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第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時二面角及平面與平面垂直的判定定理學習任務1.理解二面角及其平面角的概念,會作二面角的平面角,會求簡單的二面角的平面角.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的判定定理,會用定理證明垂直關系.(數(shù)學抽象、邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01如圖所示,筆記本電腦在打開的過程中,會給人以面面“夾角”變大的感覺.你認為應該怎樣刻畫面面“夾角”呢?知識點1二面角1.定義:從一條直線出發(fā)的__________所組成的圖形.2.相關概念:(1)這條直線叫做二面角的__,(2)兩個半平面叫做__________.3.畫法:兩個半平面棱二面角的面4.記法:二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.5.二面角的平面角:若有(1)O∈l;(2)OA?α,OB?β;(3)OA⊥l,OB⊥l,則二面角α-l-β的平面角是______.6.平面角是直角的二面角叫做________,二面角的平面角α的取值范圍是_____________.∠AOB直二面角0°≤α≤180°思考1.二面角的平面角的大小,是否與角的頂點在棱上的位置有關?[提示]
無關.如圖,根據(jù)等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.思考2.二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量,構成二面角的平面角的三要素是什么?[提示]
三要素是“棱上”“面內”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上,角的兩邊必須分別在兩個半平面內,角的兩邊必須都與棱垂直.知識點2平面與平面垂直1.定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是________,就說這兩個平面互相垂直.2.畫法:3.記作:_____.4.判定定理:如果一個平面過另一個平面的____,那么這兩個平面垂直.直二面角α⊥β垂線思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線,則α⊥β. (
)(2)若平面α內的一條直線垂直于平面β內兩條平行線,則α⊥β. (
)(3)兩平面垂直時,其二面角是直二面角. (
)××√關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1二面角的計算問題類型2平面與平面垂直的判定類型1二面角的計算問題【例1】如圖,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù);[解]
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形,∴CD⊥AD.PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90°.(2)求二面角B-PA-D的平面角的大?。籟解]
∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意知∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90°.(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小.[解]
∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,∴∠BAC=45°,即二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45°.反思領悟
求二面角的平面角的大小的步驟(1)作:作出平面角,一般在交線上找一特殊點,分別在兩個半平面內向交線作垂線.(2)證:證明所作的角滿足定義,并指出二面角的平面角.(3)求:將作出的角放到三角形中,利用解三角形求出角的大?。?4)結論.[跟進訓練]1.如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上的一點,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大?。甗解]
由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑,且點C在圓周上,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
角度2
判定定理法判定平面與平面垂直【例3】
(源自湘教版教材)如圖,已知△ABC中,AD是邊BC上的高,以AD為折痕折疊△ABC,使∠BDC為直角.求證:平面ABD⊥平面BDC,平面ADC⊥平面ABD.[證明]
因為AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.因為AD?平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC.已知∠BDC為直角,所以BD⊥DC.又AD∩DC=D,因此BD⊥平面ADC.因為BD?平面ABD,所以平面ADC⊥平面ABD.反思領悟
證明面面垂直常用的方法(1)定義法:即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為線面垂直.(3)性質法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.[跟進訓練]2.如圖,四邊形ABCD是邊長為a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中點,求證:平面BDE⊥平面ABCD.[證明]
連接AC,設AC∩BD=O,連接OE.因為O為AC的中點,E為PA的中點,所以EO是△PAC的中位線,所以EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又因為EO?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.學習效果·課堂評估夯基礎0312341.自二面角棱l上任選一點O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,則必須具有條件(
)A.AO⊥BO,AO?α,BO?βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO?α,BO?βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β√1234√2.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是(
)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥βC
[∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m?α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β.]12343.若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的大小關系是(
)A.相等 B.互補C.相等或互補
D.不確定C
[若方向相同則相等,若方向相反則互補.故選C.]√12344.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角等于________.45°
[根據(jù)正方體中的位置關系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根據(jù)二面角的平面角定義可知,∠ABA1即為二面角
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