第03講 二次根式的加減 （知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（解析版）-A4

第頁(yè)第03講二次根式的加減【題型1同類二次根式的相關(guān)概念】【題型2二次根式的加減】【題型3二次根式的混合運(yùn)算】【題型4二次根式的化簡(jiǎn)求值】【題型5二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【題型6分母有理化】考點(diǎn)1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【題型1同類二次根式的相關(guān)概念】【典例1】（2023春?南寧期中）下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝2，故B不符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝2，故D符合題意．故選：D．【變式1-1】（2022秋?正定縣期末）下列各式中，化簡(jiǎn)后能與合并的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；B、＝與是同類二次根式，能合并，故本選項(xiàng)符合題意；C、＝3與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；D、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期中）已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故選：B．【變式1-3】（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝2，＝2，＝2，＝3，＝4，∴能和合并的是．故選：C考點(diǎn)2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變。【題型2二次根式的加減運(yùn)算】【典例2】（2023秋?九臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】．【解答】解：＝＝．【變式2-1】（2023秋?南安市期中）計(jì)算：．【答案】+4．【解答】解：原式＝3﹣2+4＝+4．【變式2-2】（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）計(jì)算：．【答案】．【解答】解：原式＝2﹣3＝．【變式2-3】（2023春?武平縣期末）計(jì)算：．【答案】﹣72．【解答】解：原式＝＝＝考點(diǎn)3：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）【題型3二次根式的混合運(yùn)算】【典例3】（2022秋?玉門(mén)市期末）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝＝．（2）原式＝2+3+﹣5＝．【變式3-1】（2022秋?賀蘭縣校級(jí)期末）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）8．【解答】解：（1）＝9﹣7+2﹣2＝2；（2）＝6﹣+3＝8．【變式3-2】（2023春?宣化區(qū)期中）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）﹣2+2．【解答】解：（1）＝4+＝7；（2）＝18﹣12﹣（5﹣2+3）＝18﹣12﹣8+2＝﹣2+2．【變式3-3】（2023秋?南召縣期中）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）4+；（2）10﹣6．【解答】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝3﹣4+9﹣6+2＝10﹣6【題型4二次根式的化簡(jiǎn)求值】【典例4】（2022秋?新田縣期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+3xy+y2．【答案】（1）；（2）24．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）＝＝＝；（2）原式＝（x+y）2+xy＝＝＝20+4＝24．【變式4-1】（2023春?惠陽(yáng)區(qū)期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【答案】（1）；（2）15．【解答】解：（1）由題意得：∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8；（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝＝＝16﹣1＝15．【變式4-2】（2023秋?仁壽縣期中）已知：，．求值：（1）x+y；（2）x2y+xy2．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）由（1）知，，，∴，∴．【變式4-3】（2022秋?祁陽(yáng)縣期末）已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣2ab+b2．【答案】（1）24；（2）32．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32．【題型5二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（2023秋?興文縣期中）有一塊矩形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出面積分別為18dm2和32dm2的兩塊正方形木板．（1）截出的兩塊正方形木板的邊長(zhǎng)分別為3dm，4dm；（2）求剩余木板的面積；（3）如果木工師傅想從剩余的木板中截出長(zhǎng)為1.5dm、寬為1dm的矩形木條，最多能截出2個(gè)這樣的木條．【答案】（1）3，4；（2）6dm2；（3）2．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：截出的兩塊正方形木料的邊長(zhǎng)分別為＝3dm，＝4dm，故答案為：3，4；（2）根據(jù)題意得：矩形的長(zhǎng)為3（dm），寬為4dm，∴剩余木料的面積＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）根據(jù)題意得：從剩余的木料的長(zhǎng)為3dm，寬為4＝（dm），∵3，，∴能截出2×1＝2塊這樣的木條．故答案為：2．【變式5-1】（2023秋?陳倉(cāng)區(qū)期中）閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積為S＝．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，中國(guó)秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫一秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）求△ABC的面積；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，求線段AD的長(zhǎng)．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7，∴p＝＝10．∴△ABC的面積S＝＝10；（2）如圖，∵△ABC的面積＝BC?AD，∴×8×AD＝10，∴AD＝．【變式5-2】（2023春?瑤海區(qū)期末）小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯間時(shí)，總能看見(jiàn)如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進(jìn)一步研究高空拋物的危害，小明請(qǐng)教了物理老師，得知高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s2，）（1）已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個(gè)物品，求該物品落地的時(shí)間；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）小明查閱資料得知，傷害無(wú)防護(hù)人體只需要64焦的動(dòng)能，高空拋物動(dòng)能（焦）＝10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過(guò)幾秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵小明家住20層，每層的高度近似為3米，∴h＝20×3＝60（米），∴t＝＝＝（秒），∴該物品落地的時(shí)間為秒；（2）該玩具最低的下落高度為h＝＝64（米），∴t＝＝＝≈＝3.5776（秒）．∴最少經(jīng)過(guò)3.5776秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人．【變式5-3】（2023春?巴彥縣期中）如圖，張大伯家有一塊長(zhǎng)方形空地ABCD，長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)BC為，寬AB為，現(xiàn)要在空地中劃出一塊長(zhǎng)方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為．（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）若市場(chǎng)上蔬菜8元/千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產(chǎn)15千克的蔬菜，張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為多少元？【答案】（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是；（2）張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為4680元．【解答】解：（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)＝＝＝．答：長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是；（2）蔬菜地的面積＝＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．39×8×15＝4680（元）．答：張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為4680元．考點(diǎn)5：分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)?！绢}型6分母有理化】【典例6】（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面問(wèn)題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計(jì)算：+++…++．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【變式6-1】（2023春?張店區(qū)期中）觀察下列等式：①＝＝﹣1；②＝＝﹣；③＝＝﹣；…回答下列問(wèn)題：（1）仿照上列等式，寫(xiě)出第n個(gè)等式：＝﹣；（2）利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：；（3）計(jì)算：．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）第n個(gè)等式為＝﹣；（2）原式＝＝2﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝12﹣1．故答案為：（1）＝﹣【變式6-2】（2023春?瀏陽(yáng)市期中）像?＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明同學(xué)在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式化去分母中的根號(hào)．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奮好學(xué)的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．（3）化簡(jiǎn)：﹣．解：設(shè)x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；（2）化簡(jiǎn)：++；（3）化簡(jiǎn)：﹣．【答案】（1）2+3；（2）+；（3）2．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3，故答案為：2+3；（2）原式＝++＝++2+＝+；（3）原式＝﹣＝﹣＝+1﹣+1＝2．一．選擇題（共10小題）1．下列各式，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵與不是同類二次根式，∴不能與合并，故A項(xiàng)不符合題意；∵，∴與能合并，故B項(xiàng)符合題意；∵，∴不能與合并，故C項(xiàng)不符合題意；∵與不是同類二次根式，∴不能與合并，故D項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．下列計(jì)算正確的是（）A．＝﹣2 B．3＝1 C． D．3＝【答案】D【解答】解：A.＝2，故不符合題意；B、3＝，故不符合題意；C、與不是同類二次根式，不能合并，故不符合題意；D、3＝，故符合題意；故選：D．3．高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響），則從100m高空拋物到落地所需時(shí)間為（）A．2s B．s C．s D．2s【答案】A【解答】解：當(dāng)h＝100時(shí)，t＝＝2（秒），答：從100m高空拋物到落地所需時(shí)間是2秒；故選：A．4．計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：原式＝＝＝＝．故選：A．5．與計(jì)算結(jié)果相同的是（）A． B．2÷ C． D．【答案】C【解答】解：＝＝2，2+≠2，故選項(xiàng)A不符合題意；2＝2，故選項(xiàng)B不符合題意；2×＝2，故選項(xiàng)C符合題意；3×＝3≠2，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．6．已知﹣，則的解為（）A． B． C． D．．【答案】D【解答】解：∵﹣，∴（﹣）2＝3，∴x+﹣2＝3，∴x+＝5，∴（+）2＝x++2＝7，∴＝±，∵是非負(fù)數(shù)，∴＝．故選：D．7．已知a＝，b＝1﹣，則a2+ab+b2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把a(bǔ)＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，＝3+2+1﹣2+3﹣2，＝5．故選：A．8．若，則代數(shù)式x2﹣4x+4的值為（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023【答案】D【解答】解：∵x＝2+，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝2023，∴x2﹣4x+4＝2023，故選：D．9．若，則的值為（）A． B．5 C． D．2【答案】A【解答】解：原式＝＝＝．故選：A．10．若a+b＝﹣4，ab＝1，則的值為（）A．4 B．﹣4 C．16 D．4或﹣4【答案】A【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，∴a＜0，b＜0，∴＝+＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝4，故選：A．二．填空題（共5小題）11．將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式5．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝5，故答案為：512．已知最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則m的值是1．【答案】1．【解答】解：＝2，∵最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，∴m+1＝2，解得：m＝1．故答案為：1．13．計(jì)算：＝3．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：＝﹣＝4﹣＝3．故答案為：3．14．計(jì)算（﹣）×﹣3＝6﹣7．【答案】6﹣7．【解答】解：（﹣）×﹣3＝﹣﹣＝6﹣6﹣＝6﹣7，故答案為：6﹣7．15．已知x＝，y＝，+﹣4＝30．【答案】30．【解答】解：∵x＝＝3+2，y＝＝3﹣2，∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，∴+﹣4＝﹣4＝﹣4＝﹣4＝34﹣4＝30．故答案為：30．三．解答題（共