教學設計6：1-1-1 正弦定理

高中數(shù)學課程PAGEPAGE71.1.1正弦定理教學目標：1．讓學生從已有的幾何知識出發(fā),通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題.2．通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力.3．通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣.4．培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.教學重點與難點教學重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應用.教學難點：正弦定理的猜想提出過程.教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器.教學過程：（一）結合實例，激發(fā)動機師生活動：每天我們都在科技樓里學習，對科技樓熟悉嗎？那大家知道科技樓有多高嗎？給大家一個皮尺和測角儀，你能測出樓的高度嗎？學生思考片刻，教師引導.生1：在樓的旁邊取一個觀測點C，再用一個標桿，利用三角形相似.師：方法可行嗎？生2：B點位置在樓內(nèi)不確定，故BC長度無法測量，一次測量不行.師：你有什么想法？生2：可以再取一個觀測點D.師：多次測量取得數(shù)據(jù)，為了能與上次數(shù)據(jù)聯(lián)系，我們應把D點取在什么位置？生2：向前或向后師：好，模型如圖（2）：我們設，,CD=10m,那么我們能計算出AB嗎？生3：由求出AB.師：很好，我們可否換個角度，在Rt中，能求出AD,也就求出了AB.在中，已知兩角，也就相當于知道了三個角，和其中一個角的對邊，要求出AD，就需要我們來研究三角形中的邊角關系.師：探究一般三角形中的邊角關系，我們應從我們最熟悉的特殊三角形入手！生4：直角三角形.師：直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關系？生5：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,則有，，又,則從而在直角三角形ABC中，（二）證明猜想，得出定理師生活動：教師：那么，在斜三角形中也成立嗎？用幾何畫板演示，用多媒體的手段對結論加以驗證！但特殊不能代替一般，具體不能代替抽象，這個結果還需要嚴格的證明才能成立，如何證明哪？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學生分組討論，每組派一個代表總結.（以下證明過程，根據(jù)學生回答情況進行敘述）學生6：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗.=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設，，作：，垂足為在中，在中，同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，，，，作交的延長線于.在中，在中，同銳角三角形證明可知教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即師：我們在前面學習了平面向量，向量是解決數(shù)學問題的有力工具，而且和向量的聯(lián)系緊密，那么同學們能否用向量的知識證明正弦定理？學生要思考一下.師：觀察式子結構，里面有邊及其邊的夾角，與向量的哪一部分知識有關？生7：向量的數(shù)量積師：那向量的數(shù)量積的表達式是什么？生8：師：表達式里是角的余弦，我們要證明的式子里是角的正弦.生：利用誘導公式.師：式子變形為：,師：很好，那我們就用向量來證明正弦定理，同學們請試一試！學生討論合作，就可以解決這個問題教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學下去再探索.設計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程.（三）利用定理，解決引例師生活動：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題.學生：馬上得出在中，（四）了解解三角形概念設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望.（五）運用定理，解決例題師生活動：教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題.學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：=1\*GB3①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；=2\*GB3②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如.師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟.例1：在中，已知∠，∠，cm，解三角形.【解析】“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊.解：由題意得，∠C=180°-30°-45°=105°由正弦定理得，，例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）.解：根據(jù)正弦定理，因為＜＜，所以，或（1）當時，，cm（2）當時，，（六）嘗試小結：教師：提示引導學生總結本節(jié)課的主要內(nèi)容.學生：思考交流，歸納