專題05勾股定理的逆定理（重點(diǎn)突圍）

專題05勾股定理的逆定理【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 1【考點(diǎn)二在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 3【考點(diǎn)三利用勾股定理的逆定理求解】 7【考點(diǎn)四勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】 10【考點(diǎn)五勾股定理逆定理的拓展問題】 12【過關(guān)檢測】 16【典型例題】【考點(diǎn)一判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知中，于，，，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)1.2(2)直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的長，從而求出的長，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，的長為1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級單元測試）如圖，，垂足為D，且，．點(diǎn)E從B點(diǎn)沿射線向右以2個單位/秒的速度勻速運(yùn)動，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t．(1)當(dāng)t為何值時，；(2)當(dāng)時，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)當(dāng)時，；(2)是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得：，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，從而可得，，由等腰三角形的性質(zhì)得，則建立方程即可解答；（2）當(dāng)時，，，然后分別在和中，利用勾股定理求出和，最后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，∵F為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴當(dāng)時，；（2）解：是直角三角形，理由：當(dāng)時，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知滿足．(1)求的值；(2)試問以為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．【答案】(1)，，(2)不能構(gòu)成直角三角形，見解析【分析】（1）利用幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個非負(fù)數(shù)都等于零，確定a，b，c的值即可；（2）根據(jù)勾股定理得逆定理直接判斷即可得解；【詳解】（1）∵，∴，，＝0，∴，，；（2）∵，∴不能構(gòu)成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)直接寫出______，______，______；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出邊上的高_(dá)_____．【答案】(1)，，(2)是直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理，進(jìn)行計算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計算即可解答；（3）利用面積法，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：，，，故答案為：，，；（2）解：是直角三角形，理由：∵，，∴，∴是直角三角形；（3）設(shè)邊上的高為h，∵的面積，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)求四邊形的面積，(2)是直角嗎？為什么？【答案】(1)(2)是直角，理由見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個頂點(diǎn)處的直角三角形面積和一個正方形面積即可得到答案；（2）由圖，連接，分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計算出三條線段長，利用勾股定理的逆定理驗證即可得到答案．【詳解】（1）解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形的面積為；（2）解：是直角，理由如下：連接，如圖所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點(diǎn)，．(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)在軸上找一點(diǎn)，當(dāng)最小時，此時點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】(1)詳見解析(2)是直角三角形，詳見解析(3)【分析】（1）根據(jù)、兩點(diǎn)坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，直線的解析式，可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：（2）∵，BC＝，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）如圖，點(diǎn)即為所求，∵，，，∴設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，∴直線的解析式為，令，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，勾股定理以及逆定理等知識，明確、、在一條直線上時，有最小值是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用勾股定理的逆定理求解】例題：（2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形的面積為______．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知先證明是等邊三角形，從而可得，，再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后進(jìn)行計算即可解答；（2）過點(diǎn)作，垂足為，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出的長，從而利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）解：連接，，，∴是等邊三角形，，，，，，∴是直角三角形，，，的度數(shù)為；（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，是等邊三角形，，，四邊形的面積的面積的面積，四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣東江門·八年級江門市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．若，，，求的長．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴為直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是通過勾股定理的逆定理得到為直角三角形．2．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，已知，，，，且．求四邊形的面積．【答案】四邊形的面積為．【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2022秋·遼寧·八年級?？计谀┰谝粭l東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．求原來的路線的長．【答案】千米【分析】先利用勾股定理的逆定理證明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的長度．【詳解】解：∵千米，千米，千米，即，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴，設(shè)，∴，∴，即，解得：，答：原來的路線的長為千米．【點(diǎn)睛】本題考查了與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南平頂山·八年級校聯(lián)考期中）某氣象局監(jiān)測到一個沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動，已知點(diǎn)C處為以城鎮(zhèn)，且點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離，以沙塵暴中心為圓心，周圍以內(nèi)都會受到沙塵暴影響．(1)通過計算說明城鎮(zhèn)C是否會受到影響；(2)若沙塵暴中心的移動速度為，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)會受到影響(2)小時【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出的長，進(jìn)而得出城鎮(zhèn)C是否會受到沙塵暴影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進(jìn)而得出沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間．【詳解】（1）解：作于D，在三角形中，，∴是直角三角形，即，，，解得∶千米，所以，城鎮(zhèn)C會受到影響．（2）解：設(shè)沙塵暴中心到點(diǎn)E處城鎮(zhèn)C開始受到影響，此時千米，到F處結(jié)束影響，此時千米，，千米，受影響的時間為（小時）【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2．（2022秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測得，，，，，如果種植草皮費(fèi)用是200元/，那么共需投入多少錢？【答案】46800【分析】連接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出為直角三角形，進(jìn)而利用兩個直角三角形的面積和求出四邊形的面積，再用面積乘以費(fèi)用，即可得解．【詳解】解：如圖所示，連接．，，，，又，，，即，是直角三角形，所需費(fèi)用為元．答：共需投入46800元．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五勾股定理逆定理的拓展問題】例題：（2022秋·八年級課時練習(xí)）定義：如圖，點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若，，，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由；(2)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若，，求BN的長．【答案】(1)是，理由見解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30?AM?BN＝25?x，分三種情形①當(dāng)AM為最大線段時，依題意AM2＝MN2＋BN2，②當(dāng)MN為最大線段時，依題意MN2＝AM2＋NB2，③當(dāng)BN為最大線段時，依題意BN2＝AM2＋MN2，分別列出方程即可解決問題．（1）是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，∴點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30?AM?BN＝25?x，①當(dāng)MN為最大線段時，依題意MN2＝AM2＋NB2，即（25?x）2＝x2＋25，解得x＝12；②當(dāng)BN為最大線段時，依題意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25?x）2，解得x＝13，綜上所述，BN＝12或13．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論，注意不能漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時，判斷的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見解析【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）∵這個三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，∴52+122=x2，∴x2=169，當(dāng)12是斜邊，則52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值為169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是銳角三角形，則或，則或，∴或；若△ABC是直角三角形，則或，則或；若△ABC是鈍角三角形，則或，則或，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三邊關(guān)系，正確進(jìn)行相關(guān)計算是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個三角形是什么三角形？請說明理由；（3）如圖，，，，若，，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且，，求的長．【答案】（1），，；（2）直角三角形，見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理判斷即可；（3）根據(jù)題意可得出，，，在根據(jù)勾股定理計算即可；【詳解】（1）∵第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；，∴第組：，，．（2）直角三角形；證明：為正整數(shù)，．以，，為三邊的三角形是直角三角形．（3），，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，這組數(shù)為第九列：，，，即，，．，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和找規(guī)律，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·八年級單元測試）以下各組數(shù)為三角形的三邊，其中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A． B．C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：“如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形”判定即可．【詳解】解：A．，能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；B．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；C．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；D．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而做出判斷．2．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）的三邊為，，，下列條件不能確保為直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有一個角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵，，∴，解得：，∴，即為直角三角形，故A選項不符合題意；設(shè)，∴，即不為直角三角形，故B選項符合題意；∵，∴，即為直角三角形，故C選項不符合題意；∵，∴，∵，∴，即為直角三角形，故D選項不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·吉林·八年級吉林省第二實(shí)驗學(xué)校?？计谀┰谥?，已知，則的面積為（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得出，再由勾股定理的逆定理可得出為，從而得出的面積．【詳解】解：，，，為直角三角形，的面積，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，已知三角形的三邊滿足，從而得出三角形為直角三角形．4．（2023春·八年級單元測試）如圖，已知，，，，則點(diǎn)C到的距離為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積相等即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，，，∴是直角三角形，且，∴點(diǎn)C到BD的距離為．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的計算是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．點(diǎn)A到直線的距離為2 D．【答案】B【分析】根據(jù)格點(diǎn)及勾股定理可得，，，然后根據(jù)勾股定理逆定理及等積法可進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可得：，，，∴，∴是直角三角形，即，∴，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為h，∴，∴，綜上可知只有B選項錯誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022秋·廣東佛山·八年級大瀝中學(xué)校考階段練習(xí)）若、、為的三邊長，且滿足，則是______三角形．【答案】直角【分析】首先根據(jù)求出a，b，c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】∵∴∴解得∵，∴∴是直角三角形．故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．明確非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：如果一組非負(fù)數(shù)的和為0時，則每一個非負(fù)數(shù)都等于0．7．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，中，于點(diǎn)D，若，，，則線段的長度是______．【答案】【分析】先由勾股定理的逆定理得，從而利用面積公式即可計算的長度．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵于點(diǎn)D，∴，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·四川成都·八年級四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C，D，P都在格點(diǎn)上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝________．【答案】45°【分析】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·遼寧本溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一塊四邊形花圃，，若在這塊花圃上種植花草，已知每種植需50元，則共需_____元．【答案】1800【分析】連接，則在直角中，已知根據(jù)勾股定理可以計算，又因為，所以為直角三角形，四邊形的面積為和面積之和．【詳解】解：連接，在中，，（m），在中，根據(jù)勾股定理得，∴∴的面積為，的面積為，∴四邊形面積，∴種植花草共需花費(fèi)元．故答案為：1800．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的應(yīng)用，本題中判定是直角三角形并計算其面積是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·八年級單元測試）如圖，點(diǎn)C為直線l上的一個動點(diǎn)，于D點(diǎn)，于E點(diǎn)，，，當(dāng)長為________________為直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據(jù)勾股定理用CD表示出AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．【詳解】解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=ADDF=3，由勾股定理得，

當(dāng)△ABC為直角三角形時，即解得，CD=3，如圖2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，當(dāng)∠ACB=90°時，由勾股定理得，

由得：解得：同理可得：當(dāng)∠ABC=90°時，綜上：的長為：3或2或．故答案為：3或2或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么三、解答題11．（北京市平谷區(qū)20222023學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷）如圖，在中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；（2）連接，根據(jù)是的垂直平分線，得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，，∴∴∴是直角三角形；（2）解：連接，∵是的垂直平分線，∴，∴設(shè)，則，∵在中，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先證明直角，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段，根據(jù)勾股定理列方程求解．12．（2022春·福建龍巖·八年級龍巖初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的長．【答案】(1)等腰直角三角形，理由見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可；（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，通過證明得到，，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，，則，，∵，即∴為等腰直角三角形，；（2）解：過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如下圖：則，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．13．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，每個網(wǎng)格正方形的邊長為，的三個頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求：（1）求的周長．（2）判斷的形狀，并求其面積．（3）求邊上的高．【答案】（1）；（2）銳角三角形，；（3）【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得△ABC的三條邊長后，再來求該三角形的周長；（2）利用勾股定理的逆定理判斷三角形的性質(zhì)，然后根據(jù)S△ABC=S正方形BDEFS△BCDS△ACES△ABF計算即可；（3）設(shè)邊上的高是h，則根據(jù)三角形的面積公式知AB?h=