《分類加法計數(shù)原理與分類乘法計數(shù)原理的應用》同步學案(教師版)

高中數(shù)學精編資源2/2《分類加法計數(shù)原理與分類乘法計數(shù)原理的應用》同步學案情境導入世界杯是全球的一大體育盛事,32支球隊齊聚,綠茵場上,群雄逐鹿,是一場場難得的視覺盛宴.通過小組賽、十六強賽、八強賽、四強賽、季軍賽、決賽,最終決出冠、亞、季軍,大家知道總共進行了多少場比賽嗎？自主學習自學導引用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時,最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點:(1)要完成的“一件事”是什么;(2)需要分類還是需要分步.分類要做到“_______”.分類后再分別對每一類進行計數(shù),最后用分類加法計數(shù)原理求和,得到總數(shù).分步要做到“_______”,即完成了所有步驟,恰好完成任務.分步后再計算每一步的方法數(shù),最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù).答案：不重不漏步驟完整預習測評1.甲、乙兩個班分別有29名、30名學生,從兩個班中選1名學生,則()A.有29種不同的選法B.有30種不同的選法C.有59種不同的選法D.有種不同的選法2.4位同學各自在周六、周日兩天中任選1天參加公益活動,則不同的選法種數(shù)為()A.2B.4C.8D.163.從集合中任取兩個互不相等的數(shù)組成復數(shù),其中虛數(shù)有()A.30個B.42個C.36個D.35個4.用這3個數(shù)字可以寫出沒有重復數(shù)字的整數(shù)_____個.答案：1.C解析:分兩類:第1類,從甲班選,有29種方法;第2類,從乙班選,有30種方法.由分類加法計數(shù)原理得不同方法的種數(shù)為.2.D解析:4位同學各自在周六、周日兩天中選擇一天參加公益活動的情況有種.3.C解析:如果為虛數(shù),那么.完成組成虛數(shù)這件事,分兩步進行,第1步,確定,有6種不同的方法;第2步,確定,由于,但可以為0,故有6種不同的方法.所以虛數(shù)的個數(shù)為.4.15解析:分三類:第1類,一位整數(shù),有3個;第2類,兩位整數(shù),有,共6個;第3類,三位整數(shù),有,共6個.所以可寫出沒有重復數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為.新知探究探究點1組數(shù)問題知識詳解1.對于組數(shù)問題,一般按特殊位置(一般指末位和首位)由誰占領(lǐng)分類,分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成.如果分類較多,可采用間接法從反面求解.2.解決組數(shù)問題時,應特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘.典例探究例1從這6個數(shù)字中取4個數(shù)字組成四位數(shù),問:(1)能組成多少個四位數(shù)?(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個?解析:(1)要完成的一件事是組成四位數(shù),所以首位數(shù)字不能是0;(2)要使所組成的四位數(shù)能被5整除,則末位數(shù)字必須是0和5中的1個.答案:(1)第1步,千位上的數(shù)不能取0,只能取1,2,中的一個,有5種選擇;第2步,由于取了1個數(shù)放千位上,故可從剩下的5個數(shù)中選1個放百位上,所以有5種選擇;第3步,由于分別取了1個數(shù)放千位、百位上,故可從剩下的4個數(shù)中選1個放十位上,所以有4種選擇;第4步,由于分別取了1個數(shù)放千位、百位、十位上,故可從剩下的3個數(shù)中選1個放個位上,所以有3種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,組成的四位數(shù)的個數(shù)為.(2)如果組成的四位數(shù)能被5整除,那么四位數(shù)個位上的數(shù)字只能是0或5.第1類,當個位上的數(shù)字為0時,依次取千位、百位、十位上的數(shù)字,分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇,所以滿足要求的四位數(shù)的個數(shù)為;第2類,當個位上的數(shù)字為5時,依次取千位、百位、十位上的數(shù)字,分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇,所以滿足要求的四位數(shù)的個數(shù)為.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,能被5整除的四位數(shù)的個數(shù)為.方法歸納:組數(shù)問題實際就是分步問題,需要用分步乘法計數(shù)原理解決,在有附加條件時,可能需要進行分類討論.即在解決相關(guān)的組數(shù)問題時,要注意兩個計數(shù)原理的綜合應用.變式訓練1用這10個數(shù)字可組成不同的:(1)三位數(shù)______個;(2)無重復數(shù)字的三位數(shù)______個;(3)小于500、無重復數(shù)字且為奇數(shù)的三位數(shù)______個.答案：(1)900(2)648(3)144解析:(1)由于0不能在百位,所以百位上的數(shù)字有9種選法,十位與個位上的數(shù)字均有10種選法,所以不同三位數(shù)的個數(shù)為.(2)百位上的數(shù)字有9種選法,十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法,個位上的數(shù)字應從剩余8個數(shù)字中選取,所以無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為648.(3)小于500、無重復數(shù)字且為奇數(shù)的三位數(shù),應滿足的條件是:首位上的數(shù)只能從中選,個位上的數(shù)必須為奇數(shù),按首位分兩類:第1類,首位上的數(shù)為1或3時,個位上的數(shù)有4種選法,十位上的數(shù)有8種選法,所以不同選法種數(shù)為;第2類,首位上的數(shù)為2或4時,個位上的數(shù)有5種選法,十位上的數(shù)有8種選法,所以不同選法種數(shù)為.由分類加法計數(shù)原理知,不同選法的種數(shù)為144.探究點2涂色與種植問題知識詳解求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解,常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理求解;(2)以顏色(種植作物)為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”問題,用分類加法計數(shù)原理求解;(3)對于空間涂色問題,將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.典例探究例2用5種不同的顏色給圖中的四個區(qū)域涂色,每個區(qū)域涂一種顏色,若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,那么共有多少種不同的涂色方法？解析:因為要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,所以可按“1號區(qū)域與4號區(qū)域同色”和“1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色”兩種情況分類,然后根據(jù)兩個計數(shù)原理分別求解.答案:第1類:1號區(qū)域與4號區(qū)域同色,此時可分3步來完成.第1步,涂1號區(qū)域和4號區(qū)域,有5種涂法;第2步,涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,有4種涂法;第3步,涂3號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,也有4種涂法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同涂法種數(shù)為.第2類:1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色,此時可分四步來完成.第1步,涂1號區(qū)域,有5種涂法;第2步,涂4號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域同色即可,有4種涂法;第3步,涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,有3種涂法;第4步,涂3號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,也有3種涂法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同涂法的種數(shù)為.依據(jù)分類加法計數(shù)原理知,不同的涂色方法種數(shù)為.方法歸納:這是一個有限制條件的計數(shù)問題,解決方法是:特殊位置、特殊元素優(yōu)先安排.本題是先分類再分步,而分類的標準是兩個特殊位置同色或不同色,這樣,在分類時才能做到“不重不漏”.變式訓練2將3種作物全部種植在如下圖所示的5塊試驗田里,每塊種植1種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物,不同的種植方法共有______種(以數(shù)字作答).答案:42解析:只滿足相鄰試驗田種植不同作物,則從左往右5塊試驗田分別有種種植方法,不同種植方法數(shù)為,而5塊試驗田只種植了2種作物的種植方法數(shù)為,所以不同的種植方法數(shù)為.探究點3抽取、分配問題知識詳解1.當涉及對象數(shù)目不大時,一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法求解.2.當涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種求解方法:(1)直接法:直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.(2)間接法:去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù).典例探究例3在7名學生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另2名既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)在從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解析:本題應先分類,再分步.確定分類標準確定類數(shù)逐類分步計算下結(jié)論答案:方法一:分四類.第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,不同選法種數(shù)為.第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,不同選法種數(shù)為.第3類,從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,不同選法種數(shù)為.第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽,選法種數(shù)為.故不同的選法種數(shù)為.方法二:分兩類.第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,這時7名學生中還有4名學生會下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽,不同選法種數(shù)為.第2類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,這時7名學生中還有3名學生會下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽,不同選法種數(shù)為.故不同的選法種數(shù)為.方法歸納:涉及分類與分步的綜合性問題,首先要確定是先分類還是先分步.分類要確定分類的標準,分類標準不同,需要分的類數(shù)一般不同,但要保證“不重不漏”.分步要確定需要分幾步,分步要確?！安襟E完整”.變式式練33個不同的小球放練5個不同的盒子,每個盒子至多放一個小球,共有多少種放法?答案:方法一:(以小球為研究對象)分三步來完成.第1步,放第1個小球有5種選擇;第2步,放第2個小球有4種選擇;第3步,放第3個小球有3種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有放法種數(shù)為.方法二:(以盒子為研究對象)將盒子標上序號,4,5,分成10類.第1類,空盒子標號為,不同放法種數(shù)為;第2類,空盒子標號為,不同放法種數(shù)為;第3類,空盒子標號為,不同放法種數(shù)為.分類還有以下幾種情況:空盒子標號分別為,,共10類,每一類都有6種放法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同放法種數(shù)為.易錯易混解讀例某學校將一塊長方形空地分成如圖所示的8塊,計劃在這8塊空地上種花,已知空地1,8上已經(jīng)種了a花,其余空地需從A,B,C,D,E這5種花中選擇若干種進行種植,要求每塊空地只種一種花,且有公共頂點的兩塊空地種的花不能相同,則不同的種植方案有______種.錯解:按的順序種植,不同的種植方案種數(shù)為.錯因分析:沒有考慮當空地2和4上種植相同的花時第7塊空地上有2種種植方法.正解:先考慮中間“田”字格的種植方案,不同的種植方法數(shù)有,再考慮兩邊剩余的每塊空地的種植方案,不同的種植方法數(shù)均為3,所以不同的種植方案種數(shù)為.糾錯心得:在利用分步乘法計數(shù)原理求解計數(shù)問題時,分步要確保步驟完整.課堂檢測1.已知函數(shù),其中,則不同的二次函數(shù)的個數(shù)為()A.125 B.15 C.100 D.10 2.體育老師把9個相同的足球放人編號為的三個箱子中,要求每個箱子放球的個數(shù)不小于其編號,則不同的放球方法有()A.8種 B.10種 C.12種 D.16種 3.完全展開后的項數(shù)為()A.9 B.12 C.18 D.24 4.從中任選兩個不同的數(shù)字組成兩位數(shù),其中偶數(shù)的個數(shù)是()A.6 B.8 C.10 D.12 5.現(xiàn)有5種不同的顏色,要對圖形中的4個部分進行著色,要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色,不同的涂色方法有_____種.答案:1.C解析:由題意可得,可分以下幾類:第1類,,此時有4種選擇,也有4種選擇,不同函數(shù)的個數(shù)為;第2類,,此時有4種選擇,也有4種選擇,不同函數(shù)的個數(shù)為;第3類,,此時都各有4種選擇,不同函數(shù)的個數(shù)為;第4類,,此時有4種選擇,共有4個不同的函數(shù).由分類加法計數(shù)原理,可確定不同的二次函數(shù)的個數(shù)為.2.B解析:首先在3個箱子中放入個數(shù)與編號相同的球,這樣剩下3個足球,這3個足球可以隨意放置,有以下幾類.第1類,可以在每一個箱子中放1個,有1種結(jié)果;第2類,可以把球分成兩份,1個和兩個,這兩份在3個位置,有