2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題02（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第1-3章：空間向量與立體幾何 直線與圓 圓錐曲線）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章（空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線）。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若直線的傾斜角為，則（

）A．0 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因?yàn)椋瑸橐怀?shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，點(diǎn)B關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為D，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為，，點(diǎn)B關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.則.故選：B.3．已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離【答案】B【解析】易知圓的圓心為，半徑為；圓可化為，圓心，半徑為；圓心距，所以兩圓外切.故選：B4．已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解析】拋物線，準(zhǔn)線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.5．如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】平行六面體中，，因?yàn)?，，，，所以，所以，即的長(zhǎng)為，故選：A.6．點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即故,,當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：A7．已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】C【解析】橢圓的方程為，則，，，連接，，則由橢圓的中心對(duì)稱性可知，可知為平行四邊形，則，可得的周長(zhǎng)為，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，AB取最小值，最小值為，所以周長(zhǎng)為．故選：C.8．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，給出以下三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)滿足；②存在點(diǎn)滿足與平面所成角的大小為；③存在點(diǎn)滿足；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，則，若，則，解得，所以存在點(diǎn)滿足，故①正確；因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，取，設(shè)與平面所成角為，，則，令，，則，所以，令，，則，所以，所以存在點(diǎn)滿足與平面所成角的大小為，故②正確；因?yàn)椋?，所以，所以，所以存在點(diǎn)滿足，故③正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與垂直 B．與共線C．與所成角為銳角 D．，，，可作為空間向量的一組基底【答案】BC【解析】對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；對(duì)C：，且與不共線，故與所成角為銳角，故C正確；對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知圓，直線.則以下命題正確的有（）A．直線l恒過定點(diǎn) B．y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為C．直線l與圓C恒相交 D．直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為【答案】CD【解析】對(duì)于A，直線，即，由，解得，故直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,圓，當(dāng)時(shí)，，故y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線過定點(diǎn)，,故點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線l與圓C恒相交，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過圓心，則，解得，故直線方程為：，即，故D正確.故選：CD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，下列說法正確的是（

）A．若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，則拋物線的方程為B．若，則直線的傾斜角為C．D．若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為【答案】AC【解析】設(shè)，直線的方程為，由，得，則，所以，，對(duì)于A：若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，即，則，解得，所以拋物線的方程為，故A正確；對(duì)于B：，即，代入，可得，解得，所以直線的斜率，即直線的傾斜角為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則，所以拋物線方程為，，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，所以，因?yàn)椋?，所以，綜上，最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，．那么三角形外接圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)的外接圓方程為，則，解得，所以三角形外接圓的方程為.故答案為：13．已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則．【答案】【解析】由題意可知：，且，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，

則，所以.故答案為：14．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）.若，則雙曲線的離心率，.【答案】2【解析】如圖，由題意，知，設(shè)雙曲線的焦距為，則.由，得，且，所以，所以，即，所以雙曲線的離心率.連接，設(shè)，則.在和中，由余弦定理的推論，得，化簡(jiǎn)整理，得，所以在中，由余弦定理的推論，得.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知兩直線和的交點(diǎn)為．(1)直線過點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；(2)圓過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．【解析】（1）直線與直線平行，故設(shè)直線為，（1分）聯(lián)立方程組，解得．（3分）直線和的交點(diǎn)．又直線過點(diǎn)，則，解得，（4分）即直線的方程為．（5分）（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（6分）的斜率為，故直線的斜率為1，（7分）由題意可得解得（10分）故所求圓的方程為．（11分）化為一般式：．（13分）16．（15分）在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：面.【解析】（1）

如圖,以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（1分，建系正確即可）正四棱柱,為中點(diǎn),（2分）則點(diǎn)到直線的距離為：.（8分）（2）由（1）可得，則，（9分）由可得，（11分）又由可得，（13分）又，（14分）故面.（15分）17．（15分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程：(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，若的面積為，求直線的斜率.【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，（1分）解得，（2分）由橢圓過點(diǎn)，得，（3分）聯(lián)立解得，（4分）所以橢圓的方程為.（5分）（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，（6分），則，由消去得，顯然，（7分）則，（8分）的面積（10分），（13分）解得，（14分）所以直線的斜率.（15分）

18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，（1分，輔助線表述正確即可）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，（2分）又，，，，所以四邊形是平行四邊形，（3分），（4分）又平面，平面，平面.（5分）

（2），，又，，，則，（6分）又平面平面，平面平面，平面，（7分），又，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（8分）（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，，，（10分）又平面的一個(gè)法向量為，（11分），所以二面角的余弦值為.（12分）（ii）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，，，，（13分）由（i）知平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為，（15分）則，解得或，（16分）又，所以，即存在點(diǎn)到平面的距離為，且.（17分）19．（17分）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.【解析】（1）由題意可知，因?yàn)?，所?（1分）設(shè)，則，所以，