6.2.4　向量的數(shù)量積

6.2.4

向量的數(shù)量積一二三四

一、向量數(shù)量積的定義1.思考(1)如圖所示,一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s.①力F所做的功W=

.

②請同學們分析這個公式的特點:W(功)是

量,F(力)是

量,s(位移)是

量,θ是

的夾角.

提示①力F所做的功W=|F||s|cosθ;②W(功)是標量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量,θ是F與s的夾角.(2)F與s的夾角θ的取值范圍對功W有什么影響?提示當0°≤θ<90°時,W>0,即力F做正功;當θ=90°時,即力F的方向與位移s的方向垂直時,W=0,力F不做功;當90°<θ≤180°時,W<0,即力F做負功.(3)兩個向量的數(shù)量積結果是向量還是數(shù)量?提示是數(shù)量.一二三四2.填空(1)向量a與向量b的夾角①夾角的定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②顯然,當θ=0時,a與b同向;當θ=π時,a與b反向.③如果a與b的夾角是,我們說a與b垂直,記作a⊥b.(2)向量的數(shù)量積①定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

②零向量與任一向量的數(shù)量積為0.③向量數(shù)量積的正負由兩個向量的夾角θ決定:當θ是0或銳角時,數(shù)量積為正;當θ是鈍角或π時,數(shù)量積為負;當θ是直角時,數(shù)量積等于零.一二三四3.做一做答案:(1)-2

(2)8一二三四二、向量a在向量b上的投影向量1.思考(1)如何作出一個向量a在向量b上的投影向量?(2)數(shù)量積公式中|a|cosθ或|b|cosθ有什么意義?提示|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖所示,OB1=|b|cosθ.一二三四(3)向量a在向量b上的投影向量和向量b在向量a上的投影向量一樣嗎?提示不一樣.前者是與b共線的向量,后者是與a共線的向量.2.填空(2)向量a在b方向上的投影為|a|cosθ.

(3)數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.

一二三四3.做一做(1)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,則向量a在向量b方向上的投影等于

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,則向量b在向量a方向上的投影等于

.

一二三四三、平面向量數(shù)量積的性質1.思考已知兩個非零向量a與b,根據(jù)它們的數(shù)量積公式,回答以下問題:(1)a與b垂直時,數(shù)量積有什么特點?反之呢?(2)當a與b共線時,數(shù)量積可如何化簡?(3)一個向量a與它自身的數(shù)量積結果如何?(4)|a·b|與|a||b|有什么大小關系?(5)在上述(4)的關系中,等號成立的條件是什么?一二三四提示(1)非零向量a⊥b時,a·b=0;反之也成立.(2)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|中,當且僅當a∥b時,等號成立.一二三四2.填空設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b?a·b=0.(4)|a·b|≤|a||b|.一二三四3.做一做向量a,b滿足|a|=|b|=4,它們的夾角為,則|a-b|=(

)A.4 B.8 C.37 D.13答案:A一二三四四、平面向量數(shù)量積的運算律1.思考(1)對于實數(shù)a,b,c有(a·b)c=a(b·c);那么對于不共線向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)是否成立?提示不成立.因為(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,因為c與a不共線,所以式子不成立.(2)已知實數(shù)a,b,c(b≠0),則ab=bc?a=c.對于向量a,b,c,若b≠0,則a·b=b·c?a=c,這個推理正確嗎?為什么?提示該推理不正確.即a·b=b·c不能推出a=c.如圖,由投影的定義及數(shù)量積公式,易知a·b=b·c,但顯然a≠c.一二三四2.填空向量數(shù)量積的運算律3.做一做答案:A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡單計算例1已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義→逐一進行計算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟

求向量的數(shù)量積時,需明確兩個關鍵點:相關向量的模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

幾何圖形中向量數(shù)量積的計算答案:-1探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練解析:∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運算問題,要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目,只需把握圖形的特征,并寫出相應點的坐標即可求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求向量的投影向量例3如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是邊BC的中點,求:探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練解:如圖,連接AD,因為AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC邊的中點,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

求投影向量要搞清是哪一個向量在哪一個向量上的投影向量,在正確理解其定義的同時,找準兩向量之間的夾角是關鍵.確定兩向量的夾角時,一定要注意“共始點”.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練向量模的相關問題角度1

利用數(shù)量積求向量的模例4(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

解析:(1)∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos60°+|b|2=4×25+4×5×5×(2)∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=5,∴|a|2+2|a|·|b|cos135°+|b|2=5.∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3或|b|=-1(舍去).探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos0°=|a|2,得

這是求向量的模的一種方法.即要求一個向量的模,先求這個向量與自身的數(shù)量積(一定非負),再求它的算術平方根.對于復雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術平方根即為|a+b|.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓練3已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因為|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因為|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因為(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

與模有關的最值問題例5(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)(2)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,則|a+b-c|的最小值為(

)答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

涉及向量模的最值問題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運算,把問題轉化為關于某個量的函數(shù),進而求出最值.需要掌握向量模的一些簡單幾何意義:①|a|為正值,則說明當表示向量的有向線段的起點確定后,其終點在以起點為圓心,以|a|為半徑的圓上運動;②若|a+b|=|a-b|,則向量a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓練4若兩個單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)答案:B探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題例6(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解;(2)可采用數(shù)形結合的方法構造平面圖形求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練(1)答案:C解析:因為(2a+b)⊥b,所以2(a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設a,b的夾角為θ,則2|a||b|cosθ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cosθ+|b|2=0,探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

求平面向量夾角的方法(1)求向量的夾角,主要是利用公式cos

θ=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結合向量線性運算、模的幾何意義,利用數(shù)形結合的方法求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練延伸探究

本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(a+2b)⊥(ka-b)時,求實數(shù)k的值.解:因為(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不對探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:(1)B

(2)A

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

能夠將

,并熟練地運用向量的減法,是本題獲解的關鍵.此外,對于典例(1)我們得出下列結論:已知非零向量a,b,若|a+b|=|a-b|,則a⊥b.該結論的幾何背景為:以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,也就有a⊥b成立.事實上,由于a+b,a-b分別為以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線對應的向量,而兩對角線相等的平行四邊形為矩形.依據(jù)向量的數(shù)量積的有關知識判斷平面圖形的形