新教材同步備課2024春高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第1課時二面角及平面與平面垂直的判定定理課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時二面角及平面與平面垂直的判定定理學習任務1．理解二面角及其平面角的概念，會作二面角的平面角，會求簡單的二面角的平面角．(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，會用定理證明垂直關系．(數(shù)學抽象、邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺．你認為應該怎樣刻畫面面“夾角”呢？知識點1二面角1．定義：從一條直線出發(fā)的__________所組成的圖形．2．相關概念：(1)這條直線叫做二面角的__，(2)兩個半平面叫做__________．3．畫法：兩個半平面棱二面角的面4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β；(3)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是______．6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范圍是_____________．∠AOB直二面角0°≤α≤180°思考1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點在棱上的位置有關？[提示]

無關．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關，只與二面角的大小有關．思考2．二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，構成二面角的平面角的三要素是什么？[提示]

三要素是“棱上”“面內”“垂直”．即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直．知識點2平面與平面垂直1．定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．2．畫法：3．記作：_____．4．判定定理：如果一個平面過另一個平面的____，那么這兩個平面垂直．直二面角α⊥β垂線思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β. (

)(2)若平面α內的一條直線垂直于平面β內兩條平行線，則α⊥β. (

)(3)兩平面垂直時，其二面角是直二面角. (

)××√關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1二面角的計算問題類型2平面與平面垂直的判定類型1二面角的計算問題【例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)；[解]

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90°.(2)求二面角B-PA-D的平面角的大?。籟解]

∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90°.(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小．[解]

∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45°.反思領悟

求二面角的平面角的大小的步驟(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點，分別在兩個半平面內向交線作垂線．(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面角．(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大?。?4)結論．[跟進訓練]1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大?。甗解]

由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.

角度2

判定定理法判定平面與平面垂直【例3】

(源自湘教版教材)如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角．求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.[證明]

因為AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.因為AD?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.已知∠BDC為直角，所以BD⊥DC.又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.因為BD?平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD.反思領悟

證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為線面垂直．(3)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．[跟進訓練]2．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]

連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE.因為O為AC的中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因為EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.學習效果·課堂評估夯基礎0312341．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(

)A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β√1234√2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(

)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥βC

[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]12343．若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是(

)A．相等 B．互補C．相等或互補

D．不確定C

[若方向相同則相等，若方向相反則互補．故選C.]√12344．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．45°

[根據(jù)正方體中的位置關系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角