廣西梧州市2023屆高三上學(xué)期第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1梧州市2023屆高三第一次模擬測(cè)試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗首先列舉全集中的元素，再求.〖詳析〗由題意可知，，，，所以，.故選：A2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題知，，進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.〖詳析〗解：因?yàn)樗?，所以，?fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，為第四象限的點(diǎn)，所以，在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D3.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：），所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲乙兩班同學(xué)身高極差相等 B.甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等C.甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等 D.乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計(jì)算，即可判斷選項(xiàng)是否正確.〖詳析〗由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的極差為，乙班同學(xué)身高的極差為，兩班身高極差不相等，故A錯(cuò)誤；甲班同學(xué)身高的平均值為，乙班同學(xué)身高平均值為顯然，甲乙兩班同學(xué)身高的平均值不相等，即B錯(cuò)誤；根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為，所以，甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)不相等，即C錯(cuò)誤；由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為4人，故D正確.故選;D4.已知向量，滿足，，，則（）A.3 B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.〖詳析〗∵向量滿足，，，，，，，故選：D5.我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的倍.如果每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是10%，至少經(jīng)過(guò)（）天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍.（，）A.31 B.33 C.35 D.37〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可列出若干天后的“進(jìn)步”是“落后”的倍數(shù)表達(dá)式，利用參考數(shù)據(jù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則中的換底公式即可得出結(jié)果.〖詳析〗根據(jù)題意，如果每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是10%，假設(shè)經(jīng)過(guò)天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍，得，即，所以，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)可得，得所以，至少經(jīng)過(guò)35天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍.故選：C.6.在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.若，，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理和三角恒等變換可得，再利用余弦定理即可求得的值.〖詳析〗根據(jù)正弦定理，由得，又因?yàn)?，可得，即得，，所以，由余弦定理可知，，?故選：B7.直線與圓交兩點(diǎn).若，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題知圓心為，半徑為，進(jìn)而根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)得，解得，再計(jì)算面積即可得〖答案〗.〖詳析〗解：由題知圓心為，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，所以，弦長(zhǎng)，即，解得，所以的面積為故選：A8.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，則異面直線，EF所成角余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗如圖所示，連接，確定或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角，在直角中，計(jì)算得到〖答案〗.〖詳析〗如圖所示：F是線段的中點(diǎn)，連接交于F，由正方體的性質(zhì)知，知異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，在直角中，，，故故選：C9.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可求解.〖詳析〗由函數(shù)偶函數(shù)，知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，知，作出函數(shù)的圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以不等式的解集為：或，故選：C10.在三棱錐中，已知平面，，.若三棱錐各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理求出底面的外接圓半徑，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，過(guò)底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點(diǎn)即為外接球球心，進(jìn)而即可求解.〖詳析〗在中，設(shè)其外接圓半徑為r，由正弦定理可得解得，三棱錐補(bǔ)成三棱柱，如圖設(shè)三棱錐外接球半徑為R，，所以球O的表面積為故選：D11.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，直線為函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由圖像求出函數(shù)〖解析〗式，再求出減區(qū)間.〖詳析〗令，則可以看出經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到的.由題中圖像知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，即，則結(jié)合圖像可得．①又直線為函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合圖像可得．②②-①解得，再代入①解得：，所以．由，得.故選：B．12.如圖所示，拋物線，為過(guò)焦點(diǎn)的弦，過(guò)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，則：①若的斜率為1，則；②若的斜率為1，則；③；④.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立判斷①，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求得處的切線方程，進(jìn)而得，再依次討論②③④即可得〖答案〗.〖詳析〗解：由得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)①，直線的方程為，由得，所以，所以，故①錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，則直線、的斜率分別為、，所以，因?yàn)?，所以，所以，，由，解得，即．由題意知，直線斜率存在，可設(shè)直線的方程為，由消去得，所以，，故④正確所以，故③正確；所以當(dāng)?shù)男甭蕿?，則，②錯(cuò)誤；所以，正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值是____________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，然后利用的幾何意義求最值即可.〖詳析〗根據(jù)不等式畫(huà)出可行域，如下所示：設(shè)，整理可得，所以表示直線過(guò)可行域上一點(diǎn)時(shí)的縱截距，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，聯(lián)立，解得，所以，代入可得.故〖答案〗為：.14.已知，則_________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換公式求解〖詳析〗由題意得，而，故，，故.故〖答案〗為：15.過(guò)四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的雙曲線方程為，則的漸近線方程為_(kāi)______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題知雙曲線過(guò)點(diǎn)，，，進(jìn)而待定系數(shù)得，再求解漸近線方程即可.〖詳析〗解：由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，必在雙曲線上，所以，雙曲線過(guò)點(diǎn)，，設(shè)雙曲線的方程為，所以，解得所以，雙曲線的方程為所以，的漸近線方程為故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_(kāi)______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)分段函數(shù)〖解析〗式可畫(huà)出函數(shù)圖象，將方程分解可得，利用函數(shù)圖象可知，和與函數(shù)共有5個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論即可求得a的取值范圍.〖詳析〗由函數(shù)可知，其函數(shù)圖象如下圖所示：若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即和共有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以和與函數(shù)共有5個(gè)不同的交點(diǎn)；由圖可知，與函數(shù)最多有三個(gè)交點(diǎn)，且；所以，當(dāng)，與函數(shù)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，需滿足與函數(shù)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得；當(dāng)時(shí)，與函數(shù)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，需滿足與函數(shù)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以解得；綜上可知，所以，a的取值范圍為.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：將方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法，畫(huà)出函數(shù)圖象并利用數(shù)形結(jié)合對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論即可得出結(jié)果.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求前項(xiàng)的和.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而得；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而分組求和即可.〖小問(wèn)1詳析〗解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.〖小問(wèn)2詳析〗解：由（1）知，所以，記前項(xiàng)的和為，所以，.18.近年來(lái)，隨著社會(huì)對(duì)教育的重視，家庭的平均教育支出增長(zhǎng)較快，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某市2016-2022年的家庭教育支出（單位：萬(wàn)元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)2016-2022年）.經(jīng)計(jì)算得，，，，.（1）用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明與相關(guān)性的強(qiáng)弱；（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算r時(shí)精確度為0.01）（2）求出與的回歸直線方程；（3）若2024年該市某家庭總支出為10萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2024年該家庭的教育支出.附：①相關(guān)系數(shù)；②在回歸直線方程，，.〖答案〗（1），線性相關(guān)程度較高（2）（3）萬(wàn)元.〖解析〗〖祥解〗（1）由公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2024年對(duì)應(yīng)的年份代碼，代入回歸方程即可得到教育支出占比，即可預(yù)測(cè)2023年該家庭的教育支出〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意得，，則，故，故，∵，∴與高度相關(guān)，即與的相關(guān)性很強(qiáng)．〖小問(wèn)2詳析〗解：根據(jù)題意，得，，∴關(guān)于的回歸直線方程為．〖小問(wèn)3詳析〗解：由題知，2024年對(duì)應(yīng)的年份代碼，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，預(yù)測(cè)2024年該家庭的教育支出為（萬(wàn)元）．19.邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗(1)先證明平面，即可證明出平面平面(2)先利用求出點(diǎn)到平面的距離，然后再根據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果.〖小問(wèn)1詳析〗證明：在正方形中有，，，，又因?yàn)椋云矫?，而平面，所以平面平?〖小問(wèn)2詳析〗連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為20.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，且與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的角平分線交橢圓于另一點(diǎn)．證明：直線與坐標(biāo)軸平行．〖答案〗（1）；（2）證明見(jiàn)〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）由條件得：解得，，即可得到橢圓方程．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因?yàn)槠椒郑手恍枳C明，的斜率都存在時(shí)滿足即可．當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，說(shuō)明不滿足題意．然后證明．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合的表達(dá)式，推出結(jié)果即可．〖詳析〗（1）解：由條件得：解得，，橢圓．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因?yàn)槠椒?，故只需證明，的斜率都存在時(shí)滿足即可．當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，即點(diǎn)或的坐標(biāo)為，而經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意．故，的斜率都存在，下證．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，可得此時(shí)，，，．（※），（※）式的分子，直線與坐標(biāo)軸平行．得證．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查了求橢圓方程以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明：.〖答案〗（1）0（2）詳見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最小值；（2）由（1）可知，令，不等式變形為，不等式右邊裂項(xiàng)為，再用累加求和，即可證明不等式.〖小問(wèn)1詳析〗，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等成立），令，則，所以，而，故，從而，，…，，累加可得，命題得證.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，問(wèn)題的關(guān)鍵是從要證明的式子入手，將(1)的不等式變形為，再利用裂項(xiàng)相消法求和.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于，兩點(diǎn)，求的值．〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）消去參數(shù)得到直線的普通方程，從得到其極坐標(biāo)方程，根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）把代入曲線的極坐標(biāo)方程，即可求出，從而得解.〖小問(wèn)1詳析〗解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)得，即，顯然直線過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為，直線的極坐標(biāo)方程為．曲線的極坐標(biāo)方程化為，將代入得：，即，所以的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為．〖小問(wèn)2詳析〗