第二十四章 圓 能力提升卷（B卷）（解析版）-A4

第頁2023-2024學年九年級上冊第四單元圓B卷?能力提升卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．（2023?芝罘區(qū)一模）如圖，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，則弓形所在圓的直徑長為?（）A．5 B．10 C． D．【答案】C【解答】解：設弓形所在圓的圓心是O，圓的半徑是r，連接OC，OA，由題意知O、C、D共線，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，∵高CD＝3，∴OC＝r﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴弓形所在圓的直徑長2r＝．故選：C．2．（2023春?招遠市期中）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則AB的長為（）A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解答】解：設圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，根據(jù)題意得，解得，所以．故選：D．3．（2023?東莞市校級二模）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝20°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】見試題解答內容【解答】解：連接OA，OB，∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，∴這個正多邊形的邊數(shù)＝＝9．故選：C．4．（2023?二七區(qū)校級開學）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重臺，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點A的坐標為（）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）【答案】C【解答】解：正六邊形ABCDEF邊長為2，中心與原點0重合，AB∥x軸，∴AP＝1，AO＝2．∠OPA＝90°，：OP﹣＝＝．第1次旋轉結束時，點A的坐標為（．﹣1）；第2次旋轉結束時，點A的坐標為（﹣1，﹣）；第3次旋轉結束時，點A的坐標為（﹣，1）；第4次旋轉結束時，點A的坐標為（1.），∵4次一個循環(huán)，∴2023÷4＝5053．第2023次旋轉結束時，點A的坐標為（﹣，1）．故選：C．5．（2023?市北區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小為（）A．130° B．100° C．120° D．110°【答案】A【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，故選：A．6．（2023?金東區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+6與坐標軸交于A，B兩點，點C為坐標平面內一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連結OM，則線段OM的最小值是（）A．+1 B．﹣1 C．2 D．【答案】B【解答】解：如圖，∵直線y＝﹣x+6與坐標軸交于A，B兩點，∴A（6，0），B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵點C為坐標平面內一點，BC＝2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD＝OA＝6，連接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝CD，當OM最小時，即CD最小，而D，B，C三點共線時，當C在線段DB上時，OM最小，∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，∴BD＝6，∴CD＝6﹣2．∴OM＝CD＝3﹣1．即OM的最小值為：3﹣1．故選：B．7．（2023?阜新）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5…叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)，當OA＝1時，點C2023的坐標是（）A．（﹣1，﹣2022）B．（﹣2023，1）C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）【答案】A【解答】解：由圖得C1（0，1），C2（1，0），C3（﹣1，﹣2），C4（﹣4，0），C5（0，5），C6（5，0），C7（﹣1，﹣5），…點C的位置每4個一循環(huán)，2023＝505×4+3，∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合規(guī)律（﹣1，﹣n+1），∴C2023坐標為（﹣1，﹣2022）．故選：A．8．（2023?黃山一模）在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（）A． B． C．10 D．34【答案】C【解答】解：設點M為DE的中點，點N為FG的中點，∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，∴當PN最小時，PF2+PG2的值最小，此時點P在MN上，∵DE＝4，四邊形DEFG為矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．故選：C．9．（2023?東興區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，將△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△ADE，點B經過的路徑為BD，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC為直角三角形，由題意得，△AED的面積＝△ABC的面積，由圖形可知，陰影部分的面積＝△AED的面積+扇形ADB的面積﹣△ABC的面積，∴陰影部分的面積＝扇形ADB的面積＝＝，故選：D．10．（2023?岱岳區(qū)校級模擬）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ．則線段OQ的最大值是（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：連接PB，∵拋物線關于y軸對稱，∴OA＝OB，∵PQ＝AQ，∴OQ是△APB的中位線，∴OQ＝PB，∴當PB長最大時，OQ長最大，當PB過圓心C時，PB長最大，當＝0時，∴x＝±4，∴B的坐標是（4，0），∴OB＝4，∵C的坐標是（0，3），∴OC＝3，∴BC＝＝5，∵⊙C的半徑是2，∴PC＝2，∴PB＝PC+BC＝7，∴OQ＝，∴OQ的最大值是．故選：D．二．填空題(本題共6題,每小題3分，共18分）。11.（2023?鳳凰縣三模）已知一個扇形的半徑為5，圓心角是120°，則該扇形的弧長是π．【答案】π．【解答】解：由題意得，扇形的弧長＝＝π．故答案為：π．12．（2023?安順模擬）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑定理（當半徑OC⊥弦AB時，OC平分AB）可以求解，現(xiàn)已知弦AB＝6米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為平方米．【答案】．【解答】解：∵弦AB＝6米，半徑OC⊥弦AB，∴AD＝AB＝3米，∴OD＝＝4米，∴OA﹣OD＝5﹣4＝1（米），∴弧田面積＝（弦×矢+矢2）＝×（6×1+12）＝（平方米）．故答案為：．13．（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長．用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內切圓的直徑，求得該直徑等于6步（注：“步”為長度單位）．【答案】6．【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為＝17，則該直角三角形能容納的圓形（內切圓）半徑r＝＝3（步），即直徑為6步，故答案為：6．14．（2023春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中點E，連接BE、CE，以BE為半徑，B為圓心畫弧交BC于G；以CE為半徑，C為圓心畫弧交BC于F，則陰影部分面積是﹣1．?【答案】﹣1．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AB＝1，AD＝2，E是AD中點，∴ED＝AE＝1，AD∥BC，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠GBE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∴圖中陰影部分的面積＝2S扇形BEG﹣S△BEC＝2×﹣×1×2＝﹣1．故答案為：﹣1．15．（2023春?北林區(qū)期末）如圖已知⊙P的半徑為3，圓心P在拋物線上運行，當⊙P與y軸相切時，圓心P的坐標為（3，2）或（﹣3，2）．【答案】（3，2）或（﹣3，2）．【解答】解：∵⊙P與y軸相切，⊙P的半徑為3，∴P到y(tǒng)軸的距離等于半徑3，∴點P的橫坐標為3或﹣3，當x＝3時，代入可得，此時P點坐標為（3，2）；當x＝﹣3時，代入可得，此時P點坐標為（﹣3，2）；綜上可知P點坐標為（3，2）或（﹣3，2），故答案為：（3，2）或（﹣3，2）．16．（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，P為弧AC上任意一點，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：如圖，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO′，連接DO′、CO′，則∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，∵以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC＝＝＝，∵，∴∠APD＝∠ACB＝45°，∵AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，∴點D在點O′為圓心，AO′為半徑的上運動，在等腰直角△ABO′中，O′B＝＝＝3，在Rt△BO′C中，CO′＝＝＝，∴O′D＝O′B＝3，∵CD≥CO′﹣O′D∴當C、D、O′三點共線時，CD取的最小值，最小值為CO′﹣O′D＝﹣3．故答案為：﹣3．三、解答題（本題共5題，共52分）。17．（10分）（2023?高州市一模）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表達為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，設圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．18．（10分）（2022秋?沭陽縣期中）如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）設弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經過O點，則BC＝AB＝1.6（米），設⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過O作OH⊥FE于H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．19．（10分）（2022春?定遠縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E．（1）若∠A＝25°，求的度數(shù)；（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的長．【答案】（1）40°；（2）．【解答】解：（1）連接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°，∴的度數(shù)為40°；（2）延長AC交⊙C與點F，∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，∴AB＝，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，∵AB與AF均是⊙C的割線，∴AD?AB＝AE?AF，即15AD＝3×21，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣＝．29．（10分）（2023?古丈縣一模）在半徑為的圓形紙片中，剪出一個圓心角為60°的扇形（圖中的陰影部分）．（1）求這個扇形的半徑；（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）如圖，連接BC，OB，OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等邊三角形，∴，AB＝BC＝AC，∴這個扇形的半徑為3．（2）設圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，解得．故圓錐底面圓的半徑為．21．（12分）（2023?夾江縣模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，D是⊙O上異于A、B的一個動點，連接AD，過O作OC∥AD交BC于點C．（1）求證：CD