定積分與微積分基本定理

第12課時定積分與微積分基本定理1．定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx＝

；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝

；(3)f(x)dx＝

．kf(x)dx(k為常數(shù))f1(x)dx±f2(x)dxf(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)2．微積分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)的函數(shù)，f(x)dx＝

．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式．其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)．為了方便，我們常把F(b)－F(a)記作

，即f(x)dx＝

＝

．F(b)－F(a)F(b)－F(a)[思考探究]一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？提示：一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而其原函數(shù)則有無窮多個，這些原函數(shù)之間都相差一個常數(shù)．1．(2011·福建卷)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．e D．e＋1答案：C2．已知k＞0，(2x－3x2)dx＝0，則k＝()A．0 B．1C．0或1 D．以上均不對答案：

B答案：D答案：－2

計算一些簡單的定積分，解題的步驟是：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)；(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值；(5)計算原始定積分的值．答案：(1)C(2)C利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖．(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限．(3)將曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和或差．(4)計算定積分，寫出答案．2.求由曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積．用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，變速運動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時，需利用積分的性質(zhì)將其分成幾段進行積分，然后求出積分的和，即得到答案．由于函數(shù)是分段函數(shù)，因此在運算過程中要細心，以防出錯．3.列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得加速度a＝－0.4m/s2，問列車應(yīng)在進站前多長時間，以及離車站多遠處開始制動？1．求定積分的一些技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求定積分．(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段求定積分再求和．(3)對含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能求定積分．從近兩年的高考試題來看，本節(jié)內(nèi)容要求較低，定積分的簡單計算與應(yīng)用是高考的熱點，題型均為小題，難度中低檔，主要考查定積分的概念及定積分基本定理的簡單應(yīng)用．混淆定積分的值與曲邊梯形面積的關(guān)系而致誤·名師點撥增分答案：A錯因分析在解答本題時有兩點容易造成失誤：一是不能將封閉圖形的面積正確翻譯成定積分表達式，二是對于列出的表達式不能正確計算出結(jié)果，造成失誤的原因是對定積分的幾何意義不理解．備考建議利用定積分求封閉圖形的面積時，當(dāng)平面圖形的曲邊在x軸上方時，容易轉(zhuǎn)化為定積分求其面積；當(dāng)平面圖形的一部