2023-2024學(xué)年北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)2023年11月本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.4.已知，則的最小值為（）A. B.3 C.6 D.105.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應(yīng)值表x1234y1.213.7910.28以下說法中錯(cuò)誤的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)可能無零點(diǎn)8.已知是定義在上的函數(shù)，那么“存在實(shí)數(shù)，使得對任意總有”是“函數(shù)存在最大值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.數(shù)學(xué)里有一種證明方法為無字證明，是指僅用圖形而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題.在同一平面內(nèi)有形狀、大小相同的圖1和圖2，其中四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設(shè)，，則借助這兩個(gè)圖形可以直接無字證明的不等式是（）A. B.C. D.10.將5個(gè)1，5個(gè)2，5個(gè)3，5個(gè)4，5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入1個(gè)數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2，設(shè)第行的所有數(shù)的和為（，2，3，4，5），為，，，，中的最小值，則m的最大值為（）A.8 B.9 C.10 D.11第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知命題p：，，則：______.12.已知a，b，c為實(shí)數(shù)，能說明“若，則”為假命題的一組a，b，c的值是______.13.函數(shù)的圖象的對稱中心是______，不等式的解集是______.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，則t的取值范圍是______，若，則______.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足下列條件：（1）對任意的，總有，且；（2）若，，，則有.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②可能為區(qū)間中的任意值；③函數(shù)的最大值是4；④當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明，驗(yàn)算步驟或證明過程.16.已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.現(xiàn)已作出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，如圖所示.（1）請根據(jù)條件，將函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；（3）直接寫出不等式的解集.17.已知集合，.（1）若，求；（2）請?jiān)跅l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)a滿足該條件，并求出a的范圍.①；②；③.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.已知關(guān)于，的方程組其中.（1）當(dāng)時(shí)，求該方程組的解；（2）證明：無論為何值，該方程組總有兩組不同的解；（3）記該方程組的兩組不同的解分別為和，判斷是否為定值.若為定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.19.某廠家為開拓市場，擬對廣告宣傳方面的投入進(jìn)行調(diào)整.經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品的年訂購量t（萬件）與廣告費(fèi)用x（萬元）之間的關(guān)系為.已知當(dāng)廣告費(fèi)用投入為6萬元時(shí)，產(chǎn)品訂購量為19萬件.該廠家每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品，需投入12萬元.另外，廠家每年還需投入30萬元用于生產(chǎn)線的維護(hù).規(guī)定年總成本為生產(chǎn)投入費(fèi)用、維護(hù)投入費(fèi)用、廣告費(fèi)用的總和.（1）求k的值；（2）試求該廠家的年總成本y（萬元）與廣告費(fèi)用x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假定年生產(chǎn)成本為生產(chǎn)投入費(fèi)用、維護(hù)投入費(fèi)用的和.若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為產(chǎn)品的年平均生產(chǎn)成本的2倍，當(dāng)廣告費(fèi)用為多少萬元時(shí)，廠家的年利潤最高?20.已知函數(shù)，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）若對任意，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍.21.對任意的非空數(shù)集，定義：，其中表示非空數(shù)集中所有元素的乘積，特別地，如果，規(guī)定.（1）若，請直接寫出集合和中元素的個(gè)數(shù).（2）若，其中是正整數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值和最小值，并說明理由.（3）若，其中是正實(shí)數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值，并說明理由.

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楸硎舅衅鏀?shù)組成的集合，所以，故選:C.2.【答案】B【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，解出的取值范圍即可.【詳解】，解得：.故選：B.3.【答案】D【分析】由函數(shù)的基本性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于，是偶函數(shù)，不符合題意，對于，不具有奇偶性，不符合題意，對于，，是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，不符合題意，對于，，是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意.故選：.4.【答案】C【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為6.故選：C.5.【答案】B【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，則，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，則，解得（舍）.綜上所述，.故選：B.6.【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，故選：A7.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點(diǎn)存在性定理判斷CD.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，故選：D.8.【答案】B【分析】根據(jù)最大值的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】只有“存在實(shí)數(shù)，使得對任意總有”且“存在，使得”，這時(shí)的最大值才是，所以充分性不滿足，當(dāng)?shù)淖畲笾凳菚r(shí)，對任意總有恒成立，所以必要性滿足，所以，“存在實(shí)數(shù)，使得對任意總有”是“函數(shù)存在最大值”的必要不充分條件.故選：.9.【答案】A【分析】從圖中觀察，顯然圖1的陰影部分面積不小于圖2矩形的陰影面積，建立不等式即可.【詳解】為等腰直角三角形,且，，，,四邊形的面積.觀察圖形，顯然圖1的陰影部分面積不小于圖2的陰影面積，，當(dāng)且僅當(dāng)，原式取“”.故選：A.10.【答案】C【分析】根據(jù)題意，由5個(gè)1分布的列數(shù)不同情形進(jìn)行討論，即可確定的最大值.【詳解】解：依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論,確定的最大值.(1)若5個(gè)1分布在同一列，則；(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故；(3)若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故，故；(4)若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3，這與已知矛盾.綜上所述，；另一方面，如下表的例子說明可以取到10.1114511245222453324533345故選：C.第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】，【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題解答.【詳解】命題p：，，則：，.故答案為：，.12.【答案】，，(答案不唯一)【分析】可以直接選一組特殊值，只要能滿足，但是即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足，但是.故答案為：(答案不唯一).13.【答案】①.②..【分析】空1：整理可得，結(jié)合函數(shù)圖象平移求對稱中心；空2：分和兩種情況，根據(jù)題意運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，因?yàn)榈膶ΨQ中心為，向右平移1個(gè)單位，得到，對稱中心為，再向上平移1個(gè)單位，得到，對稱中心為；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則有：當(dāng)時(shí)，則，可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：不等式的解集是.故答案為：；.14.【答案】①.②..【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出分段函數(shù)圖像，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以求出的取值范圍；（2）根據(jù)分段函數(shù)是二次函數(shù)，所以，即，根據(jù)函數(shù)，求出，，繼而求出，最終求出的值.【詳解】如圖所示方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，則t的取值范圍是.因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，即所以，，解得，，解得，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋海?5.【答案】①③④.【分析】根據(jù)所給性質(zhì)取判斷①；根據(jù)所給性質(zhì)取特殊值求出判斷②；根據(jù)所給性質(zhì)可推斷出函數(shù)的單調(diào)性判斷③；利用性質(zhì)（2）推理可判斷④.【詳解】令，得，即，所以，①正確；令，得，所以，結(jié)合條件（1）知，故②錯(cuò)誤；任取，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最大值是4，③正確；因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，故④正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明，驗(yàn)算步驟或證明過程.16.【答案】（1）作圖見解析，（2）單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是，，證明見解析（3）【分析】（1）由奇函數(shù)的對稱性，直接作出函數(shù)的圖像，得出其解析式.（2）根據(jù)圖像得出單調(diào)區(qū)間，由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟證明即可.（3）利用函數(shù)圖像，分和兩種情況討論可得答案.【小問1詳解】由奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則圖像如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由所以.【小問2詳解】單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是，，證：，，不妨設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，，即，因此，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，由，則，即，解得當(dāng)時(shí)，，由，則，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，，解得或；解集為17.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）先求出集合，再由并集的定義求解；（2）由分析知，只可選擇①或③，可得，分類討論，和，求解即可.【小問1詳解】由可得：，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，因此，【小問2詳解】選擇條件①:由條件可得當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以，綜上所述，a的取值范圍是.選擇條件③:由條件可得當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以，綜上所述，a的取值范圍是.補(bǔ)充：下面說明條件②不成立：選擇條件②，由可得：，當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；故不能選擇條件②.18.【答案】（1）和（2）證明見解析（3）是定值，定值為4【分析】（1）消去求出所對應(yīng)的一元二次方程的解，從而求出方程組的解；（2）消去，判斷所對應(yīng)的一元二次方程的解的情況，即可判斷；（3）利用韋達(dá)定理得到，，即可求出、，從而得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，消去得，解得，，因此，方程組的解為和.【小問2詳解】消去整理得，顯然，且，因此，該方程有兩個(gè)不同的解，該方程組也對應(yīng)有兩組不同的解.【小問3詳解】由韋達(dá)定理得，，所以，，所以，因此，是定值，且定值為4.19.【答案】（1）（2），（3）22萬元【分析】（1）利用當(dāng)廣告費(fèi)用投入為6萬元時(shí)，產(chǎn)品訂購量為19萬件，可直接求出的值；（2）根據(jù)年總成本為生產(chǎn)投入費(fèi)用、維護(hù)投入費(fèi)用、廣告費(fèi)用的總和可直接列函數(shù)關(guān)系式；（3）利用基本不等式可求出利潤最大值.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，解得.【小問2詳解】由題意，該廠家的年總成本y（萬元）與廣告費(fèi)用x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：，.【小問3詳解】設(shè)年利潤為萬元，則，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，W取最大值284，所以廣告費(fèi)用為22萬元時(shí)，廠家的年利潤最高.20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析證明；（2）對整理得，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性分析求解；（3）根據(jù)題意分析可得，內(nèi)恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及基本不等式運(yùn)算求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)椋傻?，因此是上的奇函?shù).【小問2詳解】由題意可得：，且連續(xù)不斷，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以a的取值范圍是.【小問3詳解】因?yàn)樵趦?nèi)恒成立，即，，整理得，內(nèi)恒成立，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，即在上最大值為，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即在上最小值為，可得，所以a的取值范圍是.21.【答案】（1）有4個(gè)元素，有7個(gè)元素（2）個(gè)，11個(gè)（3）13，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知新定義結(jié)合條件求解即可.（2）根據(jù)已知新定義，分類討論、列舉結(jié)合條件進(jìn)行求解.（3）根據(jù)已知新定義，分類討論、列舉進(jìn)行求解、證明.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以?個(gè)元素，有7個(gè)元素.【小問2詳解】最大值：集合A的非空子集只有個(gè)，因此最多有31個(gè)元素.可能的構(gòu)造如下：.這個(gè)集合的元素均為素?cái)?shù)，中