第02講 探索三角形相似的條件（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁第02講探索三角形相似的條件1.掌握平行線等分線段及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容；2.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；3.進一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運用“類比”思想的自覺性，提高推理能力；知識點1平行線分線段成比例類型1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.幾何語言：圖一拓展：.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；.經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線平分第三邊；圖二3）經(jīng)過梯形一腰中點并平行于底邊的直線必過另一腰中點并等于兩底和的一半。圖三類型2平行線分線段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應(yīng)線段成比例.圖四圖五（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)線段成比例知識點2相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.注意：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為1時，兩個三角形全等.知識點3相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（4）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

注意：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

【題型1平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】【典例1】（2022秋?惠安縣期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，則DF的長是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-1】（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，則DE的長為（）A． B． C．5 D．9【變式1-2】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，直線a，b，c分別交直線m，n于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，則DF＝（）A．2 B．3 C． D．【典例2】（2023春?任城區(qū)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-1】（2023春?羅定市校級期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，則BC的長為（）?A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】（2023?寧化縣模擬）如圖，已知一組平行線a∥b∥c，被直線m、n所截，交點分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，則DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【典例3】（2023?市中區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式3-1】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）如圖，已知D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【變式3-2】（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2023?三明模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，則AE的長為（）A． B．4 C．6 D．【題型2相似三角形的概念】【典例4】（2022秋?郯城縣校級期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【變式4】（2023春?梁溪區(qū)校級期末）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個頂角是120°的等腰三角形 C．兩個全等三角形 D．兩個直角三角形【題型3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似】【典例5】如圖，已知．求證：．【變式5】（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．【題型4兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】【典例6】（2022秋?銅仁市期末）如圖，D，E分別為AB，AC邊上兩點，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求證：△ADE∽△ACB．【變式6-1】（2022秋?泉州期末）如圖，AB、CD相交于點O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求證：△AOD∽△COB．【變式6-2】（2023?海淀區(qū)校級開學）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，點D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求證：△ADE∽△ACB．【變式6-3】（2022秋?商南縣期末）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的長．（2）求證：△ABE∽△ACB．【題型5兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似】【典例7】（2023?平潭縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC邊上一點，連結(jié)DE，點F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC．【變式7-1】（2023?鳳慶縣二模）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，點E在AC的延長線上，且∠E＝∠ABC．求證：△ACD∽△ABE．?【變式7-2】（2023?涵江區(qū)一模）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于點O，OB＝OC，求證：△ABC∽△DCB．【變式7-3】（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC邊上的點（不與點B，點C重合），連接DE并延長，交AB的延長線于點F．求證：△CDE∽△AFD．1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．2．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．4．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．5．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應(yīng)的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．6．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．7．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為．1．（2023秋?西安期中）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形的頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，則與△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2023秋?西安期中）如圖，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，則AE的長是（）A．3 B．4 C．6 D．103．（2023?桂林一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1，l2，l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長是（）A．2 B．4.5 C．7.5 D．64．（2022秋?順德區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?成都期中）同學們在物理課上做“小孔成像”實驗．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當蠟燭火焰的高度AB為1.6cm時，所成的像A′B'的高度為（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm6．（2023秋?晉江市期中）如圖，AD與BC相交于點O，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點，連接EF，若AO：AD＝2：7，AB＝4，則EF的長為（）A．4 B．5 C．6 D．77．（2022秋?路南區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么補充下列條件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC?CD D．8．（2023秋?萊西市期中）如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，請?zhí)砑右粭l件使△BCD∽△BAC，則下列條件中不正確的是（）A．AC2＝AD?AB B．BC2＝BD?BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°9．（2023秋?包河區(qū)校級期中）如圖，，下列添加的條件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAEB．C．D．∠ABD＝∠ACE10．（2023秋?泗縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分別是BC，CD上的點，CQ＝4，若△ABP與△PCQ相似，則BP的長為（）A．3或B．3或12C．3、12或D．3、12或11．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）兩個相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：312．（2023秋?西安期中）如圖，點C，F(xiàn)在線段BD上，AB∥DE，，求證：△ABC∽△EDF．13．（2023秋?西安期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，EB⊥AB，垂足為點B，交AC于點E．（1）求證：．（2）若AE＝6，AB＝5，求EC的長．14．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）如圖，DE∥BC，且∠ABE＝∠C．（1）求證：AE2＝AD?AB；（2）如果AE＝4，BD＝6，求AD．15．（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB?AD，∠ADC＝90°，點E為AB的中點．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．16．（2023秋?鹿城區(qū)校級期中）我們把頂點都在格點上的三角形叫做格點三角形．在如下9×9的方格中已給出格點三角形ABC和格點O，請根據(jù)下列要