diào)遞減,最后單調(diào)遞增.對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正,負(fù),正.,選項(xiàng)D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.11、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A,如果三點(diǎn)在同一條直線上,則不能確定一個(gè)平面,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線上,就不能確定一個(gè)平面,故B錯(cuò)誤;對(duì)C,兩條平行直線確定一個(gè)平面,一條直線與這兩條平行直線都相交,則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個(gè)平面內(nèi),故這三條直線在同一平面內(nèi),C正確;對(duì)D,空間兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面,也可確定三個(gè)平面,故D錯(cuò)誤.故選:C12、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算得到,進(jìn)而利用求和公式,變形求出答案.【詳解】由題意得:,故故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算得所求概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則陰影部分的面積為,故若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)概率為故答案為:.14、假【解析】列舉特殊值,判斷真假命題.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,命題“若實(shí)數(shù)a,b滿足,則且”是假命題.故答案為:假15、【解析】由時(shí),,可得,利用累乘法得,從而即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,又,所以,檢驗(yàn)時(shí)也成立,所以,所以,故答案:.16、【解析】構(gòu)造法可得,由等比數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得.【詳解】令,則,又,∴,故,而,∴是公比為,首項(xiàng)為,則,∴.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)直線的斜率為定值,且定值為.【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率及所過(guò)的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b,即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題設(shè)得,法一:設(shè)為,聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo),根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率;法二:設(shè)為,,聯(lián)立橢圓方程,應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程,即可判斷是否為定值.【小問(wèn)1詳解】由題意,則,又,所以橢圓C方程為,代入有,解得,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)易知:,法一:設(shè)直線為,由,消去y,整理得,因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為,所以M的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo),故M為,用代替k,得N為,所以,故直線的斜率為定值法二:由已知直線的斜率存在,可設(shè)直線為,,由,消去y,整理得,所以,而,又,代入整理得,所以,即,若,則直線過(guò)點(diǎn)T,不合題意,所以.即,故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第二問(wèn),設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程,應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于直線斜率的方M、N程,或求出的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率.18、(1),焦點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)【解析】(1)將點(diǎn)代入拋物線方程求解出的值,則拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知;(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)切線垂直于半徑,根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)距離公式表示出,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最小值.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以拋物線的方程為:,焦點(diǎn)坐標(biāo)為;【小問(wèn)2詳解】解:設(shè),因?yàn)闉閳A的切線,所以,,所以,所以當(dāng)時(shí),四邊形有最小值且最小值為.19、(1);(2).【解析】(1)利用雙曲線定義求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)即可計(jì)算作答.(2)設(shè)出雙曲線的方程,利用待定系數(shù)法求解作答.【小問(wèn)1詳解】因雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),令雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a,則有,解得,雙曲線半焦距,虛半軸長(zhǎng)b有,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意,設(shè)雙曲線的方程為:,于是得,解得:,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20、(1)(2)見(jiàn)解析.【解析】(1)在中,,求得,由此能求出四棱錐的體積;(2)由平面,證得和,由此利用線面垂直的判定定理,即可證得平面.試題解析:(1)在中,.在中,.則.(2),為的中點(diǎn),.平面.平面.為中點(diǎn),為為中點(diǎn),,則.平面.考點(diǎn):四棱錐的體積公式;直線與平面垂直的判定與證明.21、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)連接,證明,即可證明平面;(2)取的中點(diǎn),連接,由平面平面,得平面,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,利用向量法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明:連接,是正方形,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),,平面,平面,平面;【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn),連接,則,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?,且平面平面,所以平面,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,則,設(shè)平面的法向量,則有,
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