北京市順義區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1順義區(qū)2023屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學試卷考生須知：1．本試卷共5頁，共兩部分，第一部分共10道小題，共40分，第二部分共11道小題，共110分，滿分150分．考試時間120分鐘．2．在答題卡上準確填寫學校、姓名、班級和教育ID號．3．試題〖答案〗一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗直接由集合的交集運算得出〖答案〗.詳析〗，，，故選：C.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，結(jié)合復數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.〖詳析〗因為復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則所以故選:A3.的展開式中的常數(shù)項為A. B. C.6 D.24〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用二項展開式通項公式求出展開式的通項，令的指數(shù)為求出，將的值代入通項求出展開式的常數(shù)項．〖詳析〗解：二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：D4.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則的公差為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比，公差的關(guān)系求解.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，又又，故選：A5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分析給定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.〖詳析〗函數(shù)定義域為R，，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，選項A，D不滿足；因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，選項C不滿足，B滿足.故選：B6.若雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)雙曲線離心率的知識求得正確〖答案〗.〖詳析〗，由于，所以，所以，故選：C7.已知，，則“存在使得”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由誘導公式和余弦函數(shù)的特殊函數(shù)值，結(jié)合充分、必要條件知識進行推理可得.〖詳析〗若存在使得，則，∴，即，∴存在使得，∴“存在使得”是“”的充分條件；當時，，此時∴存在使得，∴“存在使得”不是“”的必要條件.綜上所述，“存在使得”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口．于年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為常數(shù)．為測算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間．若計算時取，則該蓄電池的常數(shù)大約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由已知可得出，可得出，利用指數(shù)與對數(shù)的互化、換底公式以及對數(shù)的運算法則計算可得的近似值.〖詳析〗由題意可得，所以，，所以，，所以，.故選：B.9.在棱長為1的正方體中，動點P在棱上，動點Q在線段上、若，則三棱錐的體積（）A.與無關(guān)，與有關(guān) B.與有關(guān)，與無關(guān)C.與都有關(guān) D.與都無關(guān)〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)得出平面，所以點到平面的距離也即到平面的距離，得到點到平面的距離為定值，而底面的面積也是定值，并補隨的變化而變化，進而得到〖答案〗.〖詳析〗因為為正方體，所以因為平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離也即到平面的距離，也即點到平面的距離不隨的變化而變化，設(shè)點到平面的距離為，過點作，根據(jù)正方體的特征可知：平面，因為平面，所以，，所以平面，則有，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以點到的距離也即到的距離，且距離為1，所以（定值），所以（定值），則三棱錐的體積不隨與的變化而變化，也即與與都無關(guān).故選：.10.已知點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，則的最小值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題可設(shè)，，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.〖詳析〗因為點A，B在圓上，且，P為圓上任意一點，則，設(shè)，，所以，所以，即的最小值為故選：D.〖『點石成金』〗方法『點石成金』：向量數(shù)量積問題常用方法一是利用基底法，結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解；二是利用坐標法，結(jié)合圖形建立坐標系，求出向量的坐標，進而求其數(shù)量積.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域為______________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.〖詳析〗因為函數(shù)則，解得且所以函數(shù)的定義域為故〖答案〗為:12.已知圓，點A、B在圓M上，且為的中點，則直線的方程為_____________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)兩直線垂直時斜率的關(guān)系得到，然后利用斜截式寫直線方程，最后整理一般式即可.〖詳析〗可整理為，所以圓心為，根據(jù)垂徑定理可得，，所以，直線AB的方程為整理得.故〖答案〗為:13.若存在使得，則m可取的一個值為_____________．〖答案〗（內(nèi)的任一值均可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可知：函數(shù)有零點，則，解之即可，在所得到的范圍內(nèi)任取一個值即可求解.〖詳析〗因為存在使得，也即函數(shù)有零點，則有，解得：，所以可取內(nèi)的任意一個值，取，故〖答案〗為：.（內(nèi)的任一值均可）14.在中，，，，則___________，_____________．〖答案〗①.##②.〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可得出的值.〖詳析〗因為，由正弦定理可得，因為、，則，所以，，則，故，由余弦定理可得，即，，解得.故〖答案〗為：；.15.如果函數(shù)滿足對任意s，，有，則稱為優(yōu)函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①為優(yōu)函數(shù)；②若為優(yōu)函數(shù)，則；③若為優(yōu)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增；④若在上單調(diào)遞減，則為優(yōu)函數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號是______________．〖答案〗①②④〖解析〗〖祥解〗①計算出，故，得到①正確；②賦值法得到，，依次類推得到；③舉出反例；④由在上單調(diào)遞減，得到，整理變形后相加得到，即，④正確.〖詳析〗因為，所以，故，故是優(yōu)函數(shù)，①正確；因為為優(yōu)函數(shù)，故，即，，故，同理可得，……，，②正確；例如，滿足，即，為優(yōu)函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故③錯誤；若在上單調(diào)遞減，任取，，則，即，變形為，兩式相加得：，因為，所以，則為優(yōu)函數(shù)，④正確.故〖答案〗為：①②④〖『點石成金』〗函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)的一個零點為．（1）求A和函數(shù)的最小正周期；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）解方程即可求，然后把函數(shù)降冪，輔助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.〖小問1詳析〗的一個零點為，即，所以函數(shù)的最小正周期為.〖小問2詳析〗當時有最大值，即.若恒成立，即,所以，故的取值范圍為.17.為調(diào)查A，B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效，藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物B的患者的康復時間，經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù)：康復時間只服用藥物A只服用藥物B7天內(nèi)康復360人160人8至14天康復228人200人14天內(nèi)未康復12人40人假設(shè)用頻率估計概率，且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復相互獨立．（1）若一名患者只服用藥物A治療，估計此人能在14天內(nèi)康復的概率；（2）從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機抽取1人，以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望：（3）從只服用藥物A的患者中隨機抽取100人，用“”表示這100人中恰有k人在14天內(nèi)未康復的概率，其中．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）〖答案〗（1）（2）分布列見〖解析〗，數(shù)學期望為1（3）2〖解析〗〖祥解〗（1）結(jié)合表格中數(shù)據(jù)求出概率；（2）先得到只服用藥物A和只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復的概率，得到X的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列和期望；（3）求出只服用藥物A的患者中，14天內(nèi)未康復的概率，利用獨立性重復試驗求概率公式得到，列出不等式組，求出，結(jié)合得到〖答案〗.〖小問1詳析〗只服用藥物A的人數(shù)為人，且能在14天內(nèi)康復的人數(shù)有人，故一名患者只服用藥物A治療，估計此人能在14天內(nèi)康復的概率為；〖小問2詳析〗只服用藥物A的患者7天內(nèi)康復的概率為，只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復的概率為，其中X的可能取值為，，，，則分布列為：012數(shù)學期望為；〖小問3詳析〗只服用藥物A的患者中，14天內(nèi)未康復的概率為，，令，即，解得：，因為，所以.18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，，，E是的中點．（1）求證：直線∥平面；（2）已知，點M在棱上，且二面角的大小為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的值．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．〖答案〗（1）證明過程見詳析（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)中位線定理和線面平行判定即可求解；（2）根據(jù)線面垂直的判定或性質(zhì)，以及建立空間直角坐標系，利用法向量求解二面角的余弦值即可進一步得解.〖小問1詳析〗取PA中點F，連接，因為E是的中點，F(xiàn)是PA中點，所以是中位線，所以平行且等于AD的一半，因為，所以平行于，又，所以與平行且相等，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE平行于BF，而平面，平面，所以直線∥平面.〖小問2詳析〗若選①：平面平面，取AD中點O，因為側(cè)面為等邊三角形，所以平面，易證平面，以O(shè)點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，,所以,所以，所以所以，所以,,設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，解得，所以，易知地面一個法向量為，又二面角的大小為，所以，所以，解得，又點M在棱上，所以，所以，所以的值為.若選②：則取AD中點O，因為側(cè)面為等邊三角形，所以平面，連接OA,OC,OD，易知，所以，以O(shè)點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，,所以,所以，所以所以，所以,,設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，解得，所以，易知地面一個法向量為，又二面角的大小為，所以，所以，解得，又點M棱上，所以，所以，所以的值為.19.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．〖答案〗（1）（2）〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)當時，求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程；(2)對a進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間．〖小問1詳析〗當時，，所以又因為，，所以在處的切線方程為，即〖小問2詳析〗由題意知，的定義域為R①當時，，則當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，由得或，（i）若，則，所以在R上單調(diào)遞增，（ii）若，則，所以當或時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，（iii）若，則，所以當或時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是和；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是和．20.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點，O為坐標原點．若以為鄰邊的平行四邊形的頂點P在橢圓C上，求證：平行四邊形的面積是定值．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由題意可得關(guān)于，，的方程組，求得，的值，則橢圓方程可求；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形是平行四邊形，可得點坐標，把點坐標代入橢圓方程，得到，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值．〖小問1詳析〗由題意，可得，解得，，，所以