遼寧省沈陽市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12023年沈陽高中三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)不等式求集合，進(jìn)而根據(jù)交集運(yùn)算求解.〖詳析〗∵，，∴.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可求模長(zhǎng).〖詳析〗∵，則，∴.故選：D.3.命題p：直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由充分必要條件的概念結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得結(jié)果．〖詳析〗∵拋物線的對(duì)稱軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.4.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個(gè)面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正八面體的面積和減去六個(gè)頂點(diǎn)的曲率和可得結(jié)果.〖詳析〗正八面體每個(gè)面均為等比三角形，且每個(gè)面的面角和為，該正面體共個(gè)頂點(diǎn)，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B.5.如圖是函數(shù)圖像的一部分，設(shè)函數(shù)，，則可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖象特征取特值分析排除.〖詳析〗由圖象可得：，但，故B不符合；，但，故A不符合；，但，故C不符合；故選：D.6.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得〖答案〗.〖詳析〗先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)安排有種方法，而甲站好后一邊有2個(gè)位置，另一邊有3個(gè)位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊(duì)方法有：種.故選：C.7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值可以的大小關(guān)系，構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可以判斷的大小關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果.〖詳析〗構(gòu)建，則，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，則，即，故.故選：A.8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點(diǎn)P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由給定條件及橢圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再借助斜率坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求解作答.〖詳析〗設(shè)點(diǎn)，，中，，而點(diǎn)P，Q均在橢圓上，由橢圓對(duì)稱性得，令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，而，因此，即，又，則，整理得，而，則有，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）A.越大，則產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率為C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率與小于的概率相等D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等〖答案〗BC〖解析〗〖祥解〗利用與正態(tài)密度曲線的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷BCD選項(xiàng).〖詳析〗設(shè)隨機(jī)變量.對(duì)于A選項(xiàng)，越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越小，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性可知，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，D錯(cuò).故選：BC.10.是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差，是等比數(shù)列，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)為，分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可判斷結(jié)果.〖詳析〗由題意可設(shè)：等比數(shù)列的公比為，由，，可得，則，構(gòu)建，即，若，，則，即為函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，∵，則在上單調(diào)遞增，故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)在內(nèi)無零點(diǎn)，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)在內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，，A、D正確，B、C錯(cuò)誤.故選：AD.11.已知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則下列說法正確的是（）A.切線長(zhǎng)的最小值為B.四邊形面積的最小值為C.若是圓的一條直徑，則的最小值為D.直線恒過定點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗利用勾股定理可求得切線長(zhǎng)的最小值，可判斷A選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及的最小值，可判斷C選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)，求出直線的方程，可求得直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷D選項(xiàng).〖詳析〗圓心為，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，.對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由切線長(zhǎng)定理可知，，，，所以，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，易知為的中點(diǎn)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，線段的中點(diǎn)為，，所以，以為直徑的圓的方程為，即圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差可得，即，故直線的方程為，變形可得.由可得，所以，直線恒過定點(diǎn)，D對(duì).故選：ABD.12.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在上是增函數(shù)B.的最小正周期為C.的最大值為D.若，則．〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗由在上單調(diào)性判斷A；根據(jù)周期的定義判斷B；借助導(dǎo)數(shù)求出f(x)在周期長(zhǎng)的區(qū)間上的最大值判斷C；由f(x)在周期長(zhǎng)的區(qū)間上的最大最小值判斷D作答.〖詳析〗對(duì)A：∵，則，可得在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，A正確；對(duì)B：∵，∴的最小正周期不是，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，則為奇函數(shù)，的最小正周期分別為，故的最小正周期為∵，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上的最大值為，由為奇函數(shù)可得：在上的最小值為，由周期函數(shù)可得：的最大值為，最小值為，C正確；對(duì)D：若，不妨設(shè)為最大值點(diǎn)，為最小值點(diǎn)，則，故，可得當(dāng)時(shí)，取到最小值，D正確.故選：ACD.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性分析的周期性和奇偶性，這與我們?cè)谔幚韱栴}時(shí)，只需分析在上單調(diào)性和最值即可.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且，則等于______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求得，再根據(jù)兩角差的正切公式運(yùn)算求解.〖詳析〗∵，則，則，可得，∴.故〖答案〗為：.14.若，則被5除的余數(shù)是______．〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗分別取，兩式相加可求得，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被5除的余數(shù).〖詳析〗由題知，時(shí)，①，時(shí)，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故〖答案〗：4.15.三棱錐中，，，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．〖答案〗①.##②.##〖解析〗〖祥解〗設(shè)平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計(jì)算即可．〖詳析〗設(shè)平面，垂足為，如圖，過作于點(diǎn)，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故〖答案〗：，.16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由得，令，可解得，代入，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得〖答案〗.〖詳析〗由得，令，可解得，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17設(shè)，向量，，．（1）令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求證：．〖答案〗（1）證明見詳析（2）證明見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）利用裂項(xiàng)相消法分析證明.〖小問1詳析〗由題意可得：，則，可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.〖小問2詳析〗由（1）可得：，則，∵，故.18.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知．（1）求角的大??；（2）給出以下三個(gè)條件：①，；②；③．若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）的角平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．〖答案〗（1）（2）（i）；（ii）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知條件可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正確的條件.（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由結(jié)合三角形的面積公式可求得的長(zhǎng).〖小問1詳析〗解：因?yàn)?，若，則，不滿足，所以，，，.〖小問2詳析〗解：由及①，由余弦定理可得，即，，解得；由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形的面積公式可得，可得.經(jīng)分析可知①②不能同時(shí)成立，①③不能同時(shí)成立，正確條件為②③，故，.（i）將，代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.（ii）因?yàn)椋?，所以?19.如圖，在矩形ABCD中，，E為邊CD上的點(diǎn)，，以BE為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為．（1）求證：平面平面PAE；（2）求二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取BE中點(diǎn)，則，由三棱錐的體積得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，進(jìn)而得證；（2）以D為原點(diǎn)，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夾角公式求解即可．〖小問1詳析〗設(shè)，由題意為等腰直角三角形，折疊后為等腰直角三角形，取BE中點(diǎn)，連接PF，則，由于二面角為直二面角，故平面ABCD，且，則，得，即．則，故，又平面ABCD，故，又PF與BE相交，故平面PBE，故，又，且PE與AE相交，故平面，又面PAB，故平面平面.〖小問2詳析〗以D為原點(diǎn)，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面BPA的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DPA的法向量為，則，取，可得，則，由于二面角為鈍角，故其余弦值為．20.2022年12月初某省青少年乒乓球培訓(xùn)基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對(duì)組合間進(jìn)行，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎(jiǎng)金，并規(guī)定：①若其中一對(duì)贏的場(chǎng)數(shù)先達(dá)到4場(chǎng)，則比賽終止，同時(shí)這對(duì)組合獲得全部獎(jiǎng)金；②若比賽意外終止時(shí)無組合先贏4場(chǎng)，則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比給兩對(duì)組合分配獎(jiǎng)金．已知每場(chǎng)比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．（1）若在已進(jìn)行的5場(chǎng)比賽中韓菲/陳宇組合贏3場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏2場(chǎng)，求比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金的概率；（2）若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），則這5場(chǎng)比賽中兩對(duì)組合之間的比賽結(jié)果共有多少不同的情況？（3）若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），設(shè)，若贊助商按規(guī)定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)X的分布列．〖答案〗（1）（2）28（3）分布列見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)立事件的概率求法運(yùn)算；（2）根據(jù)題意可得有四則可能，再結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意分析可得獎(jiǎng)金數(shù)X的可能取值，結(jié)合（2）求相應(yīng)的概率，即可得結(jié)果.〖小問1詳析〗“比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金”的對(duì)立事件為“黃政/孫藝組合再連贏2場(chǎng)”，故比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎(jiǎng)金的概率.〖小問2詳析〗設(shè)5場(chǎng)比賽中韓菲/陳宇組合贏場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏場(chǎng)，用表示比賽結(jié)果，若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），則有：，故共有種不同的情況.〖小問3詳析〗若韓菲/陳宇組合贏1場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏4場(chǎng)，則韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為0元；若韓菲/陳宇組合贏2場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏3場(chǎng)，則韓菲/陳宇組合需再連贏2場(chǎng)，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為元；若韓菲/陳宇組合贏3場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏2場(chǎng)，則韓菲/陳宇組合需再贏1場(chǎng)，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為元；若韓菲/陳宇組合贏4場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏1場(chǎng)，則韓菲/陳宇組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)為10000元；即獎(jiǎng)金數(shù)X的可能取值有，則有，故獎(jiǎng)金數(shù)X的分布列為：0250075001000021.已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，過右焦點(diǎn)F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，交兩條漸近線于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線E的方程；（2）設(shè)，，的面積分別