第02講 探索三角形相似的條件（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁第02講探索三角形相似的條件1.掌握平行線等分線段及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容；2.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；3.進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能力；知識(shí)點(diǎn)1平行線分線段成比例類型1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.幾何語言：圖一拓展：.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；.經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；圖二3）經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。圖三類型2平行線分線段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.圖四圖五（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.知識(shí)點(diǎn)3相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【題型1平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】【典例1】（2022秋?惠安縣期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-1】（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．9【變式1-2】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，直線a，b，c分別交直線m，n于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，則DF＝（）A．2 B．3 C． D．【典例2】（2023春?任城區(qū)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-1】（2023春?羅定市校級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，則BC的長(zhǎng)為（）?A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】（2023?寧化縣模擬）如圖，已知一組平行線a∥b∥c，被直線m、n所截，交點(diǎn)分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，則DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【典例3】（2023?市中區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式3-1】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【變式3-2】（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2023?三明模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（）A． B．4 C．6 D．【題型2相似三角形的概念】【典例4】（2022秋?郯城縣校級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【變式4】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)頂角是120°的等腰三角形 C．兩個(gè)全等三角形 D．兩個(gè)直角三角形【題型3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似】【典例5】如圖，已知．求證：．【變式5】（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．【題型4兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】【典例6】（2022秋?銅仁市期末）如圖，D，E分別為AB，AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求證：△ADE∽△ACB．【變式6-1】（2022秋?泉州期末）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求證：△AOD∽△COB．【變式6-2】（2023?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求證：△ADE∽△ACB．【變式6-3】（2022秋?商南縣期末）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）求證：△ABE∽△ACB．【題型5兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似】【典例7】（2023?平潭縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC．【變式7-1】（2023?鳳慶縣二模）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．求證：△ACD∽△ABE．?【變式7-2】（2023?涵江區(qū)一模）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OC，求證：△ABC∽△DCB．【變式7-3】（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：△CDE∽△AFD．1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．2．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．4．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．5．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．6．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．7．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為．1．（2023秋?西安期中）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則與△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2023秋?西安期中）如圖，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，則AE的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．6 D．103．（2023?桂林一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1，l2，l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．4.5 C．7.5 D．64．（2022秋?順德區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?成都期中）同學(xué)們?cè)谖锢碚n上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB為1.6cm時(shí)，所成的像A′B'的高度為（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm6．（2023秋?晉江市期中）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)，連接EF，若AO：AD＝2：7，AB＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．77．（2022秋?路南區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC?CD D．8．（2023秋?萊西市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，請(qǐng)?zhí)砑右粭l件使△BCD∽△BAC，則下列條件中不正確的是（）A．AC2＝AD?AB B．BC2＝BD?BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°9．（2023秋?包河區(qū)校級(jí)期中）如圖，，下列添加的條件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAEB．C．D．∠ABD＝∠ACE10．（2023秋?泗縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分別是BC，CD上的點(diǎn)，CQ＝4，若△ABP與△PCQ相似，則BP的長(zhǎng)為（）A．3或B．3或12C．3、12或D．3、12或11．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）兩個(gè)相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：312．（2023秋?西安期中）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在線段BD上，AB∥DE，，求證：△ABC∽△EDF．13．（2023秋?西安期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EB⊥AB，垂足為點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若AE＝6，AB＝5，求EC的長(zhǎng)．14．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖，DE∥BC，且∠ABE＝∠C．（1）求證：AE2＝AD?AB；（2）如果AE＝4，BD＝6，求AD．15．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．16．（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）我們把頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如下9×9的方格中已給出格點(diǎn)三角形ABC和格點(diǎn)O，請(qǐng)根據(jù)下列要