2.3確定圓的條件（七大題型）

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形圓》2.3確定圓的條件知識點一知識點一確定圓的條件◆1、確定圓的條件：圓心的位置和半徑的大小，只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定；◆2、過已知點作圓的個數(shù)：（1）過一點可以作無數(shù)個圓；（2）經過兩個已知點A、B能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；（3）過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.◆3、不在同一條直線上的三點確定一個圓.知識點二知識點二三角形的外接圓◆1、三角形的外接圓與外心（1）三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形.（2）叫做三角形的外心．（3）三角形外心的性質：三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.（4）三角形外心的位置：銳角三角形：外心在三角形的內部；直角三角形：外心在三角形的外部;鈍角三角形：外心是直角三角形斜邊的中點.◆5、外接圓的作法：分別作出三角形兩條邊的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為該三角形的外接圓圓心，以交點為圓心，以圓心到任一頂點的距離為半徑作圓，即可得到三角形的外接圓.題型一確定圓的條件題型一確定圓的條件【例題1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）下列條件中能夠確定一個圓的是（）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知三個點 D．過一個三角形的三個頂點【分析】已知圓心和半徑所作的圓就是唯一的，不在同一直線上的三點確定一個圓．【解答】解：確定一個圓的條件是圓心和半徑，過一個三角形的三個頂點即可確定一個圓，故選：D．【點評】本題主要考查了確定圓的條件，根據不在一條直線上的三點確定一個圓得出是解題關鍵．解題技巧提煉確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.【變式11】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．以點O為圓心 B．以10cm長為半徑 C．以點A為圓心，4cm長為半徑 D．經過已知點M【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確，故選：C．【點評】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．【變式12】（2022秋?裕華區(qū)校級期末）下列條件中，不能確定一個圓的是（）A．圓心與半徑 B．直徑 C．平面上的三個已知點 D．三角形的三個頂點【分析】根據不在同一條直線上的三個點確定一個圓，已知圓心和直徑所作的圓是唯一的進行判斷即可得出答案．【解答】解：A、已知圓心與半徑能確定一個圓，不符合題意；B、已知直徑能確定一個圓，不符合題意；C、平面上的三個已知點，不能確定一個圓，符合題意；D、已知三角形的三個頂點，能確定一個圓，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是分類討論．【變式13】下列說法錯誤的是（）A．已知圓心和半徑可以作一個圓 B．經過一個已知點A的圓能作無數(shù)個 C．經過兩個已知點A，B的圓能作兩個 D．經過不在同一直線上的三個點A，B，C只能作一個圓【分析】根據確定圓的條件進行判斷．【解答】解：A、已知圓心和半徑可以作一個圓，說法正確，故不符合題意．B、只有確定圓心和半徑才能確定一個圓，所以經過一個已知點A的圓能作無數(shù)個，說法正確，故不符合題意．C、只有確定圓心和半徑才能確定一個圓，到A、B兩點的距離相等的點有無數(shù)個，這些點在以A、B為端點的線段的垂直平分線上，所以已知點A，B的圓能作無數(shù)個，說法錯誤，故符合題意．D、過不在同一直線上的三個點A、B、C能作出三條線段，這三條線段的垂直平分線相交于一點，這個點到A、B、C三點的距離相等．所以經過不在同一直線上的三個點A，B，C只能作一個圓，說法正確，故不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了確定圓的條件，不在同一直線上的三點確定一個圓．【變式14】（2022?綏中縣一模）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．【解答】解：第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理的應用，確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．【變式15】過A、B、C三點能確定一個圓的條件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【分析】首先計算兩個較短的線段長的和是否大于較長的線段長，從而判斷出三點是否同一條直線上，進而可得A、B、C三點不能確定一個圓．【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三點共線，不能確定一個圓；②AB＝BC，以A、B、C三點為頂點的等腰三角形，有外接圓；③A、B、C三點為頂點的直角三角形，有外接圓．故選：C．【點評】此題主要考查了確定圓的條件，關鍵是掌握不在同一直線上的三點確定一個圓．題型二根據點判斷圓的個數(shù)題型二根據點判斷圓的個數(shù)【例題2】（2023?江西）如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據不在同一直線上的三點確定一個圓即可得到結論．【解答】解：根據經過不在同一直線上的三點確定一個圓得，經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為6個，故選：D．【點評】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不在同一直線上的三點確定一個圓是解題的關鍵．解題技巧提煉（1）過一點可以作無數(shù)個圓；線上；（3）過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.【變式21】已知點A，B間的距離為2cm，則經過A，B兩點，半徑為2cm的圓能作（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由圓半徑為2cm，AB＝2cm即可判斷圓心在線段AB的垂直平分線上．【解答】解：畫半徑為2cm的圓，使它經過A，B兩點，AB＝2cm，這樣的圓能畫兩個，圓心在線段AB的垂直平分線上，且圓心到A點或B點的距離是2cm．故選：B．【點評】本題考查圓的有關知識，關鍵是比較2cm與圓半徑的大小，即可知能否畫出符合條件的圓．【變式22】如圖所示，點A，B，C在同一直線上，點M在AC外，經過圖中的三個點作圓，可以作個．【分析】根據“不在同一直線上的三點確定一個圓”確定圓的個數(shù)即可．【解答】解：過A、B、M；A、C、M；B、C、M共能確定3個圓，故答案為：3．【點評】本題考查了確定圓的條件，注：過三點作圓，分兩種情況：①三點共線；②三點不共線．【變式23】如圖，點ABC在同一條直線上，點D在直線AB外，過這四點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據不在同一直線上的三點確定一個圓，進而得出答案．【解答】解：根據題意得出：點D、A、B；點D、A、C；點D、B、C可以確定一個圓．故過這四點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是3個．故選：C．【點評】此題主要考查了確定圓的條件，熟練記憶確定圓的條件是解題關鍵．【變式24】平面上有4個點，它們不在一條直線上，但有3個點在同一條直線上．過其中3個點作圓，可以作的圓的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據不在同一直線上的三點確定一個圓畫出圖形可得答案．【解答】解：如圖所示：故選：C．【點評】此題主要考查了確定圓的條件，關鍵是掌握不在同一直線上的三點確定一個圓．【變式25】平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出不重復的圓n個，則n的值不可能為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，②當三點在一直線上時，③當A、B、C、D四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，根據不在同一直線上的三點可以畫一個圓畫出圖形，即可得出答案．【解答】解：分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，如圖1，此時n＝1，②當三點在一直線上時，如圖2，分別過A、B、C或A、C、D或A、B、D作圓，共3個圓，即n＝3，③當A、B、C、D四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，分別過A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圓，共4個圓，即此時n＝4，即n不能是2，故選：C．【點評】本題考查了確定圓的條件，主要考查學生的動手操作能力和畫圖能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目，有一定的難度．【變式26】平面內有A，B，C，D四個點，試探索：（1）若四點共線，則過其中三點作圓，可作個圓；（2）若有三點共線，則過其中三點作圓，可作圓；（3）若任意三點不共線，則過其中三點作圓，可作個圓；（4）過A，B，C，D四個點中的任意三點作圓，最多可以作幾個圓？最少可以作幾個圓？【分析】（1）根據不共線的三點可以作圓得知四點共線不可以作圓；（2）線上的任意兩點和線外的一點可以構成一個圓；（3）四個點中的任意三點可以作圓；（4）共線時同（1），不共線時同（4）；【解答】解：（1）若四點共線，則過其中三點作圓，可作0個圓；（2）若有三點共線，則過其中三點作圓，可作3圓；（3）若任意三點不共線，則過其中三點作圓，可作1或4個圓；（4）過A，B，C，D四個點中的任意三點作圓，最多可以作4個圓，最少可以作0個圓．故答案為：0，3，1或4．【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是了解不在同一直線上的三點確定一個圓，難度不大．題型三確定圓心的位置題型三確定圓心的位置【例題3】（2023?興慶區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為．【分析】根據圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．【解答】解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點的坐標是（2，1），故答案為：（2，1）．【點評】本題考查了確定圓的條件，坐標與圖形性質，垂徑定理等知識點，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關鍵．解題技巧提煉找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個．【變式31】（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是．【分析】根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【解答】解：根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點評】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．【變式32】在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經過這三點，則圓心坐標為．【分析】根據不在同一直線上的三點能確定一個圓，該圓圓心在三點中任意兩點連線的垂直平分線上，據此及勾股定理可列式求解．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上∴經過點A，B，C可以確定一個圓∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上∴設圓心坐標為M（2，m）則點M在線段BC的垂直平分線上∴MB＝MC由勾股定理得：(2?3∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圓心坐標為M（2，0）故答案為：（2，0）．【點評】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點確定一個圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點上，是解題的關鍵．【變式33】（2022秋?歷下區(qū)期末）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C在格點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立直角坐標系．（1）過A，B，C三點的圓的圓心M坐標為．（2）求⊙M的面積（結果保留π）．【分析】（1）連接AB，AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩直線交于點M，就是過A，B，C三點的圓的圓心，有圖形可得M的坐標；（2）由勾股定理即可求得圓的直徑，根據圓的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1）如圖所示：連接AB，AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩直線交于點M，則點M就是過A，B，C三點的圓的圓心，由圖形可知M的坐標為M（1，﹣2），故答案為：（1，﹣2）；（2）連接MB，由勾股定理得MB=3故圓的面積為10π．【點評】此題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是根據垂徑定理得出圓心位置．【變式34】將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．【分析】（1）根據垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心；（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圓片的半徑R為253cm【點評】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設和結論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣?。趹么箯蕉ɡ斫忸}時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．題型四確定三角形外心的位置題型四確定三角形外心的位置【例題4】（2023春?儀征市期末）點I是△ABC的外心，則點I是△ABC的（）A．三條垂直平分線交點 B．三條角平分線交點 C．三條中線交點 D．三條高的交點【分析】根據線段垂直平分線性質定理的逆定理，即可解答．【解答】解：點I是△ABC的外心，則點I是△ABC的三條垂直平分線交點，故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線性質定理的逆定理是解題的關鍵．解題技巧提煉銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．【變式41】若一個三角形的外心在這個三角形的邊上，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，則該三角形是直角三角形．【解答】解：∵根據圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角，∴該三角形是直角三角形．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜邊的中點．【變式42】（2022秋?桐廬縣期中）△ABC的外心在三角形的一邊上，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【分析】根據直徑所對的圓周角是直角得該三角形是直角三角形．【解答】解：銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心是其斜邊的中點，鈍角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個三角形是直角三角形．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，關鍵掌握直角三角形的外心就是其斜邊的中點．【變式43】（2023?任丘市模擬）如圖，在4×4的網格圖中，A、B、C是三個格點，其中每個小正方形的邊長為1，△ABC的外心可能是（）A．M點 B．N點 C．P點 D．Q點【分析】由圖可知，△ABC是銳角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其內部，根據勾股定理得到BP＝CP=2≠【解答】解：由圖可知，△ABC是銳角三角形，∴△ABC的外心只能在其內部，由此排除A選項和B選項，由勾股定理得，BP＝CP=2≠∴排除C選項，故選：D．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，熟練掌握三角形的外心的性質是解題的關鍵．【變式44】（2023?邢臺一模）如圖，在由小正方形組成的網格中，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點上．下列三角形中，外心不是點O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【分析】根據三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點解答即可．【解答】解：∵OA＝OB=22+∴OA＝OB≠OE，∴點O不是△ABE的外心，故選：C．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，熟練掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點是解題的關鍵．【變式45】（2022秋?承德縣期末）如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C．D、E、F在小正方形的頂點上，則△ABC的外心是（）A．點D B．點E C．點F D．點G【分析】根據三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這一點叫做它的外心，據此解答即可．【解答】解：根據題意可知，點D是△ABC外心．故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，屬于基礎題型，比較簡單．【變式46】（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．【分析】（1）根據三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；（2）根據勾股定理求出圓的半徑，根據圓的面積公式計算，得到答案．【解答】解：（1）如圖所示，點O即為所求；（2）連接OB，由勾股定理得：OB=3∴外接圓⊙O的面積為：π×（10）2＝10π．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關鍵．題型五利用三角形外心的性質求角度題型五利用三角形外心的性質求角度【例題5】（2023春?橫山區(qū)校級期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，連接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．50° C．30° D．25°【分析】連接OC，根據圓心角、弧、弦的關系可得∠BOD＝∠BOC＝50°，然后利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：連接OC，∵BD＝BC，∴∠BOD＝∠BOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB=12（180°﹣∠故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關系，等腰三角形的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．解題技巧提煉主要考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關系，有時要利用等腰三角形的性質，等邊三角形的性質等知識，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【變式51】如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O為△ABC的外心，△OCP為等邊三角形，OP與AC相交于D點，連接OA．（1）求∠OAC的度數(shù)；（2）求∠AOP的度數(shù)．【分析】（1）直接利用三角形外心的性質以及等腰三角形的性質得出即可；（2）利用三角形外心的性質以及利用等腰三角形的性質得出∠OAC＝∠OCA＝35°，進而結合三角形外角的性質得出答案．【解答】解：∵O為△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC，∴∠OAC＝35°（AO垂直平分BC，則三線合一），（2）∵O為△ABC的外心，∴AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝35°，∴∠AOC＝110°，∵△OCP為正三角形，∴∠AOP＝50°．【點評】此題主要考查了三角形的外心的性質以及等邊三角形的性質等知識，得出∠OAC＝∠OCA＝35°是解題關鍵．【變式52】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。痉治觥浚?）連接OA并延長AO交BC于E，證明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得結論，（2）設∠ABD為x，用x表示出有關的角，再列方程即得答案．【解答】解（1）連接OA并延長AO交BC于E，∵AB＝AC，∴AB=∵AE過圓心O，∴AE垂直平分BC（平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦），∴AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）設∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，①若BD＝BC，則∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，②若BC＝CD，則∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，綜上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD為67.5°或72°．【點評】本題考查圓及內接三角形，關鍵是垂徑定理及等腰三角形性質的應用．題型六利用三角形外心的性質求線段長題型六利用三角形外心的性質求線段長【例題6】（2023?巧家縣二模）如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點O為△ABC的外心，連接OA交BC于點M．若OA＝AC＝1，則BC的長為（）?A．3 B．23 C．3 【分析】連接OC，證明△OAC為等邊三角形，求出∠OAC＝60°，求出MC后再求BC即可．【解答】解：連接OC，∵O為△ABC的外心，∴OA＝OC，∵OA＝AC，∴△OAC為等邊三角形，∴∠OAC＝60°，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，在Rt△ACM中，MC＝AC?32∴BC＝2MC=3故選：A．【點評】本題考查了三角形外心性質、垂徑定理性質的應用，等邊三角形及三角函數(shù)的應用是解題關鍵．解題技巧提煉本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．【變式61】（2022?崇明區(qū)二模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的長是．【分析】根據垂直定義可得∠ADO＝90°，從而可得OD∥BC，進而可得AD＝DB=12AB＝4，AE＝EF，然后利用三角形的中位線定理可得CF＝2OE，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB=12AB＝4，AE＝∴OE是△AFC的中位線，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO=A∴CF＝2OE＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．【變式62】如圖，點O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E，點M、N分別是OD、OE的中點，連接MN，若BC＝6，則MN＝．【分析】連接DE，利用外心是三角形三條邊垂直平分線的交點，得到D為AB的中點，E為AC的中點，利用三角形的中位線定理即可求得結論．【解答】解：連接DE，如圖，∵點O是△ABC的外心，∴O是△ABC三邊垂直平分線的交點，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴D為AB的中點，E為AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12∵點M、N分別是OD、OE的中點，∴MN是△ODE的中位線．∴MN=12故答案為：1.5．【點評】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，三角形的中位線定理，充分利用外心是三角形三條邊垂直平分線的交點是解題的關鍵．【變式63】（2022秋?江陰市校級月考）如圖，△ABC內接于⊙O，高AD經過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【分析】（1）根據垂徑定理得到AB=（2）連接OB，根據垂徑定理求出BD，根據勾股定理求出OD，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，∴AB=∴AB＝AC；（2）解：連接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC=12BC在Rt△ODB中，OD=O∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC=1【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理是解題的關鍵．題型七三角形的外接圓的綜合題題型七三角形的外接圓的綜合題【例題7】（2023?湖北模擬）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；（2）延長AO交BC于點H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設OH＝b，BH＝CH＝a，根據OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，∠OAB=∠OAC∠OBA=∠OCA∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長AO交BC于點H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴a2解得，a=3∴BC＝2a＝37．【點評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，角平分線的性質，第（1）關鍵在證明三角形全等；第（2）題關鍵由勾股定理列出方程組．解題技巧提煉本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理是解題的關鍵，同時還利用全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【變式71】（2022秋?東莞市期末）如圖，△ABC為圓O的內接三角形，AB＝AC，連接AO并延長交BC于點M．（1）求證：AM⊥BC；（2）若BC＝6，AB=310，求⊙O【分析】（1）根據等腰三角形的性質和垂徑定理得到結論；（2）連接OB，根據等腰三角形的性質得到BM=12BC＝3，根據勾股定理得到AM=AB2?BM2=(310【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴AB=∵AM過圓心，∴AM⊥BC；（2）解：連接OB，∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM=12∵AB=310∴AM=A設OB＝OA＝r，則OM＝9﹣r，∵OB2＝BM2+OM2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得r＝5，故⊙O的半徑為5．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【變式72】如圖，D是△ABC的邊BC的中點，過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．（1）證明：AB＝AC；（2）證明：點O是△ABC的外接圓的圓心．【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可證得AD⊥BC，又由D是△ABC的邊BC的中點，即可得AD是線段BC的垂直平分線，則可證得AB＝AC；（2）由AD是線段BC的垂直平分線，可證得OB＝OC，又由AO＝CO，則可得AO＝BO＝CO，則問題得證．【解答】（1）證明：∵D是△ABC的邊BC的中點，∴BD＝CD，∵BC∥EF，AD⊥EF，∴AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）證明：連接BO，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴BO＝CO，∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴點O是△ABC的外接圓的圓心．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內接圓的性質等知識．此題綜合較強，但難度不大，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．【變式73】（2022秋?漣水縣校級月考）定義：到一個三角形三個頂點的距離相等的點叫做該三角形的外心．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點O為△ABC的外心，求證：點O也是△DEF的外心．【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根據全等三角形的性質得到∠ABO＝∠OBC，于是得到結論；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根據全等三角形的性質即可得到結論．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵點O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB與△COB中，AB=BCOB=OB∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠ABO＝∠OBC，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵點O為△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD與△DBO中，AF=BD∠FAO=∠DBO∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴點O也是△DEF的外心．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【變式74】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求證：AB（2）如圖2，作CD⊥AB交于D，AO的延長線交CD于E，若A