第01講 平行四邊形的性質(zhì)和判定（知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）-A4

第頁第01講平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求邊長】【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求角度】【題型3根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求周長】【題型4平行四邊形的判定】【題型5平行四邊形的判定與全三角形綜合】【題型6平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】【題型7：三角形中位線】【題型8：平行線之間的距離與平行四邊形的綜合】考點(diǎn)1：平行四邊形的性質(zhì)邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質(zhì)：兩組對(duì)角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO【題型1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求邊長】【典例1】（2023秋?龍口市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故選：C．【變1-1】（2023春?歷下區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，則EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分線AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故選：C．【變式1-2】（2022秋?牟平區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，若AB＝4，AD＝5，則EF的長度（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可證：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故選：C．【變式1-3】（2022秋?安化縣期末）如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線BE上的點(diǎn)，若BF：FD＝1：3，AD＝12，則EC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故選：C．【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求角度】【典例2】（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．75°【答案】D【解答】解：延長EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故選：D．【變式2-1】（2023秋?二道區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，∠A+∠C＝80°，則∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故選：D．【變式2-2】（2023春?北安市校級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，則∠A的度數(shù)為（）A．155° B．130° C．125° D．110°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故選：B．【變式2-3】（2023?巴東縣模擬）四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，DF∥BE交BC于點(diǎn)F，則∠CDF的度數(shù)為（）A．55° B．50° C．40° D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故選：D．【題型3根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求周長】【典例3】（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，則平行四邊形ABCD的周長為（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD與BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四邊形ABCD的周長為2×（7+4）＝22（cm），故選：D．【變式3-1】（2023春?東港區(qū)校級(jí)期中）在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定【答案】B【解答】解：設(shè)∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，當(dāng)EB＝5，EC＝4時(shí)，如圖1，則AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；當(dāng)EB＝4，EC＝5時(shí)，如圖2，則AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四邊形ABCD的周長為26或28，故選：B．【變式3-2】（2023春?沙坪壩區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，周長為18，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，連結(jié)CE，則△CDE的周長為（）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD周長為18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周長為：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故選：B．【變式3-3】（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，AD＝10，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD＝24，則△BOC的周長為22．【答案】22．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周長＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案為：22考點(diǎn)2：平行四邊形的判定與邊有關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【題型4平行四邊形的判定】【典例4】（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【變式4-1】（2022秋?泰山區(qū)期末）下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行 B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ) C．一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ) D．一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等【答案】C【解答】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，也有可能是等腰梯形B、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)，也有可能是等腰梯形C、一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)可得到兩組對(duì)角分別相等，所以是平行四邊形D、一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等，可能是含兩個(gè)直角的一般四邊形．故選：C．【變式4-2】（2023春?臺(tái)山市校級(jí)期中）在四邊形ABCD中，AB∥DC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需添加的條件是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠D＝180° D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：選項(xiàng)A，B中的兩對(duì)角是對(duì)角關(guān)系，不能推出AD∥BC，選項(xiàng)C只能推出AB∥DC，選項(xiàng)D中兩角是同旁內(nèi)角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：D．【變式4-3】（2023?中牟縣校級(jí)開學(xué)）小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號(hào)應(yīng)該是（）A．①② B．①④ C．②④ D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④兩塊碎玻璃的角的兩邊互相平行，且中間部分相連，角的兩邊的延長線的交點(diǎn)就是平行四邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)，∴帶②④兩塊碎玻璃，就可以確定原來平行四邊形玻璃的大小，能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，故選：C．【題型5平行四邊形的判定與全三角形綜合】【典例5】（2022秋?周村區(qū)期末）已知，如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求證：（1）△ABF≌△CDE．（2）四邊形AECF是平行四邊形．【答案】（1）見解析過程；（2）見解析過程．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式5-1】（2023春?惠城區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）AE＝CF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式5-2】（2023春?魚臺(tái)縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．求證：（1）AE＝CF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE與△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式5-3】（2023?新疆模擬）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BF＝DE．證明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【題型6平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】【典例6】（2023春?溫州月考）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）若DE為∠ADC的角平分線，且AD＝6，EB＝4，求?ABCD的周長．【答案】（1）見解析；（2）32．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；（2）解：∵DE為∠ADC的角平分線，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴?ABCD的周長＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【變式6-1】（2023春?成都期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，且AF＝CE，連接BE，DE，BF，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度數(shù)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）30°．【解答】（1）證明：在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【變式6-2】（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，BE∥DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見解答過程；（2）24．【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：過A點(diǎn)作AG⊥BC，交CB的延長線于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四邊形ABCD的面積＝BC?AG＝4×6＝24．【變式6-3】（2023春?和縣校級(jí)期末）如圖，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，過點(diǎn)A作AE∥BD交C的延長于E．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF，若，求DF的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中線，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考點(diǎn)3：三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一?！绢}型7三角形中位線】【典例7】（2023秋?綏化期末）如圖，DE垂直平分△ABC的邊AB，交CB的延長線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，連接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，則EF的長為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的邊AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，∴點(diǎn)E是AB的點(diǎn)，∵F是AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴．∵CD＝9，DB＝5，∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，∴．故選：C．【變式7-1】（2023秋?雙陽區(qū)期末）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，測量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【答案】B【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB，∵DE＝16米，∴AB＝32米，∴A、B兩點(diǎn)間的距離為32米．故選：B【變式7-2】（2023秋?駐馬店期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則EF的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故選：B．【變式7-3】（2023秋?萬州區(qū)期末）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ACB的角平分線交DE于點(diǎn)F，若AC＝6，BC＝14，則DF的長為4．【答案】4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝14，AC＝6，∴DE＝BC＝×14＝7，AE＝CE＝AC＝×6＝3，DE∥BC，∴∠CFE＝∠BCF，∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠CFE，∴EF＝CE＝3，∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，故答案為：4．考點(diǎn)4：平行線之間的距離與平行四邊形的綜合定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：平行線之間距離處處相等【題型8平行線之間的距離與平行四邊形的綜合】【典例8】（2023春?冷水灘區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，已知a∥b，b∥c，若直線a、b之間的距離為7cm，直線b、c之間的距離為3cm，則直線a、c間的距離為（）A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不確定【答案】A【解答】解：當(dāng)直線c在直線a、b之間時(shí)，如圖（1），直線a、c間的距離為7﹣3＝4（cm）；當(dāng)直線c在直線a、b外部時(shí)，如圖（2），直線a、c間的距離為7+3＝10（cm），∴直線a、c間的距離是4或10cm．故選：A．【變式8-1】（2023春?秦皇島期末）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)P是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的位置發(fā)生變化時(shí)，△PCD的面積（）A．向左移動(dòng)變小 B．向右移動(dòng)變小 C．始終不變 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵直線AB∥CD，點(diǎn)P是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴無論點(diǎn)P怎么移動(dòng)，點(diǎn)P到CD的距離不變，∴△PCD的底不變，高不變，面積也不變，故選：C．【變式8-2】（2023春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，則兩平行線l1和l2之間的距離是（）A．25 B．50 C．50 D．25【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥l2于點(diǎn)C，∵直線l1∥l2，AC⊥l2，∴∠DAC＝90°，∵∠DAB＝135°，∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，2AC2＝502，∴AC＝25．∴兩平行線l1和l2之間的距離為25．故選：D．【變式8-3】（2023春?溫州校級(jí)期中）如圖，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，F(xiàn)G⊥l2，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．l1與l2之間的距離是線段FG的長度 B．CE＝FG C．線段CD的長度就是l1與l2兩條平行線間的距離 D．AC＝BD【答案】C【解答】解：A、∵FG⊥l2于點(diǎn)G，∴l(xiāng)1與l2兩平行線間的距離就是線段FG的長度，故本選項(xiàng)正確；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于點(diǎn)E，F(xiàn)G⊥l2于點(diǎn)G，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴CE＝FG，故本選項(xiàng)正確；C、∵CE⊥l2于點(diǎn)E，∴l(xiāng)1與l2兩平行線間的距離就是線段CE的長度，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC＝BD，故本選項(xiàng)正確；故選：C．一．選擇題（共11小題）1．（2023?江南區(qū)校級(jí)三模）如圖，在?ABCD中，∠B＝50°，則∠C的度數(shù)為（）A．40 B．50 C．100 D．130【答案】D【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∠B＝50°，∴AB∥CD，∴∠C+∠B＝180°，∴∠C＝130°，故選：D．2．（2023春?開州區(qū)期末）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A，B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)C，D，量得CD＝6m，則A，B之間的距離是（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】D【解答】解：∵C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴CD是△ABO的中位線，∴AB＝2CD，∵CD＝6m，∴AB＝12m，故選：D．3．（2023春?敘州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是（0，0），（3，0），（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3）【答案】B【解答】解：∵?OABC的頂點(diǎn)O，A，C的坐標(biāo)分別是（0，0），（3，0），（1，2），∴OA＝BC＝3，B點(diǎn)縱坐標(biāo)與C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），故選：B．4．（2022秋?周村區(qū)期末）如圖，?ABCD中，∠B+∠D＝100°，則∠A＝（）A．50° B．80° C．100° D．130°【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝∠D＝50°，∴∠A＝130°，故選：D．5．（2022秋?沂源縣期末）學(xué)習(xí)了平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，小明采用下列方法釘制了一個(gè)平行四邊形框架：如圖，將兩根木條AC、BD的中點(diǎn)重疊并用釘子固定，然后用木條將AB、BC、CD、DA分別釘起來．此時(shí)四邊形ABCD即為平行四邊形，這樣做的依據(jù)是（）A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 C．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】D【解答】解：將兩根木條AC、BD中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形．得出AO＝CO，DO＝BO，則四邊形ABCD就是平行四邊形，故這樣做的依據(jù)是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故選：D．6．（2022秋?海陽市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，若AC＝8，△AOE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【解答】解：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴，∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，∴，∴△ACD的周長＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE），∵△AOE的周長＝AO+OE+AE＝10，∴AC+AD+CD＝20，∴AD+CD＝20﹣8＝12，∴平行四邊形ABCD的周長＝2（AD+CD）＝24；故選：B．7．（2023?臨高縣校級(jí)三模）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ABC的角平分線交DE于點(diǎn)F，AB＝10，BC＝16，則EF的長為（）A．8 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，AB＝10，BC＝16，∴BD＝AD＝5，DE＝BC＝8，DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF＝5，∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，故選：C．8．（2023秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，則CF的長是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠F＝∠DAF，∴AD＝BC＝DF＝5，∴CF＝DF﹣CD＝2，故選：B．9．（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC＝8，∴FE＝AC＝4，∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故選：B．10．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，則兩平行線l1和l2之間的距離是（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：如圖，作AC⊥BC，∵直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝×AB＝2．故選：D．11．（2023春?孝義市期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥BD交AD于點(diǎn)E，連接BE．若?ABCD的周長為20，則△ABE的周長為（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【解答】解：∵在?ABCD中，對(duì)角線相互平分，∴O是BD中點(diǎn)，∵OE⊥BD，∴OE是線段BD的中垂線，即EB＝ED，∴△ABE的周長為AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD，∵?ABCD的周長為20，∴AB+AD＝10，即△ABE的周長為10，故選：B．二．填空題（共8小題）12．（2023春?秦淮區(qū)期中）在?ABCD中，若∠A＝3∠B，則∠C＝135°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝3∠B，∴∠A＝∠C＝135°．故答案為：135．13．（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分線AE交BC于E點(diǎn)，則EC的長為2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，故答案為：2．14．（2022秋?乳山市期末）如圖，?ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于E，BD＝20，BE＝7，AE＝4，則AC的長等于10．【答案】10．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO＝BD＝10，∵BE＝7，∴EO＝3，∴AO＝＝＝5，∴AC＝10，故答案為10．15．（2023春?羅定市期末）如圖，在?ABCD中，AD＝8，E為AD上一點(diǎn)，M，N分別為BE，CE的中點(diǎn)，則MN的長為4．【答案】4．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，BC＝AD＝8，∵M(jìn)，N分別為BE，CE的中點(diǎn)，∴MN是△EBC的中位線，∴MN＝BC＝4．故答案為：4．16．（2023秋?燈塔市校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥CD，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，連接CE．已知AC＝6，BD＝10，則△CDE的周長是4+2．【答案】4+2．【解答】解：∵四邊ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝10，∴OC＝OA＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝5，∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，∴CD＝＝＝4，∴AD＝＝＝2，∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝AE＝AD＝，∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝4++＝4+2，∴故答案為：4+2．17．（2022秋?岱岳區(qū)