第03講 二次根式的加減 （知識解讀+達標檢測）（解析版）-A4

第頁第03講二次根式的加減【題型1同類二次根式的相關概念】【題型2二次根式的加減】【題型3二次根式的混合運算】【題型4二次根式的化簡求值】【題型5二次根式的實際應用】【題型6分母有理化】考點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變，合并的依據式乘法分配律，如【題型1同類二次根式的相關概念】【典例1】（2023春?南寧期中）下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝2，故B不符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝2，故D符合題意．故選：D．【變式1-1】（2022秋?正定縣期末）下列各式中，化簡后能與合并的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝與不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；B、＝與是同類二次根式，能合并，故本選項符合題意；C、＝3與不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；D、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2023秋?南山區(qū)校級期中）已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故選：B．【變式1-3】（2023秋?靜安區(qū)校級期中）下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝2，＝2，＝2，＝3，＝4，∴能和合并的是．故選：C考點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；③合：合并被開方數相同的二次根式——將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變?！绢}型2二次根式的加減運算】【典例2】（2023秋?九臺區(qū)校級期中）計算：．【答案】．【解答】解：＝＝．【變式2-1】（2023秋?南安市期中）計算：．【答案】+4．【解答】解：原式＝3﹣2+4＝+4．【變式2-2】（2023秋?朝陽區(qū)期中）計算：．【答案】．【解答】解：原式＝2﹣3＝．【變式2-3】（2023春?武平縣期末）計算：．【答案】﹣72．【解答】解：原式＝＝＝考點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【題型3二次根式的混合運算】【典例3】（2022秋?玉門市期末）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝＝．（2）原式＝2+3+﹣5＝．【變式3-1】（2022秋?賀蘭縣校級期末）化簡：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）8．【解答】解：（1）＝9﹣7+2﹣2＝2；（2）＝6﹣+3＝8．【變式3-2】（2023春?宣化區(qū)期中）計算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）﹣2+2．【解答】解：（1）＝4+＝7；（2）＝18﹣12﹣（5﹣2+3）＝18﹣12﹣8+2＝﹣2+2．【變式3-3】（2023秋?南召縣期中）計算：（1）；（2）．【答案】（1）4+；（2）10﹣6．【解答】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝3﹣4+9﹣6+2＝10﹣6【題型4二次根式的化簡求值】【典例4】（2022秋?新田縣期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+3xy+y2．【答案】（1）；（2）24．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）＝＝＝；（2）原式＝（x+y）2+xy＝＝＝20+4＝24．【變式4-1】（2023春?惠陽區(qū)期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【答案】（1）；（2）15．【解答】解：（1）由題意得：∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8；（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝＝＝16﹣1＝15．【變式4-2】（2023秋?仁壽縣期中）已知：，．求值：（1）x+y；（2）x2y+xy2．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）由（1）知，，，∴，∴．【變式4-3】（2022秋?祁陽縣期末）已知，，分別求下列代數式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣2ab+b2．【答案】（1）24；（2）32．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32．【題型5二次根式的實際應用】【典例5】（2023秋?興文縣期中）有一塊矩形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出面積分別為18dm2和32dm2的兩塊正方形木板．（1）截出的兩塊正方形木板的邊長分別為3dm，4dm；（2）求剩余木板的面積；（3）如果木工師傅想從剩余的木板中截出長為1.5dm、寬為1dm的矩形木條，最多能截出2個這樣的木條．【答案】（1）3，4；（2）6dm2；（3）2．【解答】解：（1）根據題意得：截出的兩塊正方形木料的邊長分別為＝3dm，＝4dm，故答案為：3，4；（2）根據題意得：矩形的長為3（dm），寬為4dm，∴剩余木料的面積＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）根據題意得：從剩余的木料的長為3dm，寬為4＝（dm），∵3，，∴能截出2×1＝2塊這樣的木條．故答案為：2．【變式5-1】（2023秋?陳倉區(qū)期中）閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積為S＝．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，中國秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術，故這個公式又被稱為“海倫一秦九韶公式”．完成下列問題：如圖，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）求△ABC的面積；（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，求線段AD的長．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7，∴p＝＝10．∴△ABC的面積S＝＝10；（2）如圖，∵△ABC的面積＝BC?AD，∴×8×AD＝10，∴AD＝．【變式5-2】（2023春?瑤海區(qū)期末）小明同學每次回家進入電梯間時，總能看見如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風速的影響，g≈10m/s2，）（1）已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個物品，求該物品落地的時間；（結果保留根號）（2）小明查閱資料得知，傷害無防護人體只需要64焦的動能，高空拋物動能（焦）＝10×物體質量（千克）×高度（米），某質量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經過幾秒落地就可能會傷害到樓下的行人？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵小明家住20層，每層的高度近似為3米，∴h＝20×3＝60（米），∴t＝＝＝（秒），∴該物品落地的時間為秒；（2）該玩具最低的下落高度為h＝＝64（米），∴t＝＝＝≈＝3.5776（秒）．∴最少經過3.5776秒落地就可能會傷害到樓下的行人．【變式5-3】（2023春?巴彥縣期中）如圖，張大伯家有一塊長方形空地ABCD，長方形空地的長BC為，寬AB為，現要在空地中劃出一塊長方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養(yǎng)雞場的長為，寬為．（1）長方形ABCD的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）（2）若市場上蔬菜8元/千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產15千克的蔬菜，張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為多少元？【答案】（1）長方形ABCD的周長是；（2）張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為4680元．【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝＝＝．答：長方形ABCD的周長是；（2）蔬菜地的面積＝＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．39×8×15＝4680（元）．答：張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為4680元．考點5：分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。【題型6分母有理化】【典例6】（2023秋?南山區(qū)校級期中）閱讀下面問題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計算：+++…++．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【變式6-1】（2023春?張店區(qū)期中）觀察下列等式：①＝＝﹣1；②＝＝﹣；③＝＝﹣；…回答下列問題：（1）仿照上列等式，寫出第n個等式：＝﹣；（2）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：；（3）計算：．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）第n個等式為＝﹣；（2）原式＝＝2﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝12﹣1．故答案為：（1）＝﹣【變式6-2】（2023春?瀏陽市期中）像?＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式，愛動腦筋的小明同學在進行二次根式計算時，利用有理化因式化去分母中的根號．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奮好學的小明發(fā)現：可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數．（3）化簡：﹣．解：設x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．請你解決下列問題：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；（2）化簡：++；（3）化簡：﹣．【答案】（1）2+3；（2）+；（3）2．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3，故答案為：2+3；（2）原式＝++＝++2+＝+；（3）原式＝﹣＝﹣＝+1﹣+1＝2．一．選擇題（共10小題）1．下列各式，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵與不是同類二次根式，∴不能與合并，故A項不符合題意；∵，∴與能合并，故B項符合題意；∵，∴不能與合并，故C項不符合題意；∵與不是同類二次根式，∴不能與合并，故D項不符合題意；故選：B．2．下列計算正確的是（）A．＝﹣2 B．3＝1 C． D．3＝【答案】D【解答】解：A.＝2，故不符合題意；B、3＝，故不符合題意；C、與不是同類二次根式，不能合并，故不符合題意；D、3＝，故符合題意；故選：D．3．高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據研究，高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風速的影響），則從100m高空拋物到落地所需時間為（）A．2s B．s C．s D．2s【答案】A【解答】解：當h＝100時，t＝＝2（秒），答：從100m高空拋物到落地所需時間是2秒；故選：A．4．計算的結果為（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：原式＝＝＝＝．故選：A．5．與計算結果相同的是（）A． B．2÷ C． D．【答案】C【解答】解：＝＝2，2+≠2，故選項A不符合題意；2＝2，故選項B不符合題意；2×＝2，故選項C符合題意；3×＝3≠2，故選項D不符合題意；故選：C．6．已知﹣，則的解為（）A． B． C． D．．【答案】D【解答】解：∵﹣，∴（﹣）2＝3，∴x+﹣2＝3，∴x+＝5，∴（+）2＝x++2＝7，∴＝±，∵是非負數，∴＝．故選：D．7．已知a＝，b＝1﹣，則a2+ab+b2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，＝3+2+1﹣2+3﹣2，＝5．故選：A．8．若，則代數式x2﹣4x+4的值為（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023【答案】D【解答】解：∵x＝2+，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝2023，∴x2﹣4x+4＝2023，故選：D．9．若，則的值為（）A． B．5 C． D．2【答案】A【解答】解：原式＝＝＝．故選：A．10．若a+b＝﹣4，ab＝1，則的值為（）A．4 B．﹣4 C．16 D．4或﹣4【答案】A【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，∴a＜0，b＜0，∴＝+＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝4，故選：A．二．填空題（共5小題）11．將二次根式化為最簡二次根式5．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝5，故答案為：512．已知最簡二次根式和是同類二次根式，則m的值是1．【答案】1．【解答】解：＝2，∵最簡二次根式和是同類二次根式，∴m+1＝2，解得：m＝1．故答案為：1．13．計算：＝3．【答案】見試題解答內容【解答】解：＝﹣＝4﹣＝3．故答案為：3．14．計算（﹣）×﹣3＝6﹣7．【答案】6﹣7．【解答】解：（﹣）×﹣3＝﹣﹣＝6﹣6﹣＝6﹣7，故答案為：6﹣7．15．已知x＝，y＝，+﹣4＝30．【答案】30．【解答】解：∵x＝＝3+2，y＝＝3﹣2，∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，∴+﹣4＝﹣4＝﹣4＝﹣4＝34﹣4＝30．故答案為：30．三．解答題（共