新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第9章統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)課件新人教A版必修第二冊(cè)

第九章統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析)2．理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(直觀想象)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01甲、乙兩位同學(xué)相約晚上在某餐館吃飯．他們分別在A，B兩個(gè)網(wǎng)站查看同一家餐館的好評(píng)率．甲在網(wǎng)站A查到的好評(píng)率是98%，而乙在網(wǎng)站B查到的好評(píng)率是85%.綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，應(yīng)該如何得到這家餐館的總好評(píng)率？

知識(shí)點(diǎn)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中____________的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于____位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取____兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的__除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．出現(xiàn)次數(shù)最多中間中間和思考1．中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎？[提示]

不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．思考2．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定唯一嗎？[提示]

不一定，數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè)，也可能有多個(gè)．2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)單峰頻率分布直方圖中的平均數(shù)與中位數(shù)①如果直方圖的形狀是____的，那么平均數(shù)與中位數(shù)大體上差不多．②如果直方圖在____“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在____“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，也就是說(shuō)，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊．(2)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是____矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該____；樣本平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的______與小矩形的____的乘積之和．對(duì)稱右邊左邊最高相等橫坐標(biāo)面積思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)． (

)(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)． (

)(3)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變． (

)√××關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)類型2頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)類型3平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型1一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．a(chǎn)＞b＞c

B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b

D．c＞b＞a

√反思領(lǐng)悟

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算的；計(jì)算中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4A

因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，所以另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為2×2－3＝1．故選A.√(2)某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)，命中個(gè)數(shù)如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．則下面結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲的平均數(shù)為21.4；④甲的中位數(shù)是24．①②③

類型2頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)【例2】某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題：(1)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的及格率(60分及以上為及格)和平均分．[解]

依題意，60及60以上的分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的及格率是75%．利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分為45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．所以估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的平均分是71分．反思領(lǐng)悟

用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．求：(1)成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值；[解]

由圖可知眾數(shù)的估計(jì)值為65分．設(shè)中位數(shù)為x，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0.3，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65．∴中位數(shù)的估計(jì)值為65分．(2)平均成績(jī)的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．[解]

依題意，平均成績(jī)?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴平均成績(jī)的估計(jì)值為67分．類型3平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例3】

(源自湘教版教材)某公司全體職工的月工資如下：(1)試求出該公司月工資數(shù)據(jù)中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；月工資/元18000120008000600040002500200015001200人數(shù)1(總經(jīng)理)2(副總經(jīng)理)34102022126

(2)你認(rèn)為用平均數(shù)、中位數(shù)或眾數(shù)中的哪一個(gè)更能反映該公司的工資水平？[解]

由于大多數(shù)員工的月工資達(dá)不到平均數(shù)3115，顯然用平均數(shù)作為該公司員工月工資的代表值并不合適；眾數(shù)2000及中位數(shù)2250在一定程度上代表了大多數(shù)人的工資水平，較能反映月工資水平的實(shí)際情況．(3)對(duì)于職工月工資數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你認(rèn)為該公司總經(jīng)理、普通員工及應(yīng)聘者將分別關(guān)注哪一個(gè)？說(shuō)說(shuō)你的理由．[解]

公司總經(jīng)理最關(guān)心的是月工資的總額，所以他關(guān)注的是平均數(shù)；普通員工關(guān)注的是自己的收入在本公司職工群體中的位置，中位數(shù)能幫助職工了解自己的工資收入處于什么樣的水平；應(yīng)聘者最想知道公司發(fā)給大多數(shù)員工的工資數(shù)額，這也是一般應(yīng)聘者將會(huì)拿到的工資，因此應(yīng)聘者關(guān)注的是該公司月工資的眾數(shù)．反思領(lǐng)悟

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個(gè)極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，無(wú)法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如表是五年級(jí)兩個(gè)班各11名同學(xué)1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(單位：次)：(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？(2)你認(rèn)為哪個(gè)數(shù)表示兩個(gè)班的成績(jī)更合適？一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029[解]

(1)一班平均數(shù)：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位數(shù)為33次，33出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；二班平均數(shù)：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位數(shù)是29次，29出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次．(2)運(yùn)用平均數(shù)表示兩個(gè)班的成績(jī)更合適．學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．(多選)在一次體育測(cè)試中，某班6名同學(xué)的成績(jī)(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A．眾數(shù)是83

B．中位數(shù)是83C．極差是30

D．平均數(shù)是83ABC

[由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是83，故A正確；把數(shù)據(jù)按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個(gè)數(shù)為83，83，所以中位數(shù)是83，故B正確；極差是96－66＝30，故C正確；由于平均數(shù)為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D錯(cuò)誤．]√√√1234√2．下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說(shuō)法中正確的是(

)A．中位數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況B．平均數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況C．眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準(zhǔn)確地反映出總體的情況D

[中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，對(duì)極端值的不敏感也會(huì)成為缺點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；平均數(shù)可以較好地反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但是樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時(shí)，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置就可能會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生較大差異，故B錯(cuò)誤；眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無(wú)法客觀反映總體特征，故C錯(cuò)誤；綜上可知，D正確．]12343．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，平均數(shù)是______．

6512344．某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為_(kāi)_______；

751234(2)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為_(kāi)_______；

1234(3)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為_(kāi)_______．

72回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？[提示]

在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高小矩形底邊的